第二章 第9节 第五课时 存在性问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

第9节　圆锥曲线的综合问题 第五课时　存在性问题 第二章　解析几何 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(22) 温馨提示 谢谢观看！ [例] (2024·天津卷)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝ eq \f(1,2)，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝ eq \f(3\r(3),2). (1)求椭圆的方程． (2)过点(0，－ eq \f(3,2))的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得 eq \o(TP,\s\up16(→))· eq \o(TQ,\s\up16(→))≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2)，所以a＝2c，b＝ eq \r(a2－c2)＝ eq \r(3)c， 由题知A(－a，0)，B(0，－b)，C(0，－ eq \f(b,2))， 所以S△ABC＝ eq \f(1,2)·|BC|·|OA|＝ eq \f(1,2)· eq \f(b,2)·a＝ eq \f(1,2)· eq \f(\r(3)c,2)·2c＝ eq \f(3\r(3),2)，得c＝ eq \r(3)， 所以a＝2 eq \r(3)，b＝3. 故椭圆的方程为 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,9)＝1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t). 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，－3)，则 eq \o(TP,\s\up16(→))· eq \o(TQ,\s\up16(→))＝(0，3－t)·(0，－3－t)＝t2－9≤0，解得－3≤t≤3. 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx－ eq \f(3,2)， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\f(3,2)，,\f(x2,12)＋\f(y2,9)＝1，))可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，所以Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)>0，x1＋x2＝ eq \f(12k,3＋4k2)，x1x2＝－ eq \f(27,3＋4k2). 因为 eq \o(TP,\s\up16(→))· eq \o(TQ,\s\up16(→))＝(x1，y1－t)·(x2，y2－t)＝x1x2＋(y1－t)·(y2－t)＝x1x2＋(kx1－ eq \f(3,2)－t)·(kx2－ eq \f(3,2)－t)＝(1＋k2)·x1x2－k( eq \f(3,2)＋t)(x1＋x2)＋( eq \f(3,2)＋t)2＝－ eq \f(27（1＋k2）,3＋4k2)－ eq \f(12k2（\f(3,2)＋t）,3＋4k2)＋( eq \f(3,2)＋t)2＝ eq \f(－27－27k2－18k2－12k2t＋\f(27,4)＋3t2＋9t＋9k2＋4k2t2＋12k2t,3＋4k2) ＝ eq \f(4k2t2－36k2＋3t2＋9t－\f(81,4),3＋4k2)≤0， 所以4k2t2－36k2＋3t2＋9t－ eq \f(81,4)≤0对k∈R恒成立， 则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t2－36≤0，,3t2＋9t－\f(81,4)≤0，))解得－3≤t≤ eq \f(3,2). 综上可得，点T的纵坐标的取值范围是[－3， eq \f(3,2)]. 存在性问题的解题策略 存在性(探索性)问题，一般是不给出确定性的结论，而是以“是否存在”设问，让考生根据题目的条件进行分析判断得出确定的结论．此类问题的常用解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．要注意的是 (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知道，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取其他合适的方法． 训练1 已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得的弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由． 解：(1)设动圆圆心(x，y)， 当x≠0时，依题意， eq \r(|x|2＋22)＝ eq \r(（x－2）2＋y2)，即y2＝4x； 当x＝0时，曲线C的轨迹为点(0，0)，满足y2＝4x， 所以曲线C的轨迹方程为y2＝4x. (2)依题意，直线l不垂直于y轴，设直线l方程为x＝my＋4，点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,y2＝4x，))消去x并整理得y2－4my－16＝0，Δ>0恒成立， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－16，))令圆心为E(xE，yE)， 则yE＝2m，xE＝2m2＋4，E为(2m2＋4，2m)， 直径|MN|＝ eq \r(m2＋1)|y1－y2|＝ eq \r(m2＋1)· eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝4 eq \r(（m2＋1）·（m2＋4）)， 则圆E的方程为[x－(2m2＋4)]2＋(y－2m)2＝4(m2＋1)·(m2＋4)， 当x＝0，y＝0时，(2m2＋4)2＋(2m)2＝4(m4＋5m2＋4)＝4(m2＋1)(m2＋4)， 因此对于∀m∈R，圆E恒过原点， 所以存在定点(0，0)，以MN为直径的圆过定点(0，0). 训练2 (2025·阜阳模拟)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，动直线l过点M(2，0)，当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为 eq \f(\r(2),2). (1)求双曲线C的标准方程． (2)当直线l与双曲线C交于异于A，B的两点P，Q时，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2.是否存在实数λ，使得k2＝λk1成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵a＝1，∴x2－ eq \f(y2,b2)＝1， 故当直线l过点(2，0)且与双曲线C有且仅有一个公共点时，l与C的渐近线平行．设直线l：y＝±b(x－2)， 则点B(1，0)到直线l的距离为 eq \f(b,\r(1＋b2))＝ eq \f(\r(2),2)，∴b＝1， ∴双曲线C的标准方程为x2－y2＝1. (2)由题可知，直线l的斜率不为0， 设直线l：x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝1，,x＝my＋2，))得(m2－1)y2＋4my＋3＝0(m2－1≠0)， Δ＝4m2＋12>0成立，则y1＋y2＝－ eq \f(4m,m2－1)，y1y2＝ eq \f(3,m2－1)， ∴my1y2＝－ eq \f(3,4)(y1＋y2). ∵k1＝ eq \f(y1,x1＋1)，k2＝ eq \f(y2,x2－1)， ∴λ＝ eq \f(k2,k1)＝ eq \f(\f(y2,x2－1),\f(y1,x1＋1))＝ eq \f(y2（x1＋1）,y1（x2－1）)＝ eq \f(y2（my1＋3）,y1（my2＋1）)＝ eq \f(my1y2＋3y2,my1y2＋y1)＝ eq \f(－\f(3,4)（y1＋y2）＋3y2,－\f(3,4)（y1＋y2）＋y1)＝ eq \f(－\f(3,4)y1＋\f(9,4)y2,\f(1,4)y1－\f(3,4)y2)＝－3. 故存在实数λ＝－3，使得k2＝λk1成立． $$