第四章 第7节 离散型随机变量的分布列、均值与方差（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第7节　离散型随机变量的分布列、均值与方差 第四章　计数原理、离散型随机变量及其分布 衔接教材 夯基固本 落实 唯一 衔接教材 夯基固本 落实 ≥ 1 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 平均水平 衔接教材 夯基固本 落实 标准差 偏离程度 衔接教材 夯基固本 落实 aE(X)＋b a2D(X) 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(32) 温馨提示 谢谢观看！ 1．了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． 2．理解并会求离散型随机变量的数字特征(均值、方差). 一、离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 二、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 三、离散型随机变量分布列的性质 1．pi__0，i＝1，2，…，n； 2．p1＋p2＋…＋pn＝__． 四、离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 1．均值(数学期望) 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝__________________________＝ eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的________． 2．方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称 eq \r(D（X）)为随机变量X的______，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的________． 五、均值(数学期望)与方差的性质 1．E(aX＋b)＝______________． 2．D(aX＋b)＝____________(a，b为常数). 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2). 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2). 一、教材典题改编 1．(人教B版选择性必修第二册P99T4改编)某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 2．(苏教版选择性必修第二册P146T7)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n不能确定 3．(人教A版选择性必修第三册P71T3改编)随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b.若E(X)＝1，则a＝________，b＝________. 答案：0.6　0.2　解析：易知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝1，,a＋b＝0.8，))解得a＝0.6，b＝0.2. 4．(人教A版选择性必修第三册P67T3改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 　　 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_____． 答案：乙 二、易误易混澄清 1．(分布列的性质使用不当)已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝ eq \f(i,2a)(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝________． 答案： eq \f(1,3)　解析：由分布列的性质知 eq \f(1,2a)＋ eq \f(2,2a)＋ eq \f(3,2a)＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝ eq \f(2,2a)＝ eq \f(1,3). 2．(期望与方差公式用错)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 2c2 eq \f(1,2)c eq \f(1,2)c 则实数c的值为________，随机变量X的方差为________. 答案： eq \f(1,2)　 eq \f(11,16)　解析：由题意知2c2＋ eq \f(1,2)c＋ eq \f(1,2)c＝1，即2c2＋c－1＝0，即(2c－1)(c＋1)＝0，解得c＝ eq \f(1,2)或c＝－1.因为c>0， 所以c＝ eq \f(1,2)，则E(X)＝0× eq \f(1,2)＋1× eq \f(1,4)＋2× eq \f(1,4)＝ eq \f(3,4). 又E(X2)＝02× eq \f(1,2)＋12× eq \f(1,4)＋22× eq \f(1,4)＝ eq \f(5,4)，所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝ eq \f(5,4)－( eq \f(3,4))2＝ eq \f(11,16). 考点一　分布列的性质 1．已知随机变量X的分布列如下表，则P(|X|＝1)等于(　　) X －1 0 1 P a eq \f(1,3) c A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,6) 解析：由分布列可知a＋c＝1－ eq \f(1,3)＝ eq \f(2,3)，故P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝a＋c＝ eq \f(2,3). 2．(2025·龙岩模拟)已知随机变量X的分布列如下，若E(X)＝1，则下列结论正确的是(　　) X －2 1 2 P a b eq \f(1,2) A．a＝ eq \f(1,2) B．b＝ eq \f(1,6) C．D(X)＝ eq \f(7,2) D．D(3X＋2)＝18 解析：由随机变量X的分布列，且E(X)＝1，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,2)＝1，,－2×a＋1×b＋2×\f(1,2)＝1，))解得a＝ eq \f(1,6)，b＝ eq \f(1,3)，所以D(X)＝(－2－1)2× eq \f(1,6)＋(1－1)2× eq \f(1,3)＋(2－1)2× eq \f(1,2)＝2，所以D(3X＋2)＝32D(X)＝9×2＝18. 3．(2025·吉安模拟)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________． 答案： eq \f(1,3)　解析：由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a＋a＝1，解得a＝ eq \f(1,3). 4．设随机变量X满足P(X＝i)＝ eq \f(k,2i)(i＝1，2，3)，则k＝________；P(X≥2)＝________． 答案： eq \f(8,7)　 eq \f(3,7)　解析：由已知得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(k,2) eq \f(k,4) eq \f(k,8) ∴ eq \f(k,2)＋ eq \f(k,4)＋ eq \f(k,8)＝1，∴k＝ eq \f(8,7)，∴随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(4,7) eq \f(2,7) eq \f(1,7) ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ eq \f(2,7)＋ eq \f(1,7)＝ eq \f(3,7). 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 考点二　离散型随机变量的数字特征 [例1] 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛(竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%).某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为 eq \f(2,3)， eq \f(1,2)， eq \f(1,3). (1)若该同学在题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设随机变量X为该同学回答三题后的总得分，求X的分布列及数学期望． 解：(1)设该同学所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件A1，A2，A3，所选的题目回答正确为事件B， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.4× eq \f(2,3)＋0.4× eq \f(1,2)＋0.2× eq \f(1,3)＝ eq \f(8,15)， 所以该同学在题库中任选一题作答，他回答正确的概率为 eq \f(8,15). (2)由题可知X的所有可能取值为0，2，4，6， P(X＝0)＝(1－ eq \f(2,3))×(1－ eq \f(1,2))×(1－ eq \f(1,3))＝ eq \f(1,9)， P(X＝2)＝ eq \f(2,3)×(1－ eq \f(1,2))×(1－ eq \f(1,3))＋(1－ eq \f(2,3))× eq \f(1,2)×(1－ eq \f(1,3))＋(1－ eq \f(2,3))×(1－ eq \f(1,2))× eq \f(1,3)＝ eq \f(7,18)， P(X＝4)＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)×(1－ eq \f(1,3))＋(1－ eq \f(2,3))× eq \f(1,2)× eq \f(1,3)＋ eq \f(2,3)×(1－ eq \f(1,2))× eq \f(1,3)＝ eq \f(7,18)， P(X＝6)＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2)× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,9)， 则X的分布列为 X 0 2 4 6 P eq \f(1,9) eq \f(7,18) eq \f(7,18) eq \f(1,9) 所以E(X)＝0× eq \f(1,9)＋2× eq \f(7,18)＋4× eq \f(7,18)＋6× eq \f(1,9)＝3. 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 训练1 (2025·镇江开学考试)某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率； (2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X). 解：(1)从6张奖券中，任取2张奖券共有C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法， 所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为P＝ eq \f(15－3,15)＝ eq \f(4,5). (2)X的所有可能取值为80，85，90， P(X＝80)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) eq \f(1＋C·C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×2,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))) ＝ eq \f(3,5)，P(X＝85)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) eq \f(1＋C·C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))) ＝ eq \f(1,3)，P(X＝90)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) eq \f(1,C) ＝ eq \f(1,15)， ∴X的分布列为 X 80 85 90 P eq \f(3,5) eq \f(1,3) eq \f(1,15) ∴E(X)＝80× eq \f(3,5)＋85× eq \f(1,3)＋90× eq \f(1,15)＝ eq \f(247,3). 考点三　均值与方差中的决策问题 [例2] (2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设0<p<q. (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 解：(1)设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784. 设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875. 设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686. (2)(i)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲， 则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2). 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙， 则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2). 则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)·(p＋q－pq). 由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0， 所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙． 故应该由甲参加第一阶段比赛． (ii)若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15. P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， P(X＝5)＝[1－(1－p)3]·C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·q·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·q2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))q3， 所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3). 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15. 同理，可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3). E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq·(q－p)·(3－p－q). 由0<p<q≤1，得q－p>0，3－p－q＝3－(p＋q)>0， 所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y). 故应该由甲参加第一阶段比赛． 均值与方差在决策中的作用 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 训练2 某投资公司在2025年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为 eq \f(7,9)和 eq \f(2,9)； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 eq \f(3,5)， eq \f(1,3)和 eq \f(1,15). 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为 X1 300 －150 P eq \f(7,9) eq \f(2,9) ∴E(X1)＝300× eq \f(7,9)＋(－150)× eq \f(2,9)＝200. D(X1)＝(300－200)2× eq \f(7,9)＋(－150－200)2× eq \f(2,9)＝35 000. 若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为 X2 500 －300 0 P eq \f(3,5) eq \f(1,3) eq \f(1,15) ∴E(X2)＝500× eq \f(3,5)＋(－300)× eq \f(1,3)＋0× eq \f(1,15)＝200. D(X2)＝(500－200)2× eq \f(3,5)＋(－300－200)2× eq \f(1,3)＋(0－200)2× eq \f(1,15)＝ 140 000. ∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． $$