第二章 第5节 微点突破3 椭圆中二级结论的应用（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习下册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第5节　椭　圆 微点突破3　椭圆中二级结论的应用 第二章　解析几何 衔接教材 夯基固本 落实 B D B 请完成：课时训练(14) 温馨提示 谢谢观看！ 椭圆的有关二级结论 1．焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan eq \f(θ,2). 2．椭圆的焦半径公式：已知点P(xP，yP)在椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，e为椭圆的离心率，则|PF1|＝a＋exP，|PF2|＝a－exP. 3．焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则 eq \f(1,|AF|)＋ eq \f(1,|BF|)＝ eq \f(2a,b2). 4．周角定理：已知点P为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或短轴)端点，则kPA·kPB＝－ eq \f(b2,a2). 5．过椭圆上一点的切线方程：已知点P(x0，y0)为焦点在x轴上的椭圆上任一点，则过点P与椭圆相切的切线方程为 eq \f(x0x,a2)＋ eq \f(y0y,b2)＝1. [例] (2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：一般法解题　因为 eq \o(PF1,\s\up16(→))· eq \o(PF2,\s\up16(→))＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 eq \r(5)，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2. 二级结论解题　因为 eq \o(PF1,\s\up16(→))· eq \o(PF2,\s\up16(→))＝0，所以PF1⊥PF2，则＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)，得 eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1×tan eq \f(90°,2)，所以|PF1|·|PF2|＝2. 训练 (1)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝ eq \f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝ eq \f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 解析：由e＝ eq \f(1,2)，得 eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2)，即a＝2c.设△F1PF2的内切圆半径为r，则由△F1PF2的内切圆的面积为3π，可得πr2＝3π，解得r＝ eq \r(3)(负值舍去).在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)＝ eq \f(1,2)r(2a＋2c)，即 eq \f(\r(3),3)b2＝ eq \r(3)(a＋c).结合a2＝b2＋c2，易得a＝6.所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. (2)设椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C．－1 D．－ eq \f(1,2) 解析：一般法解题　由题意，椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∠F1AF2＝90°，在Rt△OAF2中，|OA|＝b，|AF2|＝a，∠OAF2＝45°，∴a＝ eq \r(2)b.不妨设b＝1，则a＝ eq \r(2)，c＝1，则椭圆的方程为 eq \f(x2,2)＋y2＝1.又A(0，1)，F2(1，0)，∴kAF2＝－1，∴直线AF2的方程为y＝－x＋1.联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝ eq \f(4,3). 把x＝ eq \f(4,3)代入直线y＝－x＋1，解得y＝－ eq \f(1,3)，即M( eq \f(4,3)，－ eq \f(1,3)).又点B(0，－1)，∴直线BM的斜率kBM＝ eq \f(－\f(1,3)－（－1）,\f(4,3)－0)＝ eq \f(1,2). 二级结论解题　∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形，即b＝c. ∴a2＝2b2＝2c2，∴ eq \f(b2,a2)＝ eq \f(1,2)，且∠AF2O＝45°， ∴kMA＝－1.又kMA·kMB＝－ eq \f(b2,a2)＝－ eq \f(1,2)， ∴kMB＝ eq \f(1,2). (3)已知椭圆C： eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|＝2，则|AB|＝________________，cos ∠F1AB＝________________． 答案： eq \f(8,3)　－ eq \f(1,3)　解析：由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2. 又 eq \f(1,|AF2|)＋ eq \f(1,|BF2|)＝ eq \f(2a,b2)，即 eq \f(1,2)＋ eq \f(1,|BF2|)＝ eq \f(8,4)，解得|BF2|＝ eq \f(2,3)，所以|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝ eq \f(8,3).由椭圆定义知|AF1|＝2a－|AF2|＝6，|BF1|＝2a－|BF2|＝ eq \f(22,3).在△AF1B中，由余弦定理，得cos ∠F1AB＝ eq \f(62＋（\f(8,3)）2－（\f(22,3)）2,2×6×\f(8,3))＝－ eq \f(1,3). $$