第二章 第8节 微点突破5 圆锥曲线中的“设而不求”问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 微点突破5　圆锥曲线中的“设而不求”问题 第二章　解析几何 衔接教材 夯基固本 落实 B 请完成：课时训练(17) 温馨提示 谢谢观看！ 设而不求是解答解析几何问题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求． [例] (2025·石家庄质检)已知P是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的一个动点，过点P作抛物线x2＝8y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(3,4) C． eq \f(3,8) D． eq \f(1,2) 解析：由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，设P为(m，n)，过点P的抛物线的切线为y＝k(x－m)＋n，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－m）＋n，,x2＝8y，))得x2－8kx＋8km－8n＝0.因为Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，所以k1＋k2＝ eq \f(m,2)，k1k2＝ eq \f(n,2)，又由x2＝8y得y＝ eq \f(x2,8)，可得y′＝ eq \f(1,4)x，所以x1＝4k1，y1＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x,8) ＝2k eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))， x2＝4k2，y2＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(x,8) ＝2k eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，所以kAB＝ eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(2k－2k eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),4k2－4k1) ＝ eq \f(k2＋k1,2)＝ eq \f(m,4).因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以1≤m≤3，因此 eq \f(1,4)≤ eq \f(m,4)≤ eq \f(3,4)，即直线AB斜率的最大值为 eq \f(3,4). (1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地利用根与系数的关系用PA，PB的斜率把A，B的坐标表示出来，从而快速解决问题． (2)在圆锥曲线问题中运用“设而不求”的方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能运用“设而不求”方法；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多． 训练 过点M(1，1)作斜率为－ eq \f(1,2)的直线与椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________________. 答案： eq \f(\r(2),2)　解析：设A为(x1，y1)，B为(x2，y2)，则eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),b2)＝1，,\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)＋\f(y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝1，)) 相减得 eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＋ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)＝0，整理得 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(b2,a2)· eq \f(x1＋x2,y1＋y2).∵ eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(1,2)，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－ eq \f(b2,a2)＝－ eq \f(1,2)，∴a2＝2b2. ∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(2),2).即椭圆C的离心率e＝ eq \f(\r(2),2). $$