专题04 实际问题与一元二次方程重难点题型专训（2个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 实际问题与一元二次方程重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 题型十一 握手循环赛问题 题型十二 分式方程与一元二次方程结合 拓展训练一 “每每”型销售问题 拓展训练二 图形问题综合 拓展训练三 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练四 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为 ． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园．已知矩形的边院墙，和与院墙垂直． (1)当围成的矩形养殖园面积为时，求AB的长； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院端垂直．请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能．请说明理由． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件降价多少元？ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·广东江门·期中）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 1．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为3.6万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区6月1日至6月20日己接待游客3万人，则6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是多少万人？ 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2025到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2025年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2025 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 3．（24-25八年级下·北京昌平·期末）在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米的两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤； (2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 1．（24-25九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2025年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期中）直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25八年级下·山东威海·期末）商店购进某种商品的价格为60元/件，在试销期间发现，当每件商品售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．每件商品的售价定为多少时，商店每天的盈利会达到400元？ 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 2．（24-25八年级下·全国·期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【经典例题七 工程问题】 【例7】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 2．（2025·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 3．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 1．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图是2025年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 3．（2024九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【经典例题十一 握手循环赛问题】 【例11】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 3．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【经典例题十二 分式方程与一元二次方程结合】 【例12】（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 1．（2025·重庆·模拟预测）某紫砂壶专卖店购进汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶两种销量款，每把汉瓦紫砂壶的进价比每把西施紫砂壶的进价少30元，专卖店用900元购进的汉瓦紫砂壶的数量比用900元购进的西施紫砂壶的数量多1个． (1)求每把汉瓦紫砂壶和每把西施紫砂壶的进价； (2)该店用4500元购进了一批汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶，每把汉瓦紫砂壶的售价是200元，每把西施紫砂壶的售价是300元，售完这批紫砂壶，要想利润至少为2400元，则汉瓦紫砂壶最多购进多少个？ 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2025年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 3．（24-25八年级下·上海松江·期末）学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【拓展训练一 “每每”型销售问题】 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）端午节来临，某超市打算购进一批粽子进行销售．若用80000元购进的猪肉粽和用60000元购进的豆沙粽盒数相同，且猪肉粽每盒进价比豆沙粽每盒进价多10元． (1)求猪肉粽每盒的进价是多少元？ (2)经过市场调研，该超市发现，销售猪肉粽时，当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，若该商品当日盈利2160元，求猪肉粽当日每盒售价多少元？ 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【拓展训练二 图形问题综合】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）项目学习：探究正方体表面积． 材料：用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体． 【概念认知】（1）该正方体有__________个面，表面积为__________； 【课题学习】（2）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【深入探究】（3）如果在第（2）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【问题解决】（4）如果把第（3）题中从前到后所打的底面边长为1cm正方形的长方体通孔扩大成一个底面为长cm、宽1cm的长方体通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为？如果能，请求出；如果不能，请说明理由． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）操作与实践 【示范操作】法1．苏科教材九上配方法解一元二次方程：，变形为，配方的过程转化为图形的“割”、“拼”、“补”，如图1． 得， 法2．古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图2的大正形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】（1）仿法2配方解，先变形为______，如图3，每个小长方形的长为______，宽为______，利用图形的面积关系得配方后的方程为______，解为______． 【深入探究】（2）仿法2配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】小敏同学质疑法2的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：法2中的拼图就是七下：模型，于是有了法3，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． （3）请你用小聪的法3配方解，写出解题过程． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【拓展训练三 一元二次方程与动点问题相关】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．    (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)在点P、Q的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案． 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)当为何值时，点和点距离是？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形． 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在矩形中，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)若运动时间为秒，则______________，_____________． (2)两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【拓展训练四 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学用棋子摆图形探究规律．若两人都按照各自的规律继续摆下去，请回答下列问题： 如图1李舒摆成的图形： 如图2林涵摆成的图形： （1）填写下表： 图形序号 1 2 3 4 n 李舒所用棋子数 11 16 21 林涵所用棋子数 1 4 9 （2）是否存在某个图形恰好含有76个棋子？若存在，请求出该图形序号，若不存在，请说明理由； （3）哪位同学所摆的某个图形含有棋子个数先超过120个？请说明理由． （4）两位同学所摆图形中，是否存在所需棋子数相同的图形，若存在，请直接写出该图形序号，若不存在，请说明理由． 2．（2025·广东深圳·二模）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S． 请观察思考并完成以下表格的填写： a 1 2 3 4 5 … 8 … S 1 3 6 … … 【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 ． 【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题． （1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； （2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2  ， 准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 4．（2014·四川凉山·中考真题）实验与探究： 三角点阵前n行的点数计算 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点… 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？ 如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系 前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现． 2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n] =[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1] 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到 1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1） 这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1） 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1） 整理这个方程，得：n2+n﹣600=0 解方程得：n1=24，n2=25 根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300． 请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，设甲种药品成本的年平均下降率为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B． C．或   D． 6．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ． 8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是一个矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形是面积为15的长方形，则矩形的面积为 ．    9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 10．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 11．（2025·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变. (1)求2，3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 13．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 15．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 16．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 18．（2024八年级下·浙江·专题练习）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．    (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实际问题与一元二次方程重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 题型十一 握手循环赛问题 题型十二 分式方程与一元二次方程结合 拓展训练一 “每每”型销售问题 拓展训练二 图形问题综合 拓展训练三 一元二次方程与动点问题相关 拓展训练四 一元二次方程应用的规律探究问题 知识点一、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为 ． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用， 3月份的收入月份的收入月收入的增长率，由此可解． 【详解】解：由题意知，1月份收入10万元， 则2月份收入万元，3月份收入万元， 则可列方程为：， 故答案为：． 知识点二、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 【答案】该商店销售了这种商品100或200件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设该商品售价增加了元，根据“售价每增加1元时，销售量将减少10件”列方程求解即可． 【详解】解：设该商品售价增加了元， 列方程得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 答：该商店销售了这种商品100或200件． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 【答案】每束鲜花应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价每束下降元，则每天可售出束，根据每天能获得元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设售价每束下降元，则每天可售出束， 根据题意：， 整理得：， 解得：或， 尽量减少库存， ， 答：每束鲜花应降价元． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园．已知矩形的边院墙，和与院墙垂直． (1)当围成的矩形养殖园面积为时，求AB的长； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院端垂直．请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能．请说明理由． 【答案】(1)12m (2)不能，见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系，再建立方程是解本题的关键． （1）由，表示，再利用矩形的面积公式列方程，再解方程即可； （2）由，表示，再利用矩形的面积公式列方程，结合一元二次方程根的判别式可得答案． 【详解】（1）设，得， 根据题意，得， 整理，得， 解得， （舍去）． 答：AB的长为12m． （2）不能．理由如下： 设，得， 根据题意，得， 整理，得． ， ∴该方程无实数根． ∴此时养殖园的面积不能达到． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 【答案】点P出发3秒后， 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键；由题意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 在中，，， 由勾股定理得； ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：； ∵，且， ∴； 即点P出发3秒后，． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件降价多少元？ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】(1)每件降价10元 (2)该商品至少需打八折销售 【分析】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程及一元一次不等式是解题的关键． （1）设每件降价x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用日销售利润每件的销售利润日销售量，结合日销售利润不变，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该商品打y折销售，根据小明的线下实体商店的销售价格不超过（1）中的售价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，． 又∵商家想尽快销售完该款商品， ． 答：每件降价10元． （2）解：设该商品打y折销售， 依题意得：， 解得：． 答：该商品至少需打八折销售． 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病（假设每轮每人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)11个 (2)1728人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有144人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人． 依题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了11个人． （2）解：（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1728人患病． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·广东江门·期中）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，月游客人数为万人，月游客人数为万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)按照以上增长速度，预计月该景区游客人数． 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设这两个月的平均增加率为x，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据（1）的结论，结合月游客人数，即可求解． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，可得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． （2）解：按照以上增长速度，预计月该景区游客人数为万人． 1．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为3.6万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率，已知该景区6月1日至6月20日己接待游客3万人，则6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设6月21日至6月30日平均每天接待游客人数是a万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设6月21日至6月30日平均每天接待游客人数是a万人， 由题意，得， 解得， 答：6月21日至6月30日平均每天接待游客人数最多是万人． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若月增长率不变，求7月份销售头盔多少个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是个． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2025到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． (1)设2025年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2025 ①______ 2025 ②______ (2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】(1) (2)该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，2025年销售型汽车总额为亿元， 2025年销售型汽车总额为亿元， 故答案为：； （2）解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，若无盖方盒的底面积为，求切去的正方形的边长． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次的方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式． 设切去的正方形边长为，根据“无盖方盒的底面积为，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设切去的正方形边长为． ． ， ，．（舍去） 切去的正方形边长为． 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 2．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，学校计划利用已有的一堵长为的墙（），用篱笆围成一个长方形花园．现有可用的篱笆长为（全部用完）．设的长为． (1)如图1，用含的代数式表示的长． (2)如图1，当长方形花园的面积为时，求的值． (3)如图2，将墙全部利用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中，，和都由篱笆构成．长方形花园的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握是解题的关键． （1）利用长方形的性可得到，即可得到的表达式； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意得长方形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， 答：当长方形花园的面积为时，求的值为； （3）解：不能，理由： 当时， 整理得， ， 该方程无实数根， 长方形花园的面积不可以为，即长方形花园的面积不可以为． 3．（24-25八年级下·北京昌平·期末）在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米的两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤； (2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据已知算式和图形可得答案． （2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和2的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案． 【详解】（1）解：思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是； 思路二：如图②所示，将原方程转化为可得方程，则方程的正数解是． 故答案为：，5； （2）解： 思路一：在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和2的矩形，再补上四个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 思路二：在边长为x的正方形的两条邻边上作边长分别为x和4的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为， 由题意得， 解得， ∴十位数字为2或3 ∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁， ∴应舍去， ∴周瑜去世时年龄为36岁． 1．（24-25九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2025年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期中）直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】存在五个连续正整数，它们分别为： 【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数． 【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、， ∴可得：， 解得：或， ∵这五个数为正整数， ∴， ∴，，，， ∴这五个正整数为：， ∴存在五个连续正整数，它们分别为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25八年级下·山东威海·期末）商店购进某种商品的价格为60元/件，在试销期间发现，当每件商品售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．每件商品的售价定为多少时，商店每天的盈利会达到400元？ 【答案】每件定价为80元时，商店每天的盈利会达到400元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设售价定为x元，根据题意列方程计算即可． 【详解】解：设售价定为x元，由题意得 ． 解得，． 答：每件定价为80元时，商店每天的盈利会达到400元． 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． (1)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (2)能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)50元 (2)不能达到15000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为x元，根据题意列出一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为x元， 整理得， ∵， ∴方程无解， ∴不能达到15000元． 2．（24-25八年级下·全国·期中）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售收入又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)175或185元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得解； （2）设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，根据总利润每件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设售价应定为y元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：售价应定为175或185元． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价定为8元/千克 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1），根据单件利润等于原来利润加上提价得出代数式，再根据每天卖出的质量减去少卖出的质量得出代数式即可； （2），结合（1），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解，根据题意舍去不符合题意的解，此题可解． 【详解】（1）解：该水果每千克的利润是（元）；每天可以卖出水果（千克）. 故答案为：；； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， 让利于顾客， ， 故单价为8元． 答：单价定为8元/千克． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）问题背景 如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动. 问题探究 (1)若点P从点A沿向终点B移动，点Q从点C沿向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)或 (2)4秒或6秒 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程以及一元一次方程等知识点，注意计算的准确性是解题关键． （1）过点P作于E，根据四边形均为矩形可得，，据此即可求解； （2）分类讨论①当点P在线段上和②当点P在线段上两种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点P作于E， 则四边形均为矩形， ∴， 设x秒后，点P和点Q的距离是， ∵， ∴， 由题意得， ， ∴，， 由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意. ∴经过或，P、Q两点之间的距离是. （2）解：由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为. 设经过后的面积为. ①当点P在线段上（如图1），即时， ，连接， ∴， 即， 解得； ②当点P在线段上（如图2），即时，连接， 则，， 则， 解得，（舍去） 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为. 【经典例题七 工程问题】 【例7】（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．（2025·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可； （2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可． 【详解】(1)当时， （）， 答：甲运动4后的路程是14； （2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 3．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 1．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图是2025年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3．（2024九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25八年级下·安徽淮北·期末）钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【答案】黑键36个，白键52个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设黑键个，则白键个，根据等量关系：黑键数和白键数的乘积是1872，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设黑键个，则白键个， 由题意得：， 整理得：， 解得或52； 由于黑键比白键少，故x取36． 所以黑键36个，白键52个． 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 【答案】问题一：7场；问题二：场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平场是场，再列出一元一次方程，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行场比赛，即可作答． 【详解】解：问题一：∵有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分， ∴负场为0， ∴设这支球队胜的场次是场，则平场是场， 依题意得， 解得 ∴这支球队胜的场次是7场； 问题二：设报名队伍为， 则， ∴（负值已舍去）， ∵把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组， ∴， 即每个小组有5支报名队伍， 则（场）， ∴（场）， ∵小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴共有支队伍进入淘汰赛， ∴淘汰赛需要进行场比赛， ∴（场）， ∴这种方案共需要场比赛决出冠军． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)28；； (2)不能 (3)一共能摆放20排 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是520； （3）解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1），，，；（2）不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少16的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程没有整数解说明假设不成立． 【详解】图1灰砖的数量为1， 图2灰砖的数量为4， 图3灰砖的数量为9， 图4灰砖的数量为16， 得图n灰砖的数量为， 图1白砖的数量为， 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为， 图4白砖的数量为， 得图n白砖的数量为， 故答案为：25，24；，． 解：（1） （2）假设存在，设图中白砖数恰好比灰砖数少16， 白砖数量为，灰砖数量为， ， ， 方程没有整数解， 不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形． 【经典例题十一 握手循环赛问题】 【例11】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 3．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【经典例题十二 分式方程与一元二次方程结合】 【例12】（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 1．（2025·重庆·模拟预测）某紫砂壶专卖店购进汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶两种销量款，每把汉瓦紫砂壶的进价比每把西施紫砂壶的进价少30元，专卖店用900元购进的汉瓦紫砂壶的数量比用900元购进的西施紫砂壶的数量多1个． (1)求每把汉瓦紫砂壶和每把西施紫砂壶的进价； (2)该店用4500元购进了一批汉瓦紫砂壶和西施紫砂壶，每把汉瓦紫砂壶的售价是200元，每把西施紫砂壶的售价是300元，售完这批紫砂壶，要想利润至少为2400元，则汉瓦紫砂壶最多购进多少个？ 【答案】(1)每把汉瓦紫砂壶的进价为150元，则每把西施紫砂壶的进价为180元 (2)汉瓦紫砂壶最多购进12个 【分析】本题考查了分式方程的应用、解一元二次方程、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每把汉瓦紫砂壶的进价为元，则每把西施紫砂壶的进价为元，根据题意列出分式方程，求出的值，再结合题意即可作答； （2）设购进汉瓦紫砂壶个，则购进西施紫砂壶个，根据题意列出不等式，求出的范围，得出的最大值，再结合题意即可作答． 【详解】（1）解：设每把汉瓦紫砂壶的进价为元，则每把西施紫砂壶的进价为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去负值）， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：每把汉瓦紫砂壶的进价为150元，则每把西施紫砂壶的进价为180元． （2）解：设购进汉瓦紫砂壶个， 则购进西施紫砂壶个， 由题意得，，整理得，， 解得：， 的最大值为12，此时是整数，符合题意； 答：汉瓦紫砂壶最多购进12个． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2025年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】材料一：共有30支队伍参赛；材料二： 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用． 材料一：设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可； 材料二：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 3．（24-25八年级下·上海松江·期末）学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【拓展训练一 “每每”型销售问题】 1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)； (2)2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； (3)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； （2）解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． （3）解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是 任务2：应该降价元 【分析】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是根据该奶茶店月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据为了使该店月份“满杯杨梅”的利润达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是， 根据题意得：， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：该店“满杯杨梅”5月份到月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：应该降价元． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）端午节来临，某超市打算购进一批粽子进行销售．若用80000元购进的猪肉粽和用60000元购进的豆沙粽盒数相同，且猪肉粽每盒进价比豆沙粽每盒进价多10元． (1)求猪肉粽每盒的进价是多少元？ (2)经过市场调研，该超市发现，销售猪肉粽时，当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，若该商品当日盈利2160元，求猪肉粽当日每盒售价多少元？ 【答案】(1)猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元 (2)52 【分析】本题考查了分式方程，一元二次方程的应用，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式． （1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价()元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）设猪肉粽当日每盒涨价m元，，根据当猪肉粽按原价每盒50元进行销售，每天可售200盒；售价每涨1元，销售量将减少10盒，若该商品当日盈利2160元，列出一元二次方程，再由同时上级部门要求，商品涨价幅度不能超过10%，可得m的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， 则， 解得：，经检验是方程的解， 猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）设猪肉粽当日每盒涨价m元，依题意，得 ， 解得 ∵，即， ∴，即． 答：猪肉粽当日每盒售价52元． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元 (2)29元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【详解】（1）解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． （2）解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 【拓展训练二 图形问题综合】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）项目学习：探究正方体表面积． 材料：用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体． 【概念认知】（1）该正方体有__________个面，表面积为__________； 【课题学习】（2）如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【深入探究】（3）如果在第（2）题打孔后，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个底面边长为1cm的正方形的长方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为__________； 【问题解决】（4）如果把第（3）题中从前到后所打的底面边长为1cm正方形的长方体通孔扩大成一个底面为长cm、宽1cm的长方体通孔，能不能使所得橡皮泥的表面积为？如果能，请求出；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）6，96；（2）110；（3）116；（4）不能使所得橡皮泥的表面积为 【分析】本题考查了立体图形的识别和列代数式，解题关键是准确掌握正方体的相关知识，会求它的表面积； （1）根据正方体有6个面，求出每个面的面积再求表面积即可； （2）去掉长方体的两个底面面积再加上四个侧面的面积即可； （3）再（2）的基础上，加上新增加的表面积即可； （4）根据表面积为列出方程求解即可． 【详解】解：（1）正方体有6个面，每个面都是正方形，一个面的面积为， 表面积为， 故答案为：6，96； （2）原正方体打孔后的表面积为，底面边长为1cm的正方形的长方体的增加的表面积为， 打孔后的橡皮泥的表面积为， 故答案为：110； （3）原正方体打孔后的表面积为，打孔后增加的表面积为， 打孔后的橡皮泥的表面积为， 故答案为：116； （4）原正方体打孔后的表面积为，打孔后增加的表面积为， 根据题意列方程得，， 所以不能使所得橡皮泥的表面积为． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）操作与实践 【示范操作】法1．苏科教材九上配方法解一元二次方程：，变形为，配方的过程转化为图形的“割”、“拼”、“补”，如图1． 得， 法2．古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图2的大正形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】（1）仿法2配方解，先变形为______，如图3，每个小长方形的长为______，宽为______，利用图形的面积关系得配方后的方程为______，解为______． 【深入探究】（2）仿法2配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】小敏同学质疑法2的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：法2中的拼图就是七下：模型，于是有了法3，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． （3）请你用小聪的法3配方解，写出解题过程． 【答案】（1）；；；；（2）见解析（3）见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照法2，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照法2，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照法3，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿法2配方解，先变形为，如图3，每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，，，； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为； （3）解：先变形为， 设，， 则有， ， ， ， 解得：． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． (2)请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程，图2中的网格不要求全部使用） (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图3来解，已知图3由个相同矩形构成，这个矩形的总面积为，中间围成的正方形边长为．那么______，______． 【答案】(1)② (2)作图见解析， (3)； 【分析】本题考查构造图形解一元二次方程，解题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，运用了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （3）根据个矩形的总面积为，知，即；而中间围成的正方形边长为，可得解． 【详解】（1）解：∵应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∴解法正确的构图是②， 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为， ∴， 解得：， ∴方程的正数解是； （3）如图：∵， ∴， ∵个矩形的总面积为， ∴， ∴， 解得：， ∵中间围成的正方形边长为， ∴， ∵，表示边长， ∴， 解得：， 故答案为：；． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 【拓展训练三 一元二次方程与动点问题相关】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．    (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)在点P、Q的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，秒 (3)或或时满足为直角三角形 【分析】（1）设秒后，的面积等于，利用割补法表示，建立方程求解即可； （2）点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上，即为，即，根据勾股定理将分别用x表示出来，列方程求出x的值即可； （3）分别表示出，，，然后结合勾股定理进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 则由题意，秒后，，，， ∵， ， ， ， ， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； （2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：， ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴运动开始后第秒时，点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上． （3）设秒后，满足条件，其中， 则，，， ①若，则， 即：， 整理得：， 解得：或； ②若，则， 即：， 解得：，不合题意，舍去； ③若，则， 即：， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上，当或或时满足为直角三角形 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的性质，勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解． 2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【分析】（）根据题意即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解； （）由菱形的性质得，即，解方程即可求解； 由矩形的性质得，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴不合，舍去， ∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)当为何值时，点和点距离是？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)，； (2)，，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质； （1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解； （2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，作于E， ∴，∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 当时，图（1）满足， 当时，图（2）满足， 综上所述：，； （2）如图3，当时，作于E， ∴∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 如图4，当时，作于E， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． ∴，解得：； 综上所述：，，． 4．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在矩形中，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)若运动时间为秒，则______________，_____________． (2)两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)两动点运动秒 (3)存在，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为，理由见解析 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可表示、的长； （2）根据梯形的面积公式列方程，即可求解； （3）根据勾股定理列方程解答即可，注意分、两种情况讨论． 此题是一道动态题，有一定的难度，涉及到一元二次方程和勾股定理有关知识，注意分类讨论思想的运用． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； 故答案为：，； （2）解：根据题意，得，， 矩形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是矩形面积的． （3）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为．      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 【拓展训练四 一元二次方程应用的规律探究问题】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学用棋子摆图形探究规律．若两人都按照各自的规律继续摆下去，请回答下列问题： 如图1李舒摆成的图形： 如图2林涵摆成的图形： （1）填写下表： 图形序号 1 2 3 4 n 李舒所用棋子数 11 16 21 林涵所用棋子数 1 4 9 （2）是否存在某个图形恰好含有76个棋子？若存在，请求出该图形序号，若不存在，请说明理由； （3）哪位同学所摆的某个图形含有棋子个数先超过120个？请说明理由． （4）两位同学所摆图形中，是否存在所需棋子数相同的图形，若存在，请直接写出该图形序号，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 图形序号 1 2 3 4 n 李舒所用棋子数 11 16 21 26 林涵所用棋子数 1 4 9 16 ；（2）李舒所摆图形的第14图形恰好含有76个棋子；林涵所摆的图形中没有恰好含有76个棋子的；（3）林涵同学所摆的第11个图形含有棋子个数先超过120个；（4）两位同学所摆图形中，第6个图形所需棋子数相同． 【分析】（1）根据所给图形和表格找到每个同学所摆图形所需棋子个数的规律，并用代数式表示，即可填写表格； （2）令（1）所总结的两个代数式分别等于76，解出结果是整数的即为恰好含有76个棋子的图形； （3）令（1）所总结的两个代数式分别等于120，解出结果更小的，就说明那个同学所摆的图形含有棋子个数先超过120个； （4）令（1）所总结的两个代数式相等，即列出关于n的一元二次方程，解出n即可． 【详解】（1）根据李舒所用棋子数： 第1图形：， 第2图形：， 第3图形：， ∴第4图形的棋子数为：， … 第n图形的棋子数为：； 林涵所用棋子数： 第1图形：， 第2图形：， 第3图形：， ∴第4图形的棋子数为：， … 第n图形的棋子数为：． 故可填表为： 图形序号 1 2 3 4 n 李舒所用棋子数 11 16 21 26 林涵所用棋子数 1 4 9 16 （2）， 解得：， ∴李舒所摆图形的第14图形恰好含有76个棋子； ， 解得：， ∴林涵所摆的图形中没有恰好含有76个棋子的； （3）， 解得：， ∴李舒所摆图形的第23图形开始超过120个； ， 解得：， ∴林涵所摆图形的第11图形开始超过120个； 故林涵同学所摆的第11个图形含有棋子个数先超过120个； （4）， 解得：，（舍） 故：两位同学所摆图形中，第6个图形所需棋子数相同． 【点睛】本题考查图形类规律探索，一元二次方程的实际应用．根据所给图形和表格找到每个同学所摆图形所需棋子个数的规律，并用代数式表示是解答本题的关键． 2．（2025·广东深圳·二模）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S． 请观察思考并完成以下表格的填写： a 1 2 3 4 5 … 8 … S 1 3 6 … … 【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式 ． 【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由． 【答案】问题提出：见解析；变式探究：；应用拓展：，经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时 【分析】问题提出：根据前4个图形归纳类推出一般规律，再填表即可； 变式探究：观察图形可知，第1-3个图形的小圆圈总数依次为，再结合问题提出中的结论，归纳类推出一般规律即可得； 应用拓展：观察图形可知，经过1-4轮分裂后细胞总数依次为，再结合变式探究中的结论，归纳类推出一般规律，然后根据“细胞总数达到1261个”建立方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：问题提出：由图可知，第1个图形中每条边上的小圆圈个数为1，小圆圈的总数为， 第2个图形中每条边上的小圆圈个数为2，小圆圈的总数为， 第3个图形中每条边上的小圆圈个数为3，小圆圈的总数为， 第4个图形中每条边上的小圆圈个数为4，小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形中每条边上的小圆圈个数为，小圆圈的总数为， 则当时，， 当时，， 将表格填写如下： 1 2 3 4 5 … 8 … 1 3 6 10 15 … 36 … 变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为， 第2个图形的小圆圈的总数为， 第3个图形的小圆圈的总数为， 归纳类推得：第个图形的小圆圈的总数为， 故答案为：； 应用拓展：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为， 经过2轮分裂后细胞总数为， 经过3轮分裂后细胞总数为， 经过4轮分裂后细胞总数为， 归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为， 假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 所以假设成立， 所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时． 【点睛】本题考查了图形的规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题． （1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块； （2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2  ， 准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 【答案】（1）28，42（2）每间教室瓷砖共需要5440元 【分析】（1）通过观察发现规律得出黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），然后将n=6代入计算即可； （2）设白色瓷砖的行数为n，根据每间教室面积为68m2为等量关系列出方程，进而求解即可． 【详解】（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块； 当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块； 当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块； 则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1）， 当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块； 故答案为28，42； （2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得： 0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68， 解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去）， 白色瓷砖块数为n（n+1）=240， 黑色瓷砖块数为4（n+1）=64， 所以每间教室瓷砖共需要：20×240+10×64=5440元． 答：每间教室瓷砖共需要5440元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律． 4．（2014·四川凉山·中考真题）实验与探究： 三角点阵前n行的点数计算 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点… 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？ 如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系 前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现． 2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n] =[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1] 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到 1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1） 这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1） 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1） 整理这个方程，得：n2+n﹣600=0 解方程得：n1=24，n2=25 根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300． 请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（1）600；（2）24． 【详解】试题分析：（1）由题意，列出方程n（n+1）=600，解方程得到n的值即可． （2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1），根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可． 试题解析：解：（1）由题意可得：n（n+1）=600， 整理得n2+n﹣1200=0， 此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数的和不可能是600． （2）由题意可得：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1）， 依题意，得n（n+1）=600， 整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0， ∴n1=﹣25，n2=24． ∵n为正整数，∴n=24． ∴n的值是24． 考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）两年前生产甲种药品的成本是元，随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，设甲种药品成本的年平均下降率为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率（下降率）问题，初始成本为6400元，经过两年的下降，变为3600元，设年平均下降率为x，则每年成本为前一年的倍，两年后的成本为，据此建立方程即可, 【详解】设年平均下降率为x，则第一年后的成本为元，第二年后的成本为元， 根据题意，两年后的成本为3600元， 因此方程为：，选项B符合此方程， 故选B 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设该盒子的高为，根据题意可知折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为，列出方程即可． 【详解】解：设该盒子的高为，根据题意可得． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积、一元二次方程，学会利用圆和正方形的面积公式找到等量关系列出方程是解题的关键．由题意得，圆面积是正方形面积的9倍，即可列出方程． 【详解】解：设圆的半径为x cm，则圆面积是， 由题意得，． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B． C．或   D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，设与交于点，与交于点，先证明阴影部分为平行四边形，为等腰直角三角形，设，得到，，根据阴影部分的面积为，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， ∵正方形， ∴，，， ∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， 由题意，得：， 解得：， ∴； 故选D． 6．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 【答案】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 【详解】解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴， 故答案为： 7．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，准确理解题意是解题的关键．设这种植物每个支干长出x个小分支，根据每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，列方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得， 故答案为：． 8．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是一个矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形是面积为15的长方形，则矩形的面积为 ．    【答案】40 【分析】本题考查了完全平方公式化简计算，一元二次方程的几何应用，正确建立方程是解题的关键． 设正方形、正方形的边长分别为，根据题意得到方程组，根据完全平方公式将其转化为，再由代入消元法得到一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设正方形、正方形的边长分别为， 由题意得：， ∴， ∴（舍负）， ∴， 整理得： 解得：或（不合题意）， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：40． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元，依题意得：， 解得：． ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 10．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 11．（2025·福建三明·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变. (1)求2，3两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量月均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每台售价定为元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 【答案】(1)， (2)每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价下降x元时，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元， 平均每天可卖出礼盒份； （2）解：设每份礼盒售价下降x元， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去） 故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元． 13．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 【答案】(1)若月平均增长率相同，月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设增长率为，根据数量关系列式求解即可； （2）设降价元，则每天销量可增加件，由此得到降价后的售价为元，销量为件，降价后每件的利润为（元），由此列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件， ∴设增长率为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴若月平均增长率相同，月平均增长率为； （2）解：售价每降低1元，每天销量可增加4件， ∴设降价元，则每天销量可增加件， ∴降价后的售价为元，销量为件， ∴降价后每件的利润为（元）， ∴， 整理得，， 解得，，即，， 当降价为时，每天的销量为件， 当降价为时，每天的销量为件， ∵尽量减少库存， ∴售价应降低元． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如下图，在矩形中，，，点从点出发，沿以的速度向点移动；同时，点从点出发，沿以的速度向点移动．当点到达点时，点也停止移动，则当点出发几秒后，的面积为？ 【答案】当点出发或后，的面积为 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设后的面积等于，然后表示出、、的面积，再根据图形可得：矩形的面积减去周围多余三角形的面积等于的面积等于，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设当点，出发后，的面积为， 则，，，， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 经检验都符合题意， 故当点，出发或后，的面积为． 15．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是 任务2：应该降价元 【分析】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是根据该奶茶店月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据为了使该店月份“满杯杨梅”的利润达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是， 根据题意得：， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：该店“满杯杨梅”5月份到月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：应该降价元． 16．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)花圃的长与宽边分别为9米和5米 (3)建成花圃的面积不可能为60平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 18．（2024八年级下·浙江·专题练习）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可，再求降价即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴降价了元， 答：该款吉祥物降价元8元时，月销售利润达8400元． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．    (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，直接写出的值为________． 【答案】(1)的长度能为，或 (2)不能，理由见解析 (3)8或 【分析】（1）根据题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，根据两点间的距离公式，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：的长度能为，理由如下： ∵点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止， ∴，，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：或， ∴的长度能为； （2）解：不能；理由如下： 设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    ∴，，，， 是的中点， ， ，， ，，， ， ， 整理得：， 解得：，． 的值为8或． 故答案为：8或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】(1)1米； (2)①；②． 【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【详解】（1） 解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； （2）解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 学科网（北京）股份有限公司 $$