第二章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 第二章　解析几何 衔接教材 夯基固本 落实 0 1 衔接教材 夯基固本 落实 不相等 2 1 0 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 谢谢观看！ 1．掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题的思想方法． 2．会判断直线与圆锥曲线的位置关系． 一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的交点个数 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) __ b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) __ 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C的交点个数 a≠0 Δ＞0 两个______的解 __ Δ＝0 两个相等的解 __ Δ＜0 无实数解 __ 2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为只有直线与双曲线相切．而当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点． 二、圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，则|AB|＝ eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝ eq \r(1＋k2)· eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))· eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2). “点差法”的常见结论 设AB为圆锥曲线的一条弦，点P为弦AB的中点． (1)椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－ eq \f(b2,a2)； (2)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝ eq \f(b2,a2)； (3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝ eq \f(p,y0)(y0为中点P的纵坐标且y0≠0). 一、教材典题改编 1．(人教B版选择性必修第一册P173习题2­8AT2)已知直线x－2y＋2＝0与椭圆x2＋4y2＝4相交于A，B两点，则线段AB的长为________________. 答案： eq \r(5) 2．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y＝ eq \f(1,4)x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________________. 答案： eq \f(16,3) 3．(人教A版选择性必修第一册P145T4改编)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则实数k的取值范围是___________． 答案：(－∞，－ eq \r(2))∪( eq \r(2)，＋∞) 二、易误易混澄清 1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当直线与双曲线相切时，只有一个公共点．但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点． 2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 考点一　直线与圆锥曲线位置关系的判断 [例1] (1)(多选)(2024·邯郸模拟)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C： eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 eq \r(2) B．若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<2 eq \r(2) C．若m＝3 eq \r(2)，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－ eq \r(2)，则C上到l的距离为1的点只有3个 (2)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为________________． 答案：(1)BCD　(2)0或 eq \f(1,2)或－1　解析：(1)联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12(8－m2).对于A，令Δ＝12(8－m2)≥0，则有|m|≤2 eq \r(2)，故A错误；对于B，令Δ＝12(8－m2)>0，则有|m|<2 eq \r(2)，故B正确；对于C，令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2 eq \r(2)，直线y＝x＋3 eq \r(2)与y＝x－2 eq \r(2)的距离d＝ eq \f(|3\r(2)－（－2\r(2)）|,\r(2))＝5，故C正确；对于D，如图，直线y＝x－ eq \r(2)分别与y＝x－2 eq \r(2)和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，故D正确． (2)当斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点；当斜率k≠0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立，消去x可得y2－ eq \f(4y,k)＋8＋ eq \f(4,k)＝0，因为直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，所以Δ＝ eq \f(16,k2)－ eq \f(16,k)－32＝0，解得k＝ eq \f(1,2)或k＝－1.综上可得，k的值为0或 eq \f(1,2)或－1. 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程的根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 几何法 画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点的个数 训练1 已知直线y＝2x＋2与双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为(　　) A．5 B． eq \r(5) C． eq \f(5,2) D． eq \f(\r(5),2) 解析：因为直线y＝2x＋2与双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)有且仅有1个交点，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y2,a2)－\f(x2,b2)＝1，,y＝2x＋2，)) 可得(4b2－a2)x2＋8b2x＋4b2－a2b2＝0. 当直线y＝2x＋2与双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)的渐近线平行时，4b2－a2＝0⇒ eq \f(b,a)＝ eq \f(1,2)，则双曲线C的离心率e＝ eq \r(1＋（\f(b,a)）2)＝ eq \f(\r(5),2). 当直线y＝2x＋2与双曲线C： eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(0<a<2，b>0)相切时， 此时 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4b2－a2≠0，,Δ＝64b4－4（4b2－a2）（4b2－a2b2）＝0，)) 解得a2＝4b2＋4≥4，则a≥2，不符合题意． 所以双曲线C的离心率为 eq \f(\r(5),2). 考点二　与弦长有关的问题 [例2] (2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P(3， eq \f(3,2))为椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 解：(1)由题知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,b2)＝1，,\f(9,a2)＋\f(9,4b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,b＝3，)) ∴c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(3)，∴C的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2). (2)|PA|＝ eq \r(32＋（－\f(3,2)）2)＝ eq \f(3\r(5),2)， 设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝ eq \f(1,2)|PA|·h＝9，解得h＝ eq \f(12\r(5),5). 易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x，y)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|x＋2y－6|,\r(5))＝\f(12\r(5),5)，,\f(x2,12)＋\f(y2,9)＝1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－\f(3,2)，))∴B(0，－3)或B(－3，－ eq \f(3,2))， 故直线l：y＝ eq \f(3,2)x－3或y＝ eq \f(1,2)x. 求解直线被圆锥曲线截得的弦长的方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝ eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0). 训练2 (2024·南昌模拟)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，顶点到渐近线的距离为 eq \f(\r(6),2). (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为2 eq \r(6)，求k的值． 解：(1)由题得C的离心率e＝ eq \f(c,a)＝2　①，设C的顶点为(a，0)，渐近线方程为bx－ay＝0，则 eq \f(ab,c)＝ eq \f(\r(6),2)　②. 又a2＋b2＝c2　③， 联立①②③，解得a＝ eq \r(2)，b＝ eq \r(6)，c＝2 eq \r(2)， 所以双曲线C的方程为 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,6)＝1. (2)设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,2)－\f(y2,6)＝1，))得(3－k2)x2－4kx－10＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－k2≠0，,Δ＝16k2＋40（3－k2）＝120－24k2>0，)) 解得－ eq \r(5)<k< eq \r(5)，且k≠± eq \r(3)， 所以x1＋x2＝ eq \f(4k,3－k2)，x1x2＝－ eq \f(10,3－k2)， 所以|AB|＝ eq \r(1＋k2)· eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝ eq \r(1＋k2)· eq \r(（\f(4k,3－k2)）2＋4×\f(10,3－k2))＝ eq \f(2\r(6)·\r(1＋k2)·\r(5－k2),|3－k2|). 又点O到直线l的距离d＝ eq \f(2,\r(1＋k2))， 所以△AOB的面积S＝ eq \f(1,2)|AB|·d＝ eq \f(1,2)× eq \f(2\r(6)·\r(1＋k2)·\r(5－k2),|3－k2|)· eq \f(2,\r(1＋k2))＝ eq \f(2\r(6)·\r(5－k2),|3－k2|)＝2 eq \r(6)， 解得k＝±1或k＝±2，符合k≠± eq \r(3)， 所以k＝±1或k＝±2. 考点三　中点弦问题 [例3] (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－ eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) (2)已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为 eq \f(\r(3),2)，过点F的直线l交椭圆于A，B两点．若AB的中点为(1，1)，则直线l的斜率为(　　) A．－ eq \f(1,4) B．－ eq \f(3,4) C．－ eq \f(1,2) D．1 解析：(1)通解　设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),9)＝1，,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),9)＝1，)) 两式作差，得x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y－y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),9) ，即(x1－x2)·(x1＋x2)＝ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9)，化简得 eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）)＝9，即 eq \f(y1－y2,x1－x2)· eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2))＝kAB· eq \f(y0,x0)＝9，因此kAB＝9· eq \f(x0,y0). 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9× eq \f(1,1)＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,2)＝－ eq \f(9,2)<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9× eq \f(1,3)＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选 项，因为kAB＝9× eq \f(－1,－4)＝ eq \f(9,4)<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意． 光速解　选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称．设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则|kAB|＝9| eq \f(x0,y0)|<3，即|y0|>3|x0|，结合选项可知选D． (2)设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)， 则AB的中点坐标为( eq \f(x1＋x2,2)， eq \f(y1＋y2,2)).由题意可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.将A，B的坐标代入椭圆的方程得eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),b2)＝1，,\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝1，)) 作差可得eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y－y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2) ＝0，所以 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(b2,a2)· eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－ eq \f(b2,a2).又离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),2)，c2＝a2－b2，所以 eq \f(a2－b2,a2)＝ eq \f(3,4)，所以－ eq \f(b2,a2)＝－ eq \f(1,4)，即直线AB的斜率为－ eq \f(1,4). 弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系．若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率． 训练3 (1)已知双曲线方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1，则以A(2，1)为中点的弦所在直线l的方程是(　　) A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0 C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0 解析：设直线l交双曲线x2－ eq \f(y2,3)＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝4，,y1＋y2＝2，))由已知得eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),3)＝1，,x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3)＝1，)) 两式作差得x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(y－y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3) ，所以 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(3（x1＋x2）,y1＋y2)＝6，即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0，经检验满足题意． (2)(2025·贵阳开学考试)已知直线x－4y＋9＝0与椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,b2)＝1(0<b<4)相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C(－1，2)，则△CF1F2的面积为(　　) A．2 eq \r(2) B．4 eq \r(2) C．2 eq \r(3) D．4 eq \r(3) 解析：设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，由题可知kAB＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(1,4)，x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，则eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,16)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),b2)＝1，,\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),16)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝1，)) 所以 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(b2（x1＋x2）,16（y1＋y2）)，即 eq \f(1,4)＝ eq \f(2b2,16×4)，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2 eq \r(2)，所以S△CF1F2＝ eq \f(1,2)×2c×2＝4 eq \r(2). $$