第二章 第6节 微点突破4 双曲线中二级结论的应用（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第6节　双曲线 微点突破4　双曲线中二级结论的应用 第二章　解析几何 衔接教材 夯基固本 落实 B C B D 请完成：课时训练(15) 温馨提示 谢谢观看！ 双曲线的二级结论 1．焦点三角形的面积公式：已知点P为双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于顶点的一点，F1，F2为左、右焦点，且∠F1PF2＝θ，则双曲线中＝ eq \f(b2,tan \f(θ,2)). 2．双曲线的焦半径公式：已知点P(xP，yP)在双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，e为双曲线的离心率，则|PF1|＝|exP＋a|，|PF2|＝|exP－a|. 3．焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与双曲线相交于A，B两点，则 eq \f(1,|AF|)＋ eq \f(1,|BF|)＝ eq \f(2a,b2). 4．过双曲线上一点的切线方程：已知点P(x0，y0)为焦点在x轴上的双曲线上的任一点，则过点P与双曲线相切的切线方程为 eq \f(x0x,a2)－ eq \f(y0y,b2)＝1. 5．周角定理：已知过原点的直线l交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的动点，则kPA·kPB＝ eq \f(b2,a2). [例] 已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F.若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为(　　) A． eq \r(2) B． eq \r(3) C．2 D． eq \r(5) 解析：一般法解题　设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，所以AF⊥BF，圆心为O(0，0)，半径为c. 根据双曲线的对称性可得四边形AFBF′是矩形，设|AF|＝m，|BF|＝n， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n－m＝2a，,n2＋m2＝4c2，,\f(1,2)mn＝2a2，))由(n－m)2＝m2＋n2－2mn可得4c2－8a2＝4a2，所以c2＝3a2，所以 eq \f(c2,a2)＝e2＝3，所以e＝ eq \r(3). 二级结论解题　设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，所以S△AF′F＝2a2，且∠F′AF＝ eq \f(π,2)，根据双曲线焦点三角形面积公式S△AF′F＝ eq \f(b2,tan \f(∠F′AF,2))，得2a2＝b2，结合c2＝a2＋b2，得2a2＝c2－a2⇒c2＝3a2⇒e2＝3⇒e＝ eq \r(3). 训练 (1)过双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为 eq \f(2,5)，则双曲线C的离心率为(　　) A． eq \f(\r(29),5) B． eq \f(\r(30),3) C． eq \f(\r(35),5) D． eq \f(\r(30),5) 解析：设P为(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为 eq \f(xx0,a2)－ eq \f(yy0,b2)＝1，故切线l的斜率k＝ eq \f(b2x0,a2y0).因为k·kOP＝ eq \f(2,5)，所以 eq \f(b2x0,a2y0)· eq \f(y0,x0)＝ eq \f(2,5)，则 eq \f(b2,a2)＝ eq \f(2,5)，即双曲线C的离心率e＝ eq \r(1＋\f(2,5))＝ eq \f(\r(35),5). (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：由焦点三角形面积公式，得S△F1PF2＝ eq \f(b2,tan \f(∠F1PF2,2))＝ eq \f(12,tan 30°)＝ eq \r(3)，即 eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝ eq \f(\r(3),4)|PF1||PF2|＝ eq \r(3)，所以|PF1|·|PF2|＝4. (3)已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，若点P是双曲线上任意一点，且满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝± eq \r(3)x C．y＝± eq \r(2)x D．y＝±x 解析：设P为(x0，y0)，则x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))≥a2.由焦半径公式可知|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，其中e为双曲线的离心率．易知e2x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－a2>0，则由|PO|2＝|PF1|·|PF2|，得x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋b2(eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(x,a2) －1)＝e2x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－a2，可得(1＋ eq \f(b2,a2)－e2)x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝b2－a2＝0，则a2＝b2，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. $$