第一章 第5节 微点突破2 几何法求距离及线面角、二面角（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第5节　直线、平面垂直的判定与性质 微点突破2　几何法求距离及线面角、二面角 第一章　立体几何与空间向量 衔接教材 夯基固本 落实 D B D B D 请完成：课时训练(5) 温馨提示 谢谢观看！ 利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错． 考向1　几何法求距离 [例1] (2024·济宁模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为(　　) A． eq \f(\r(6),2) B． eq \f(\r(2),3) C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(6),3) 解析：＝ eq \f(1,3)··DC，＝ eq \f(1,2)·C1E·BC＝ eq \f(1,2)×1×2＝1，DC＝2，则＝ eq \f(2,3).在△BED中，由题意及勾股定理可得BE＝DE＝ eq \r(5)，BD＝2 eq \r(2)，则由余弦定理可得cos ∠BED＝ eq \f(BE2＋DE2－BD2,2BE·DE)＝ eq \f(1,5)，则sin ∠BED＝ eq \r(1－\f(1,25))＝ eq \f(2\r(6),5)，则S△BDE＝ eq \f(1,2)BE·DE·sin ∠BED＝ eq \r(6).设C1到平面EBD的距离为d，则 .又＝，则＝ eq \f(1,3)S△BDE·d＝ eq \f(2,3)，即d＝ eq \f(2,S△BDE)＝ eq \f(\r(6),3). (1)求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解． (2)求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解． 训练1 (2025·威海模拟)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为________________. 答案：2 eq \r(2)　解析：由题可得AB＝8，因为AP＝BP， 所以S△ABP＝ eq \f(1,2)×8×4＝16.因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC­ABP＝ eq \f(1,3)×16×4＝ eq \f(64,3)，因为AP＝BP＝4 eq \r(2)， 所以AC＝BC＝4 eq \r(3)，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)×8× eq \r(（4\r(3)）2－42)＝16 eq \r(2)，设点P到平面ABC的距离为d，则VP­ABC＝ eq \f(1,3)×16 eq \r(2)d＝ eq \f(64,3)，解得d＝2 eq \r(2). 考向2　几何法求线面角 [例2] (2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC­A1B1C1的体积为 eq \f(52,3)，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C．2 D．3 解析：设正三棱台ABC­A1B1C1的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作PO⊥平面ABC于点O，PO交平面A1B1C1于点O1，连接OA，O1A1，如图所示．由AB＝3A1B1，可得PO1＝ eq \f(1,2)h，PO＝ eq \f(3,2)h，又＝ eq \f(1,2)×22× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)，S△ABC＝ eq \f(1,2)×62× eq \f(\r(3),2)＝9 eq \r(3)，所以正三棱台ABC­A1B1C1的体积V＝VP­ABC－＝ eq \f(1,3)×9 eq \r(3)× eq \f(3,2)h－ eq \f(1,3)× eq \r(3)× eq \f(1,2)h＝ eq \f(52,3)，解得h ＝ eq \f(4\r(3),3)，故PO＝ eq \f(3,2)h＝2 eq \r(3).由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则OA＝ eq \f(2,3)× eq \r(62－32)＝2 eq \r(3)，因为PO⊥平面ABC，所以∠PAO是A1A与平面ABC所成的角，在Rt△PAO中，tan ∠PAO＝ eq \f(PO,OA)＝1. 几何法求线面角的三个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中来求解． 训练2 (2025·湖州模拟)如图，已知正四棱锥P­ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为(　　) A． eq \f(\r(14),3) B． eq \f(\r(7),3) C． eq \f(\r(15),6) D． eq \f(\r(21),6) 解析：作PO⊥底面ABCD于点O，连接OC， 因为正四棱锥P­ABCD底面边长为2，故OC＝ eq \r(2)，又侧棱长为4，故PO＝ eq \r(PC2－OC2)＝ eq \r(14).又M为侧棱PC的中点，取OC的中点F， 连接MF，BF，则MF∥PO，MF＝ eq \f(1,2)PO，且MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成角，且MF＝ eq \f(1,2)·PO＝ eq \f(\r(14),2).又cos ∠BCM＝ eq \f(\f(BC,2),PC)＝ eq \f(1,4).在△BCM中，由余弦定理得BM＝ eq \r(BC2＋CM2－2BC·CM cos ∠BCM)＝ eq \r(6).在△BFM中，sin ∠MBF＝ eq \f(MF,BM)＝ eq \f(\r(14),2\r(6))＝ eq \f(\r(21),6).故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为 eq \f(\r(21),6). 考向3　几何法求二面角 [例3] 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝ eq \f(π,3)，则二面角P­MN­O的大小为(　　) A． eq \f(π,12) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,3) 解析：取MN的中点E，连接OE，PE， 因为OM＝ON，所以OE⊥MN，因为PM＝PN，所以PE⊥MN，所以∠PEO是二面角P­MN­O的平面角， 因为PO⊥平面OMN，OE⊂平面OMN，所以PO⊥OE，因为∠MON＝ eq \f(π,3)，OM＝2，所以OE＝OM·cos eq \f(π,6)＝2× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)，因为PO＝1，所以PE＝ eq \r(PO2＋OE2)＝ eq \r(1＋3)＝2，所以cos ∠PEO＝ eq \f(OE,PE)＝ eq \f(\r(3),2)，所以结合图可知∠PEO＝ eq \f(π,6).所以二面角P­MN­O的大小为 eq \f(π,6). 作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 训练3 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1­AB­C的正切值为(　　) A．1 B．2 C． eq \f(\r(2),2) D． eq \r(2) 解析：取AB的中点M，连接C1M，CM， ∵AC＝CB，∴CM⊥AB，AC1＝BC1，∴C1M⊥AB，可知∠C1MC即为二面角C1­AB­C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝ eq \f(\r(2),2)a， ∴tan ∠C1MC＝ eq \f(CC1,CM)＝ eq \r(2). $$