1.2反比例函数的图像与性质同步训练2025-2026学年湘教版数学九年级上册

1.2 反比例函数的图像与性质课时训练 一、单选题 1．反比例函数y=的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 4．关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 5．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．        B．       C．       D．       8．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝ (k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则当气体的密度为3 kg/m3时，容器的体积为(　　) A．9 m3 B．6 m3 C．3 m3 D．1.5 m3 第8题图第9题图第10题图 9．一个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述四种气体的密度（kg/m3）与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 11．有下列函数：①y＝；②y＝x－1；③y＝－3x＋1；④y＝；⑤y＝－(x>0)；⑥y＝(x<0)．其中y随x的增大而减小的是 (填序号)． 12．若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ． 13．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 第13题图第14题图第15题图 14．如图，点A在反比例函数y＝的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是 ． 15．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，交反比例函数的图象于点B．若的面积为2，则m的值为 ． 三、解答题 16．反比例函数y=的图象经过点A(4,-2), (1)求这个函数的解析式; (2)请判断点B(1,8)是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由. (3)当1＜x＜2时，直接写出y 的取值范围： 17．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式及点的坐标． （2）若，请直接写出的取值范围． （3）求的面积． 18．反比例函数图象经过点，． (1)求的值； (2)若点在反比例函数图象上，其中，求的取值范围． 19．如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于，两点，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 《1.2 反比例函数的图像与性质 同步练习 2024-2025学年湘教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A A B C A A 1．A 【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵6＞0， ∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 2．B 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意； C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 3．C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．C 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 5．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 6．A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 7．B 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限知，由一次函数图象与轴的交点在负半轴知，两结论一致，故本选项符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过二、三、四象限可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键． 8．C 【详解】根据题意可得，ρ＝ (k为常数，k≠0)的图象过点（6,1. 5），代入即可求得k=6，所以反比例函数的解析式为,把代入解析式求得V=3 m3,故选C. 9．A 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数的图象，根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大， 故选：A 10．A 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 11．③④⑥ 【详解】分析：根据反比例函数及一次函数的性质对各小题进行逐一解答即可． 详解：①∵y=中，k=3＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，故本小题错误； ②∵y=x-1中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，故本小题错误； ③∵y=-3x+1中，k=-3＜0，∴y随x的增大而减小，故本小题正确； ④∵y=中，k=-＜0，∴y随x的增大而减小，故本小题正确； ⑤∵y=-（x＞0）中，k=-2＜0，∴y随x的增大而增大，故本小题错误； ⑥∵y=（x＜0）中，k=1＞0，∴y随x的增大而减小，故本小题正确． 故正确的是③④⑥． 点睛：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数、一次函数的性质是解答此题的关键． 12． 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据反比例函数的图像和性质解题即可． 【详解】解：， 故反比例函数经过一、三象限， 所以每一象限y随x的增大而减小， 所以， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 14．﹣6 【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到k的值． 【详解】解：设点A的坐标为（a，）， 由图可知点A在第二象限， ∴a＜0，， ∴k＜0， ∵△AOB的面积是3， ∴， 解得k＝-6， 故答案为：-6． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征，解题的关键是找出k与三角形面积的关系． 15．2 【分析】延长交x轴于点C，则，根据反比例函数系数k的几何意义可求得m的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， 轴， 轴， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查的是反比例函数中系数k的几何意义．熟练运用反比例函数中系数k的几何意义是解题的关键． 16．(1)、y=－；(2)、不在；(3)、－8＜y＜－4 【详解】试题分析：(1)将点A代入反比例函数解析式得出k的值；(2)将x=1代入解析式求出y的值，然后进行判定；(3)根据反比例函数的性质得出答案. 试题解析：（1）把点A（4，-2）代入反比例函数y= 得,k=8， 所以这个函数的解析式为y=； (2)把点x=1代入y=， 得y =8 ∴B点不在图象上 (3)-8＜y＜-4. 考点：反比例函数的性质. 17．（1）一次函数和反比例函数的表达式为，，；（2）或；（3） 【分析】（1）把B的坐标分别代入和，即可求得反比例函数和一次函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得A的坐标； （2）根据A、B的坐标和图象，即可求出答案； （3）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求出△AOC和△BOC的面积即可； 【详解】解：（1）次函数的图象与反比例函数的图象交于、． ，， ，， 一次函数和反比例函数的表达式为，， 由解得或， ； （2）由图象可知，当或时，； （3）把代入得：， 即， ， 即的面积是． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的应用是解题关键． 18．(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解以及增减性，掌握相关结论是解题关键． （1）根据题意可得，据此即可求解； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点，    ∴     ∴ （2）解：∵点在反比例函数图象上，其中， 当时，     ∵，在每一个象限内y随x的增大而减小. ∴当时，有或． 19．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题． （1）根据正比例函数的表达式求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数表达式求出的值，即可得出反比例函数的表达式；根据与关于原点对称，点横坐标与纵坐标分别与点横坐标与纵坐标互为相反数； （2）根据图象分析，不等式即的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围； （3）设，根据勾股定理表示出，，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为，代入正比例函数， 得， ∴, ∴，解得： ∴反比例函数， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴与关于原点对称，则； （2）解：根据函数图象可知，不等式，即的解集为：或； （3）解：设， ∵,， ∴，，， 当是直角三角形且以为直角边时，则 或 即或， 解得：或， ∴或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$