1.3.1反比例函数k的几何性质同步训练2025-2026学年湘教版数学九年级上册

反比例函数k的几何性质 一、单选题 1．如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（    ） A． B．6 C．4 D．2 T1 T2T3T4 2．如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（   ） A．1.5 B．3 C．18 D．6 3．如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知双曲线（）经过直角三角形斜边的中点D，且与直角边相交于点C．若面积为6，则k的值为（  ） A．5 B． C．4 D． 5．如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 T5T6T7T8 6．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 7．如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）   A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C． D． T9T10T12T13 10．点在反比例函数图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的3个阴影部分矩形面积从左到右依次记为，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．若图中函数的表达式均为，则阴影面积为4的有 个．      12．如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交y轴于点C，交双曲线于点B，若．则k的值是 ． 13．如图，动点P在函数（x＞0）的图象上，轴于点A，是以为底的等腰三角形，点B在y轴上，则的面积等于 ，当点A的横坐标逐渐增大时，的面积将会 ．（填“变大”、“变小”或“不变”） 14．如图，已知点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，与交于点，且为的中点，若的面积为，则 ． T14T15 15．如图，过点P作x轴的垂线交双曲线于点A，连接．在x轴上点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接交于C．设的面积为，梯形面积为，则与的大小关系是 ．（选填“＞”“＜”或“＝”） 16．如图，正比例函数与函数的图象交于，两点，轴，轴，则 ． 17．如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． T16T17T18 18．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 三、解答题 19．如图，，关于原点对称，为反比例函数图象上异于的一个点．过作垂直于轴于点． (1)若的坐标为，则的坐标为______； (2)若的面积为，则的值为______； (3)在（）的条件下，若的纵坐标为，求的面积． 20．如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，已知的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)求的面积； (3)结合图象直接写出中的取值范围是 ． 《反比例函数k的几何性质 同步练习2023-2024学年湘教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D B A A B C B 1．B 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义． 直接根据矩形的顶点A在反比例函数的图象上作答即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积等于6 故选：B． 2．D 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义．根据值的几何意义，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵图象在一、三象限， ∴， ∴； 故选：D． 3．A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个恒等值，即可得出结果． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，所以． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 设，利用点D为的中点得到，接着表示出，然后根据三角形面积公式得到，再解关于k的方程即可． 【详解】解：设， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴C点的横坐标为， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 7．A 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度． 根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点、点的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点， 轴， 设， ， ， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，设点，代入双曲线得，根据三角形面积公式求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴． 故选：C 10．B 【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键． 利用反比例函数系数的几何意义，及求解，然后利用列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意知：矩形的面积， ， ， 同理：矩形，矩形的面积都为， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 11．2 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：图1中，阴影面积为4； 图2中，阴影面积为； 图3中，阴影面积为； 图4中，阴影面积为； 则阴影面积为4的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的对称性，三角形的面积，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 12． 【分析】本题考查了反比例函数中系数k的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数k的几何意义是解决本题的关键． 过点A作轴于D，过点B作x轴于E，首先得到，，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：过点A作轴于D，过点B作x轴于E，    ∵轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选答案为：． 13． 4 不变 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，熟练掌握在反比例函数的性质是解答本题的关键． 过点作轴于点，设，即可证结果. 【详解】解：过点作轴于点， 设，则 当点的横坐标逐渐增大时，， ∴的面积不变； 故答案为：4；不变. 14． 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确理解k的几何意义是解题关键． 由的面积为2，知，根据反比例函数中k的几何意义，知本题，由反比例函数的性质，结合已知条件P是的中点，得出，，进而求出k的值． 【详解】解：∵的面积为2，轴于点，轴于点，与交于点， ， ∴， ∵P是的中点，轴于点，轴于点， ∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，即， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴， ∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，则， ， ． 故答案为：． 15．＞ 【分析】本题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即成为解题的关键． 根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，，故与的面积相等．梯形面积是的一部分，即可完成解答． 【详解】解：根据反比例函数系数k的几何意义可得：， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：＞． 16．10 【分析】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，先设点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定点坐标，于是可得到点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算,根据函数的性质得出、、的坐标是解题的关键． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为， 点坐标为， ，， 的面积． 故答案为：10． 17． 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 故答案为：． 18．2 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的面积公式，是解题的关键． 设，则，根据，推得，即可求得． 【详解】设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 19．(1)； (2)； (3)． 【分析】()根据关于原点对称的性质求解即可； ()利用待定系数法求解； ()求出直线的解析式，可得直线交轴一点， 再利用分割法求出的面积； 此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）∵点与关于原点对称， ∴点， 故答案为：； （2）∵，的面积为， ∴，解得：， 故答案为：； （3）∵的图象过， ∴， ∵若的纵坐标为， ∴点， 设直线解析式为，与轴交于点，如图， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴点， ∴， ∴． 20．(1)正比例函数解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 21．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，得到反比例函数解析式为：，把点和点代入反比例函数解析式得：，，由此即可得解； （2）先利用待定系数法求出一次函数为，设一次函数与轴交于点，则，从而得到，再由进行计算即可； （3）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：的面积为4， ， 解得：或， 由图象可得：， ， 反比例函数解析式为：， 把点和点代入反比例函数解析式得：，， ，； （2）解：由（1）可得，， ，， 把，代入一次函数得：， 解得：， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交于点， 在中，令，则， 解得：， ， ， （3）解：由图可得：中的取值范围是或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$