1.3反比例函数实际应用同步训练2025--2026学年湘教版九年级数学上册

1.3反比例函数实际应用 一、单选题 1．已知某村的耕地总面积为，下列关于该村人均耕地面积与总人口x（人）的说法，正确的是（   ）． A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积与总人口x（人）成正比例 C．若该村人均耕地面积为，则总人口有100人 D．当该村总人口为1000人时，人均耕地面积为 2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，，当时，氧气的密度是（    ） A． B． C． D． 4．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图，当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不小于 B．大于 C．不小于 D．小于 第4题图 第5题图 第6题图 5．淇淇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间与骑车速度之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（   ） A．淇淇家到学校的距离为 B．若，则 C．淇淇要在内从家赶到学校，则骑车速度可以是 D．淇淇要在内从家赶到学校，则骑车速度可以是 6．如图，在平行四边形中，点从出发，沿运动，设，到的距离为，则与之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率（单位：赫兹）与长度（单位：米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若某一振动弦的共振频率为240赫兹，长度为0.5米，如果为赫兹，则是是 米． 8．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数表达式是 ． 9．由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量达到2毫克以上（包括2毫克）时能有效消毒，则有效消毒时间为 分钟． 第9题图第10题图 10．某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为，另一边长为的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为 （不必写明自变量x的取值范围）． 三、解答题 11．心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 12．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 13．为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式（不用写自变量取值范围 (2)当气球的气体体积为时，气体压强是多少？ (3)当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于多少？ 14．在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 15．如图，某课外兴趣小组计划利用已有的篱笆围成一个一边靠墙、面积为 的矩形花园、其中墙长为，现在可用的篱笆总长为， (1)若设 ，请写出关于的函数表达式、 (2)若要使的篱笆全部用完，能否围成面积为 的花园? 若能，请求出长和宽；若不能，请说明理由． (3)假设围成矩形花园 三边的材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求满足条件的所有围建方案． 《1.3反比例函数实际应用同步训练2025--2026学年湘教版九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C C D A 1．D 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、反比例的应用，根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 选项A、B错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为，则总人口有2500人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为1000人时，人均耕地面积为，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则，是反比例函数， 又∵动力臂， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．根据题意可知一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，且已知当时，，故与的函数关系式是；把代入解析式即可求解． 【详解】解：设， 当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式是； 当时，． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查求待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意可设，将代入可得，所以在第一象限内，随的增大而减小，再根据气压大于时，气球将爆炸可得到关于的不等式，求得的取值范围即可解答． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， 图象过点， ， 即在第一象限内，随的增大而减小， 当时，， 故选：C． 5．D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案． 【详解】解：设，当时，， 解得：，故淇淇家到学校的距离为，A正确； 故与的函数表达式为：， 若，则，B正确； 当时，，则骑车速度可以是，故C正确，D错误； 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了两个变量之间的关系，反比例函数的应用．依次判断点在线段和线段上随的变化情况即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为，由题知点到的距离为， 连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当在边上时， 由题意得，即，函数图象一段双曲线， 当在边上时，点到的距离为定值，即为常数函数，函数图象一线段， 观察图象，选项A符合题意， 故选：A． 7．/ 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题关键是结合实际背景代入求值，求出对应的函数解析式． 将代入到，可求出反比例解析式，进而求解． 【详解】解：由题意将代入到中，得， ∴， ∴， 同理，将代入到中，得， ∴． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设，根据已知400度的近视眼镜镜片的焦距是，求出的值即可． 【详解】解：设， ∵400度的近视眼镜镜片的焦距是， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数表达式是：， 故答案为：． 9．72 【分析】首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为y=（k≠0）， 将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150， 则函数解析式为y=（x≥15）， 当y=2时，=2， 解得x=75． 在y=中令y=10，则x=15， 则A的坐标是（15，10）． 设OA的解析式是y=ax， 把（15，10）代入，得a=，即正比例函数的解析式是y=x． 令y=2，解得x=3． 则有效消毒消毒时间为75-3=72分钟． 故答案为：72． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 10． 【分析】根据变形计算即可，本题考查了反比例函数的解析式确定，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故， 故答案为：． 11．(1) (2)物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为30时的两个时间，再将两时间之差与27比较，大于27则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意可知， ∴点C的坐标为 设反比例函数的解析式为， 将代入， 得 ， 解得∶， ∴反比例函数的解析式为 ， ∴将代入 得：， ∴点 D 的坐标为 ， ∴点A 的坐标为 ， 设时，y与x的函数解析式为， 由题图可得点B的坐标为， 将，代入， 得   解的： ， ∴当时，y关于x的函数解析式为； （2）解：物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由如下： 对于， 当时，， 解得． 对于 当时， ∵， ∴物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30． 12．(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 13．(1)这一函数的表达式为； (2)当气球的气体体积为时，气体压强是； (3)当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据给定点的坐标，求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设与V的函数关系式为，由点在反比例函数图象上，可求出k值，进而可得出这一函数的表达式； （2）把代入即可得到结论； （3）代入，求出V值即可． 【详解】（1）解：设与V的函数关系式为， 点在反比例函数图象上， ， ， 这一函数的表达式为； （2）解：把代入得；， 答：当气球的气体体积为时，气体压强是； （3）解：当时，， 解得：， 当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应不小于． 14．(1) (2)这块薄木板的面积至少． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； （2）解：把，代入 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 15．(1)； (2)能，长为，宽为； (3)，． 【分析】（）根据矩形的面积公式即可求解； （）设，则，根据矩形的面积列出一元二次方程即可求解； （）由，且都为正整数，，可得可取，，，对应的值为，，，再根据即可求解； 本题考查了反比例函数应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出反比例函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 即关于的函数表达式为； （2）解：能． 设，则， 由题意得，， 解得， ∴，， 即长为，宽为； （3）解：∵，且都为正整数，， ∴可取，，，对应的值为，，， 又∵， ∴，， ∴满足条件的所有围建方案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $$