1.3.2反比例函数与一次函数综合同步训练2025-2026学年湘教版数学九年级上册

反比例函数与一次函数综合 一、单选题 1．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B．C． D． 2．若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C．-3 D．3 3．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 T3T4T5T6 4．反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，点P是正比例函数与反比例函数在第一象限内的交点，交x轴于点A，的面积为2，则k的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 T7T8T10T11 二、填空题 8．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 9．若反比例函数的图象经过点（2， ），则一次函数的图象不经过第 象限． 10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数，和的图象相交于点，，，，其中点，则点的坐标是 ． 11．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 12．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元   T12T13 13．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，点P是线段AB上一点，连接OP，且，若双曲线y=过点P，则k= ． 三、解答题 14．在平面直角坐标系中，一次函数（都是常数，且）的图象与反比例函数（为常数）的图象分别交于、两点，他们的坐标分别为． (1)求反比例函数表达式； (2)求一次函数表达式． 15．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点C与点B关于原点对称，求的面积； (3)观察图象，直接写出的解集． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，连接OC．已知点B的坐标为，的面积是2，求b，k的值． 17.一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与y轴交于点M． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在y轴上取一点N，当的面积为4时，求点N的坐标； (3)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求x的取值范围（直接写出答案）． 18．如图所示，反比例函数在第一象限的图象与一次函数的图象交于，两点，在线段上取点P，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交函数的图象于点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)请直接写出不等式的解集的取值范围________． 《反比例函数与一次函数综合 同步训练2025-2026学年湘教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C A C C A 1．A 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的图象，掌握一次函数与反比例函数的系数与图象的关系是解题关键．根据和两种情况判断函数图象，即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象在第一、二、四象限，即B、C选项错误； 当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象在第一、二、三象限，即A选项正确，B选项错误； 故选：A 2．A 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意，点是直线与双曲线的交点，可得和，代入代数式即可求解． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵； 故选A． 3．C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求出点坐标，设点的坐标为，可得为代入面积公式求值即可． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴， 将代入， 可得：， ∴， ∴点坐标为， 根据为轴上的一点，可设点的坐标为， 即， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得， 且当时，， ∴， ∵， 当时，， ∴函数过点； ∴A符合题意， 故选：A． 5．C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 6．C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键． 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，代入的坐标得出，将代入一次函数，得出，进而求得点，根据反比例函数的的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 依题意， 又∵， ∴ ∵和 ∴ 解得： ∵和在上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故选：C 7．A 【分析】根据正比例函数与反比例函数在第一象限内相交，的面积为2，为等腰直角三角形可得点P的坐标为，则． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数在第一象限内相交， ∴设，其中，， 则； ∵， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， 即点P的坐标为， ∵点P在图象上， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数性质，求反比例函数解析式，等腰三角形的判定，正比例函数性质． 8．或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 9．三 【分析】将（2，）代入反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解． 【详解】解：将（2，﹣）代入y＝得﹣＝， 解得k＝-3， ∴一次函数解析式为y＝-3x+3， ∴直线经过第一、二、四象限， 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数及一次函数的基本性质，由待定系数法求出解析式，根据解析式进行判断是本题的重点． 10． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据函数对称性即可得解． 【详解】解：如图， 函数，和组成的图象关于直线对称， 则点A和点B关于直线对称，再由点B和点D关于原点中心对称， 可得点D坐标为． 故答案为：． 11．9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 12．①②④ 【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可． 【详解】解：①、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， ∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意； ②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意； ③、当时，则， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意． ④、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意． 故答案为：①②④． 13． 【分析】：设P（m，m+4），然后利用一次函数的性质求出A、B的坐标，进而求出OA，OB的长，再根据，得到，由此利用三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设P（m，m+4）， ∵直线分别与x轴、y轴交于B、A两点， ∴点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0）， ∴OA=4，OB=3， ∵， ∴， ∴×3×（m+4）=××3×4， 解得：m=，即P（，3） ∵双曲线y=过点P， ∴k=×3=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，求出A、B的坐标，进而利用三角形面积公式建立方程求解是解题的关键． 14．(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）先求出B点的坐标，再利用待定系数法解答即可； 本题考查了解反比例函数和一次函数，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：把代入，得， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为． 15．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为： (2)6 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）求出C的坐标，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过， ∴， ∴反比例函数表达式为， ∴， ∴， 把，坐标代入一次函数，则， 解得， ∴一次函数表达式为： （2）解：∵点C与点B关于原点对称， ∴， 如图，设直线与y轴交于点，连接，延长与x轴交于点， ∵直线为：， ∴， ∴， ∵， ∴设直线为，将两点代入得到， 解得， ∴直线为， ∵延长与x轴交于点， ∴， ∴， ∴ （3）解：根据图象得： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为：或 16．，6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的面积问题． 根据题意即可求出，得到一次函数的表达式为，根据的面积是2求出代入求出点C的坐标为，即可求出k的值． 【详解】解：一次函数的图象过点， ， ∴一次函数的表达式为． ，的面积是2， ，即， ． 把代入，得， 点C的坐标为． 点C在反比例函数的图象上， ． 17．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求解析式； （1）将代入，求得，进而可得，得出，进而待定系数法求得一次函数解析式； （2）根据的面积为2，得出，根据，进而即可求解； （3）根据一次函数的平移得出的解析式，进而联立，得出交点坐标，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）， ， ∴ 由 得，， （2）， ， ，当时，，则， 或 （3）∵直线向下平移2个单位长度后得到直线， ∴ 当时， 解得， 根据函数图象可得：当时，或． 18．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把代入反比例函数，求出的值即可； （2）求出点的坐标，把点B，A的坐标代入，求出直线的解析式，再求出，，，根据三角形面积公式可得结论； 【详解】（1）解：在函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为， （2）解：点在反比例函数上， ． ． 一次函数过，， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，，， ，，， ． （3）解：由图象得，不等式的解集的取值范围为或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$