第1章反比例函数单元检测 2025—2026学年湘教版数学九年级上册

第1章反比例函数单元测试 一、单选题 1．下列函数关系式中属于反比例函数的是( ) A． B． C． D． 2．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过 B．图象位于一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而增大 3．反比例函数的图象两支分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 5．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 6．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（ ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 7．下列选项中，阴影部分面积最小的是（   ） A．B．C．D． 8．如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，当为的中点，且的面积为，则的值为(        ) A． B． C． D． T8 T9T10T14 9．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（    ） A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1 10．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，双曲线与AB交于点D，与BC交于点E，轴于点F，轴于点G，交DF于点若矩形AGHD和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为　　 A． B． C． D．3 二、填空题 11．一货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时，则y与x之间的函数关系式是 （不必写自变量取值范围）． 12．若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 13．已知点P（m，n）在直线y=-x+3上，也在双曲线y=-上，则m2+n2= 14．如图，已知直线与双曲线交于，B两点，则不等式的解集为 ． T15T16T17T18 15．如图，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点为轴上的一点，连接，，则的面积是 ． 16．如图，过 轴上任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点 和点 ，若点 为 轴上任意一点，连接 ，，则 的面积为 ． 17．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积的范围是 ． 18．如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 三、解答题 19．已知函数，与成正比例关系，与成反比例关系，且当时，；当时，，求与的函数关系式. 20．某物流公司要把吨货物从M市运到W市．（每日的运输量为固定值） (1)从运输开始，每天运输的货物吨数y（单位：吨）与运输时间x（单位：天）之间有怎样的函数关系式？ (2)因受到沿线道路改扩建工程影响，实际每天的运输量比原计划少，以致推迟1天完成运输任务，求原计划完成运输任务的天数． 21．如图所示：某一蓄水池的排水速度与排水时间之间的函数关系图象 根据图象求该蓄水池的蓄水量． 若要用不超过小时的时间排完蓄水池内的水，那么每小时至少应排水多少？ 如果每小时排水，则排完蓄水池中的水需要多长时间？ 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象直接写出不等式的解集． 23．如图， 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)求的面积． 24．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)观察图象，当时，写出关于的不等式的解集； (3)若点在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的3倍，求点的坐标． 《第1章反比例函数单元测试2025-2026学年湘教版九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D A C C A D C 1．B 【分析】根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】解：该函数是正比例函数，故本选项错误； 该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确； 该函数是二次函数，故本选项错误； D，该函数是一次函数，故本选项错误.      故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是（k≠0） 2．D 【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：、反比例函数中，当时，，即该函数图象经过点，说法正确，不合题意； 、反比例函数的图象位于第一、三象限，说法正确，不合题意； 、反比例函数的图象关于直线对称，说法正确，不合题意； 、反比例函数的图象在每一象限内随的增大而减小，说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是正确掌握相关性质． 3．B 【分析】让比例系数小于0列式可得k的范围． 【详解】∵函数y=的图象两支分布在第二、四象限内， ∴k−2<0， 解得k<2， 故选B. 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数的系数小于0，则图像分布在第二第四象限. 4．D 【分析】先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而减小判断． 【详解】解：∵k＞0， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵-6＜-2， ∴y2＜y1＜0， ∵2＞0， ∴y3＞0， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象和性质，熟记反比例函数的增减性是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查了一次函数图象和反比例函数图象及其性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分情况讨论，当时和时，再进行判断即可． 【详解】解：当时，，图象过第一、三、四象限，图象过第二、四象限； 当时，，图象过第一、二、四象限，图象过第一、三象限， ∴A选项符合题意； 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的知识，根据表格的信息确定该函数是反比例函数是解题的关键． 由表格可得，得该函数是反比例函数，设解析式为，把x、y代入得到k的值即可解答． 【详解】解：由表格可得，得该函数是反比例函数， ∴设解析式为， ∴， 把代入，可得， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、如图所示，分别过点作轴，轴，则； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴C中阴影部分的面积最小． 故选：C． 8．A 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值． 【详解】解：由题意知：如图： 设点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ∵ ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行解题． 9．D 【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2， ∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 10．C 【分析】由已知条件求出矩形ADFO的面积即可解决问题. 【详解】∵D、E在反比例函数的图象上， ， ， ， 矩形AGHD和矩形HDBE的面积分别是1和2， ：：2， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会由数形结合的思想解决问题． 11．/ 【分析】根据货轮装卸的货物相等建立等量关系，进而即可写出函数关系 【详解】解：∵甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时， ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 13．11 【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案． 【详解】解：∵点P（m，n）在直线y=-x+3上， ∴n+m=3， ∵点P（m，n）在双曲线y=-上， ∴mn=-1， ∴m2+n2=（n+m）2-2mn=9+2=11． 故答案为：11． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键． 14．或 【分析】首先将点A（m，2）代入y＝，求出点A的坐标，再根据反比例函数的对称性求出B点坐标，然后找出正比例函数落在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵将点A（m，2）代入y＝， 得：2＝，解得：m＝4， ∴点A（4，2）． ∵直线y＝kx（k≠0）与双曲线交于A（m，2），B两点， ∴B（﹣4，﹣2）． ∵﹣4＜x＜0或x＞4时，正比例函数落在反比例函数图象上方，即， ∴不等式的解集为﹣4＜x＜0或x＞4， 故答案为：﹣4＜x＜0或x＞4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及数形结合的思想，求出A、B两点的坐标是解题的关键． 15． 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接，    轴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 16．2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点和其系数k的几何意义，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的基本知识是解题的关键．设，则易得点A、B的坐标，于是可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴A，两点的纵坐标都为，而点A在反比例函数的图象上， ∴当时，，即A点坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，，即点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：2． 17． 【分析】利用待定系数法结合反比例函数图象上的点（1.5，64）可求得反比例函数的解析式，再根据题意即可求出当时V的范围． 【详解】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为， ∵图象过点（1.5，64）， ∴， ∴． ∵在第一象限内，P随V的增大而减小， ∴当时，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键． 18．6 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 由点、在反比例函数的图象上，可设，，再由轴，表示出点、的坐标，再根据，得到，，再结合与的距离为5，即可求解． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 19． 【分析】根据已知条件设出y与x的函数关系式，然后将（2，10），（3，9）代入，组成方程组，求出系数的值即可. 【详解】设，，则 ，解得 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，掌握正比例和反比例的定义，设出函数关系式，将点代入解二元一次方程组是解答此题的关键. 20．(1) (2)天 【分析】（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数解析式，注意实际问题的取值范围； （2）根据“实际每天比原计划每天少运，则推迟天完成任务”列分式方程即可求解. 【详解】（1）∵每天运量×天数＝总运量， ∴xy＝3000， （2）设原计划x天完成，根据题意得： ， 解得： 经检验：是原方程的根， 答：原计划4天完成． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 21．（1）；（2）（3）. 【分析】1、反比例函数中点的横纵坐标之积即为面积，即为蓄水量. 2、可以例出反比例函数的解析式，将时间带入即可得出答案. 3、当y=500时，代入数据可得相应时间. 【详解】解：由图象上点的坐标，得到该蓄水池的蓄水量为； 设反比例函数解析式为， 将，代入得：， ∴反比例解析式为， 将代入解析式得：， 则要用不超过小时的时间排完蓄水池内的水，那么每小时至少应排水； 将代入反比例解析式得：， 解得：， 则每小时排水，则排完蓄水池中的水需． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟悉掌握概念是解决本题的关键. 22．(1)； (2)6； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，求出直线与x轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把的代入， 得：， 解得：， ． 把代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：如图，设直线与轴交于点， 在中令，则，即直线与轴交于点． ； （3）解：由图象得，当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， 不等式的解集为或． 23．(1)一次函数解析式：；反比例函数解析式： (2)3 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及了待定系数法求解析式以及铅锤法求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数和一次函数交点问题是解题的关键． （1）根据题意代入求值即可； （2）利用分割法将大三角形面积分割成2个小三角形面积，即可得求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴， 又∵反比例函数的图象过， ∴， ∵一次函数的图象过和两点， ∴，解得 ∴． （2）解：根据直线的解析式为， 当时，则， ∴，， ∴． 24．(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为： (2)14 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8． ∴，， ∴，， ∴， 过点A作轴交于点E，则， ∴， ∴ 25．(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)在第一象限内当时， (3)点P的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线的解析式为， 点，线段，都垂直于轴，， 点的横坐标为6， 把代入解得， ， 把、点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，； （3）解：设， ，， ，，，， 当点在的左侧时， ， ， ， ，解得， 此时， 当点在的右侧时， ，， ， ，解得， 此时， 综上，点的坐标是或． 26．(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据点B的坐标，矩形的性质可求点M的纵坐标，点N的横坐标，把点M的纵坐标、点N的横坐标代入直线解析式可求点M的横坐标、点N的纵坐标，把点M的坐标代入反比例函数解析式即可求出k，即可求解； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的3倍”可求点P的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 把的坐标代入得： 解得， ∴反比例函数的表达式是． 将代入得：， ∴． （2）解：当时，的解集为或． （3）解：由题意可得： ， ∵的面积是四边形面积的3倍， ∴， 即，解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$