第一章 第4节 微点突破1 截面、交线问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第4节　直线、平面平行的判定与性质 微点突破1　截面、交线问题 第一章　立体几何与空间向量 衔接教材 夯基固本 落实 请完成：课时训练(4) 温馨提示 谢谢观看！ “截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解． 考向1　截面问题 [例1] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面，写出作法． 解：如图所示，五边形DQMFN即为所求截面． 作法如下，连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H， 连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，则五边形DQMFN即为所求截面． 作截面应遵循的三个原则 (1)在同一平面上的两点可引直线； (2)凡是相交的直线都要画出它们的交点； (3)凡是相交的平面都要画出它们的交线． 训练1 如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，D1，M三点作正方体的截面，作出这个截面图，写出作法． 解：如图，连接CD1，连接D1M并延长，交DA的延长线于点N，连接CN交AB于点P，连接MP，则四边形CD1MP为过C，D1，M三点的正方体的截面． 考向2　交线问题 [例2] 已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝ 60°.以D1为球心， eq \r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________________. 答案： eq \f(\r(2)π,2)　解析：如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ， 由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝ eq \r(3)且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(球)) eq \r(R－D1E2) ＝ eq \r(5－3)＝ eq \r(2).可得EP＝EQ＝ eq \r(2)，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝ eq \r(5)，∴B1P＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(D1P2－D1B) ＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝ eq \f(π,2)，知 eq \x\to(PQ)的长为 eq \f(π,2)× eq \r(2)＝ eq \f(\r(2)π,2). 作交线的两种方法 (1)利用基本事实3作交线； (2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 训练2 已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球O的交线长为________________． 答案： eq \f(4\r(10),5)π　解析：设球O的半径为r，则AB＝BC＝2r，而 S四边形ABCD＝AB·BC＝4r2＝8，所以r＝ eq \r(2).如图，连接PO2，O1P，作OH⊥O2P于点H， 易知O1O2⊥AB．因为P为的中点，所以AP＝BP.又O2为AB的中点，所以O2P⊥AB．又O1O2∩O2P＝O2，O1O2，O2P⊂平面O1O2P，所以AB⊥平面O1O2P.又OH⊂平面O1O2P，所以AB⊥OH.因为OH⊥O2P，且AB∩O2P＝O2，AB，O2P⊂平面ABP，所以OH⊥平面ABP.因为O1O2＝2r＝2 eq \r(2)，O1P＝ eq \r(2)，O1O2⊥O1P，所以O2P＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \r(O1O＋O1P2) ＝ eq \r(（2\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝ eq \r(10)，所以sin ∠O1O2P＝ eq \f(O1P,O2P) ＝ eq \f(\r(2),\r(10))＝ eq \f(\r(5),5)，所以OH＝OO2×sin ∠O1O2P＝ eq \r(2)× eq \f(\r(5),5)＝ eq \f(\r(10),5).易知平面PAB与球O的交线为一个圆，其半径为r1＝ eq \r(r2－OH2)＝ eq \r(（\r(2)）2－（\f(\r(10),5)）2)＝ eq \f(2\r(10),5)， 交线长为l＝2πr1＝2π× eq \f(2\r(10),5)＝ eq \f(4\r(10),5)π. $$