第一章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 第一章　立体几何与空间向量 衔接教材 夯基固本 落实 不在一条直线上 衔接教材 夯基固本 落实 两个点 衔接教材 夯基固本 落实 一条 衔接教材 夯基固本 落实 外 相交 平行 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 互相平行 相等或互补 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 BCD 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 CD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(3) 温馨提示 谢谢观看！ 1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面之间的位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． 3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 一、与平面有关的基本事实及推论 1．与平面有关的三个基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实 1 过______________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实 2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实1的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线__一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条____直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条____直线，有且只有一个平面． 基本事实1及推论是判断或证明点、线共面的依据；基本事实2是判断一条直线是否在某个平面内的依据；基本事实3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示三个基本事实． 二、空间点、直线、平面之间的位置关系 位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交 关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 独有 关系 图形 语言 符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α 三、基本事实4和等角定理 1．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________． 2．等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________． 四、异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2．范围：___________． (0， eq \f(π,2)] 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 一、“教考衔接”例证 高 考 真 题 (2021·新高考Ⅱ卷)如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点．则满足MN⊥OP的是(　　) 追 根 溯 源 (人教A版必修第二册P147例2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD． 发 现 感 悟 两题均以正方体为背景，考查线线垂直的判断．解答此类问题常用的方法是几何法，其关键是熟练掌握三种垂直关系的转化和作出恰当的辅助线 二、教材典题改编 1．(多选)(人教A版必修第二册P128T2改编)下列命题是假命题的是(　　) A．空间不共线的三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定三个平面 2．(人教A版必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(\r(6),3) D． eq \f(\r(3),3) 3．(人教A版必修第二册P131T1改编)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 4．(人教A版必修第二册P132T5改编)三个平面最多能把空间分为________________部分，最少能把空间分成________________部分． 答案：8　4 三、易误易混澄清 1．(误解异面直线的概念)下列关于异面直线的说法，正确的是(　　) A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面 2．(忽视直线在平面内的情况)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 考点一　基本事实的应用 [例1] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明：(1)如图所示， 连接EF，CD1，A1B． ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B． ∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1可确定一个平面， 即E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴直线CE与直线D1F必相交，设交点为P. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA， ∴CE，D1F，DA三线共点． 共面、共线、共点问题的证明思路 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其他的线(或点)在这个平面内，或者用重合法证明． (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上，或直接证明点都在同一特定直线(如面面交线)上． (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 训练1 (1)在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC． (2)如图，P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是(　　) 解析：A中，由PQ与SR相交，可知P，Q，R，S四点共面；B中，由QR与PS相交，可知P，Q，R，S四点共面；C中，由PQ∥SR，可知P，Q，R，S四点共面；D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，可知四点不共面． 考点二　空间两直线位置关系的判断 [例2] (1)(2025·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 (2)(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论中正确的是(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 解析：(1)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中， ①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交； ②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行； ③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面． (2)因为直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以A，B错误；因为点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线，所以C，D正确． 空间两直线位置关系的判定方法 训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交 解析：根据条件作出示意图，得到如图三种可能的情况． 由图可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况． (2)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 解析：构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取AD为l1，AA1为l2，A1B1为l3，当取B1C1为l4时，l1∥l4；当取BB1为l4时，l1⊥l4；当取A1D为l4时，l1与l4既不垂直也不平行．故l1与l4的位置关系不确定． 考点三　求异面直线所成的角 [例3] 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． eq \f(π,2) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,6) 解析：方法一　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接C1P，BC1， 则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则BC1＝2 eq \r(2)， PC1＝B1P＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(1,2) eq \r(B1C＋D1C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))) ＝ eq \r(2)，BP＝ eq \r(B1B2＋B1P2)＝ eq \r(6).在△BPC1中，cos ∠PBC1＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(BP2＋BC－PC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),2BP·BC1) ＝ eq \f(\r(3),2)，所以∠PBC1＝ eq \f(π,6). 方法二　如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角， 由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1， 所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝ eq \f(π,3).又P为A1C1的中点，所以∠PBC1＝ eq \f(1,2)∠A1BC1＝ eq \f(π,6)，故直线PB与AD1所成的角为 eq \f(π,6). 异面直线所成角的求法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 训练3 (1)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(1,3) 解析：如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD­A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形， ∴sin ∠EAF1＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2). (2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2 eq \r(3)，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝ eq \r(7)，则异面直线AD与BC所成角的大小为________________． 答案：30°　解析：设BD的中点为O，连接EO，FO， 所以EO∥AD，FO∥BC，则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角，所以EO＝ eq \f(1,2)AD＝1，FO＝ eq \f(1,2)BC＝ eq \r(3)， EF＝ eq \r(7).在△EOF中，根据余弦定理，得cos ∠EOF＝ eq \f(EO2＋FO2－EF2,2·EO·FO) ＝ eq \f(12＋（\r(3)）2－（\r(7)）2,2×1×\r(3))＝ eq \f(1＋3－7,2\r(3))＝－ eq \f(\r(3),2)， 所以∠EOF＝150°，即异面直线AD与BC所成角的大小为30°. $$