第10章 空间直线与平面（复习讲义）数学沪教版2020必修第三册

第10章 空间直线与平面（复习讲义） 1.熟练掌握画空间图形的基本技能，能够准确绘制直观图、三视图等，通过图形清晰展现空间直线与平面的位置关系，培养良好的空间图形表达能力，以便更好地分析和解决空间几何问题。​ 2.学会运用平移法、三垂线法等方法，准确找出异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角，并能借助解三角形等知识进行角度的计算；同时，掌握求点到直线、点到平面、异面直线间距离的方法，提升空间角与距离的计算能力。​ 3.能够灵活运用空间直线与平面的相关定理和性质，进行逻辑推理与证明，如证明线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等位置关系，提高逻辑推理能力。 知识点01 平面的基本性质及推论 1．公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 2．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 3．公理3：如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 知识点02 异面直线及其所成的角 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 知识点03异面直线的判定 （1）判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 知识点04 空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无 知识点05空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线和平面平行 无 a∥α 知识点06 直线与平面平行 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行． 1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行． 由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行． 正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条． 知识点07 直线与平面垂直 直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 知识点08 平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 两平面平行 无 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l 知识点09 平面与平面平行 两个平面平行的判定： （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β． （3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β． 平面与平面平行的性质： 性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面． 性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面． 知识点10 平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 平面与平面垂直的性质： 性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 知识点11 直线与平面所成的角 直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 知识点12 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 2.二面角的平面角 （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 （3）二面角的平面角范围是； （4）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； 知识点13 异面直线的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 题型一 平面及其基本性质 【例1-1】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【例1-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【例1-3】（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【例1-4】（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【例1-5】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图， 已知轴，且的面积为，则的长为 .    【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【变式1-4】（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 题型二 直线与直线间的位置关系 【例2-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【例2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【例2-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【例2-4】（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 【变式2-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【变式2-4】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 题型三 直线与平面间的位置关系 【例3-1】已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【例3-2】（24-25高二上·上海·期中）“直线与平面无公共点”是“直线不在平面内”的 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 【例3-3】（24-25高二上·上海静安·阶段练习）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是 . 【例3-4】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【例3-5】（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【例3-6】（24-25高二上·上海·期中）空间中，斜线与平面所成角的取值范围为 ．（用弧度制表示）． 【例3-7】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知长为3的线段AB的两个端点到平面的距离分别为1和2，则直线AB与平面的所成角大小为 . 【例3-8】（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为 ． 【变式3-3】（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 【变式3-4】（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【变式3-5】（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 题型四 平面与平面间的位置关系 【例4-1】设、是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题是 （填序号）. （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则；     （4）若，，，，则； 【例4-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，则锐角的取值范围是 ． 【例4-3】如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 【例4-4】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课前预习）如果一个平面上的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【变式4-2】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正六棱锥的高为6，底面正六边形的边长为4，则侧面与底面所成锐二面角的大小为 【变式4-4】已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 题型五 异面直线间的距离 【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 【例5-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 【例5-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【例5-4】（24-25高二上·上海·课堂例题）正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离． 【变式5-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知中，所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是6，则点到平面的距离是 . 【变式5-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 题型六 空间直线与平面的综合应用 【例6-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线DE与所成角的大小． 【例6-2】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 【例6-3】（25-26高二上·上海·期末）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置． 【例6-4】（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【变式6-2】．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【变式6-3】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式6-4】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 4．（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 5．直线与平面所成角的范围是 . 6．（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 7．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 8．（24-25高二上·上海静安·期中）“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 9．（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 10．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线，则直线与直线的位置关系有 种（填数字）. 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与平面的位置关系有 . 12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中．则原平面四边形OABC的面积为 ． 13．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间中两条直线a、b，“a⊥b”是“a与b相交”的 条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”） 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）若平面平面，，，则直线与的位置关系不可能是 .（填“相交”、“平行”、“异面”之一） 15．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知.则边的实际长度是 . 三、解答题 16．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知正方体，求直线与平面所成角的大小.    17．如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)平面． 18．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 2．（24-25高二上·上海·期中）过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（    ）    A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 二、填空题 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ． ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 7．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，设为正方形所在平面外一点，平面 则点到直线的距离为 . 10．（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 11．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 . 13．（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 14．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）边长都是为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，，分别是对出线、上的动点，且，则的取值范围是 ． 15．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为 . 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 17．（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 18．如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E． (1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由； (2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离； (3)若F为棱上的动点（除端点､外），求二面角的平面角的范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 空间直线与平面（复习讲义） 1.熟练掌握画空间图形的基本技能，能够准确绘制直观图、三视图等，通过图形清晰展现空间直线与平面的位置关系，培养良好的空间图形表达能力，以便更好地分析和解决空间几何问题。​ 2.学会运用平移法、三垂线法等方法，准确找出异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角，并能借助解三角形等知识进行角度的计算；同时，掌握求点到直线、点到平面、异面直线间距离的方法，提升空间角与距离的计算能力。​ 3.能够灵活运用空间直线与平面的相关定理和性质，进行逻辑推理与证明，如证明线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等位置关系，提高逻辑推理能力。 知识点01 平面的基本性质及推论 1．公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 2．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 3．公理3：如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 知识点02 异面直线及其所成的角 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 知识点03异面直线的判定 （1）判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 知识点04 空间中直线与直线之间的位置关系 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无 知识点05空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线和平面平行 无 a∥α 知识点06 直线与平面平行 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行． 1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b． 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行． 由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行． 正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条． 知识点07 直线与平面垂直 直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 知识点08 平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 两平面平行 无 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l 知识点09 平面与平面平行 两个平面平行的判定： （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β． （3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β． 平面与平面平行的性质： 性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面． 性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面． 知识点10 平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 平面与平面垂直的性质： 性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 知识点11 直线与平面所成的角 直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 知识点12 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 2.二面角的平面角 （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角 （3）二面角的平面角范围是； （4）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； 知识点13 异面直线的距离 异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离． 题型一 平面及其基本性质 【例1-1】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【知识点】空间位置关系的画法 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 【例1-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【答案】 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据基本事实可得结果. 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 【例1-3】（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 【例1-4】（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】平面分空间的区域数量、平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 【例1-5】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图， 已知轴，且的面积为，则的长为 .    【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法的性质，再结合勾股定理即可计算. 【详解】由，可知在原平面图中，， 因为，， 所以， 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【知识点】平面的概念及其表示、平面的基本性质及辨析 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 【变式1-4】（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 题型二 直线与直线间的位置关系 【例2-1】（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【知识点】平行公理 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 【例2-2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【例2-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 【例2-4】（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】分别连接对应面对角线，结合正方体的结构特征和直线所成角的定义，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 由正方体性质可得、都为等边三角形， 所以， 所以与所成的角为， 又，则与所成的角为， 同理，可得为等边三角形，则与所成的角为， 又， 则与所成的角为， 综上可得，与直线所成角的大小为的面对角线共有条. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【答案】C 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误； 对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形，所以也为的中点， 因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确； 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 【变式2-4】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据异面直线判定定理进行证明. （2）找出异面直线所成的角，解三角形求角的大小. 【详解】（1）如图： 因为平面，平面，平面，所以直线与直线是异面直线. （2）因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，, 所以，所以. 题型三 直线与平面间的位置关系 【例3-1】已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【答案】或 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论. 【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或. 故答案为：或. 【例3-2】（24-25高二上·上海·期中）“直线与平面无公共点”是“直线不在平面内”的 条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 【答案】充分不必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、线面关系有关命题的判断 【分析】根据充分、必要条件的定义结合线面关系判断． 【详解】直线与平面无公共点，则，因此有直线不在平面内，满足充分性， 但直线不在平面内包含与平行和相交，因此必要性不满足， “直线与平面无公共点”是“直线不在平面内”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【例3-3】（24-25高二上·上海静安·阶段练习）为一平面截空间四边形四边上的交点，若， 则直线与平面的位置关系是 . 【答案】平行 【知识点】判断线面平行 【分析】由 ，可知四点共面，结合线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】由题意，则四点共面， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面. 故答案为：平行. 【例3-4】（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、由线面平行求线段长度 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 【例3-5】（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【知识点】判断线面是否垂直 【分析】根据空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 【例3-6】（24-25高二上·上海·期中）空间中，斜线与平面所成角的取值范围为 ．（用弧度制表示）． 【答案】 【知识点】线面角的概念及辨析 【分析】根据斜线与平面所成角的定义求解即可. 【详解】根据斜线与平面所成角的定义可知，空间中，斜线与平面所成角的范围是. 故答案为：. 【例3-7】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知长为3的线段AB的两个端点到平面的距离分别为1和2，则直线AB与平面的所成角大小为 . 【答案】或 【知识点】求线面角 【分析】分类讨论在平面同侧和异侧的情况，即可得到答案. 【详解】当在平面同侧时， 延长与平面交于点，分别过作平面的垂线，垂足为， 如图所示： 则为直线与平面的所成角. 设，则， 所以，解得.所以，. 所以直线AB与平面的所成角大小为. 当在平面异侧时， 设与平面交于点，分别过作平面的垂线，垂足为， 如图所示： 设，则，即，解得， 即，. 此时三点重合，即. 所以直线AB与平面的所成角大小为. 综上：直线AB与平面的所成角大小为. 故答案为：或 【例3-8】（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的性质与判定定理即可得解. 【详解】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且，则四边形是平行四边形，， 而平面平面DEG，所以平面DEG. （2）在正方体中，平面，面，则， 由是正方形边的中点，得，则， 为棱的中点，在正方形中，， 则，即，则， 又平面DEG，所以平面DEG. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 【答案】平行或相交. 【知识点】判断线面平行 【分析】若在平面的同侧，可判断直线和平面平行；若在平面的两侧，可判断直线和平面相交； 【详解】若、在平面的同侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面平行； 若、在平面的两侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为 ． 【答案】30°/ 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据勾股定理可得，即可由三角形边角关系求解. 【详解】由于平面，平面， 所以,, 设正方形的边长为， 则,即， 解得，， 所以，， 由于为和平面所成角， 故,故， 故答案为：30° 【变式3-3】（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 【知识点】证明线面平行 【分析】根据线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】在中，因为，分别是、的中点，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. 【变式3-4】（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【知识点】补全线面垂直的条件、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 【变式3-5】（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置有关系进行判断即可. 【详解】（1）取中点Q，连接，， 由，得M是线段中点，则，， 由四边形是矩形，N是线段的中点，得，， 于是，，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以直线平面. （2）假设存在实数λ，使得同时垂直于直线和直线，由四边形是矩形，得， 即，，而，平面，则平面， 由平面，平面，得，而，，平面， 因此平面，则，在矩形边上取点，使， 连接，则与矛盾，即假设不成立， 所以不存在实数，使直线同时垂直于直线和直线. 题型四 平面与平面间的位置关系 【例4-1】设、是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题是 （填序号）. （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则；     （4）若，，，，则； 【答案】（1） 【知识点】判断面面平行、判断面面是否垂直 【分析】结合、是不同的直线，、是不同的平面，利用直线、平面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于（1）：因为，，所以，又因为，结合面面垂直的判定定理，可得，故（1）为真命题; 对于（2）：若，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（2）不是真命题； 对于（3）：若，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（3）不是真命题； 对于（4）：若，，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（4）不是真命题； 故答案为：（1）. 【例4-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二面角的概念及辨析 【分析】利用特殊情况来说明两平面所成角的最大角和最小角，从而可得任意角时的范围. 【详解】作出一个正方体，如图：    有平面平面，平面平面，平面平面， 这样满足三个平面、、，任意两个平面所成的二面角的大小都是， 当三个平面重合时，也满足三个平面、、，任意两个平面所成的二面角的大小都是， 由于两个平面所成的二面角的大小没有钝角，通过以上两种情况， 能说明任意两个平面所成角相等时的最小角是0，最大角是， 但是如果三个平面、、，任意两个平面所成的锐二面角的大小都是，那么锐角的取值范围是. 故答案为：. 【例4-3】如图所示，为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心．试判断平面与平面的关系，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【知识点】证明面面平行 【分析】构造线线平行，得到线面平行，再根据线面平行，推出线线平行. 【详解】理由如下：如图，连接、、并分别延长交、、于P、F、H． ∵M、N，G分别为、、的重心，则有． 连接、，，有． 又平面，不在平面上， ∴平面．同理平面． 又，、平面， ∴平面平面． 【例4-4】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【详解】（1）由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2）由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·课前预习）如果一个平面上的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【答案】两条相交直线 【知识点】判断面面平行 【变式4-2】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 【答案】 【知识点】面面平行证明线线平行、空间平行的转化 【分析】根据面面平行的性质定理可得答案. 【详解】由题意知，且， 根据面面平行的性质定理可得， 故答案为： 【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知正六棱锥的高为6，底面正六边形的边长为4，则侧面与底面所成锐二面角的大小为 【答案】 【知识点】二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】结合图形为正六棱锥的中心，底面得为侧面与底面所成锐二面角，再由几何关系求出即可； 【详解】如图，为正六棱锥的中心，高，底面为正六边形，所以， 因为底面，取的中点，连接， 则为侧面与底面所成锐二面角， 由正三角形的高为， 所以，即. 故答案为：. 【变式4-4】已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且. (1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面； (2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、证明线面平行、证明面面平行、补全面面平行的条件 【分析】（1）由题意结合几何性质可作出两平面的交线，然后证明线面平行即可； （2）首先确定点R的位置，然后给出证明即可. 【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以，所以. 又平面，PQ不在平面内， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即，故，所以. 又平面，PR不在平面内， 所以平面，又，平面. 所以平面平面. 题型五 异面直线间的距离 【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 【答案】1 【知识点】点面距离的概念及性质、求点面距离 【分析】当两点在平面的异侧时，利用中点的性质即可求解到平面的距离． 【详解】当两点在平面的异侧时，如图， 所以点到平面的距离为1； 故答案为：1． 【例5-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 【答案】/ 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、求直线与平面的距离 【分析】根据条件，易得面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得面，再根据条件，利用几可关系，即可求解. 【详解】易知，又面，面，所以面， 则直线到平面的距离，与点到平面的距离相等， 过作于， 因为面，面，所以， 又，面，所以面， 又，则， 在中，，得到， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：. 【例5-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【答案】证明见解析 【知识点】求异面直线的距离 【分析】利用三角形全等得，进而可得，同理可证，即可得证. 【详解】连接AF、DF、BE、CE． 在△ABD和△ACD中，，，． ∴．又E是AD中点， ∴． 在△BEC中，又F是BC的中点， ∴． 同理， ∴EF是异面直线AD、BC的公垂线． 【例5-4】（24-25高二上·上海·课堂例题）正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离． 【答案】 【知识点】求异面直线的距离、证明线面平行、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】将异面直线间的距离转化为线面距离，以及点面的距离. 【详解】如图，连接、，在正方体中，∵， ∴平面，∴与平面间的距离等于异面直线与间的距离． 连接、BD，设，．∵，， ∴平面，且平面，∴平面平面． 连接，则平面平面，作于G， 则平面，∴为直线与平面间的距离， 即为异面直线与间的距离． 在中，，， ∴， ∴， 即异面直线与间的距离为． 【变式5-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知中，所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是6，则点到平面的距离是 . 【答案】 【知识点】正弦定理及辨析、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意推得点在平面上的射影为的外心，进而利用正弦定理求得，再利用勾股定理即可得解. 【详解】记点在平面上的射影为，连接，    则平面，又平面， 所以， 因为， 所以由勾股定理可得，即是的外心， 在中，，， 则是正三角形，所以， 所以，所以，又， 得，即点到平面的距离为. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线的距离、求异面直线所成的角 【分析】（1）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解； （2）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）如图所示，在矩形中，． ∵，∴． 又，∴是异面直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，与成30°角， 故在中，是与所成的角，∴． 又，∴，即直线与的距离为； （2）在矩形中，，，∴， 又，∴是直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，故在中，是异面直线与所成的角，∴． 又，∴，∴直线与的距离为． 题型六 空间直线与平面的综合应用 【例6-1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线DE与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可； （2）由，得出是异面直线DE与所成角，再根据正切求角即可. 【详解】（1）连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）连接CE，因为，所以是异面直线DE与所成角. 记正方体的棱长为， 在中，， 所以异面直线DE与所成角是 . 【例6-2】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【知识点】空间中的线共点问题、证明异面直线垂直、平行公理、线面平行的性质 【分析】（1）根据正方体性质可证明且不相等，可得结论； （2）利用点与线、线与面的位置关系并根据平行线性质以及相似比可得结论； （3）利用反证法假设直线和直线不是异面直线，找出矛盾即可得出结论. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以，且, 由正方体性质可得，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，但, 可知四边形是梯形； （2）分别延长交于点，如下图所示： 因为平面，所以平面； 又因为是的中点，所以，所以是的中点， 连接， 又，所以与的交点即为线段的中点，即为； 所以可得、、三线共点； （3）假设直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得； 易知，，因此， 又因为平面，且平面， 所以，在正方形中，显然不成立，故矛盾，假设不成立； 即直线和直线是异面直线. 【例6-3】（25-26高二上·上海·期末）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形． (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)在线段上与点相距处 【知识点】求点面距离、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，不在面内，面，则平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，，即， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【例6-4】（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【答案】(1) (2) (3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为 【知识点】求线面角、求二面角、求点面距离 【分析】（1）由等体积法可得，代入计算，即可得到结果； （2）过作于，连接，由题意可得为二面角的平面角，进而求解即可； （3）由题意可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，设直线与平面所成的角为，可得，要使最大，则需使最小，可求解. 【详解】（1）由题意可得都是边长为2的等边三角形， 所以，则， 所以，因为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，可得， 即，解得， 则点到平面的距离为. （2） 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由， 知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以， 即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以， 即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为． 【变式6-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【知识点】空间中的点共线问题、由平面的基本性质作截面图形 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 【变式6-2】．（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、面面平行证明线面平行、证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而可得面面平行，利用面面平行的性质即可求证， （2）根据可得为异面直线与所成角，即可利用余弦定理求解，在中利用余弦定理计算． 【详解】（1）取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面    （2）由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，所以异面直线与所成角的大小为.    【变式6-3】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 【变式6-4】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，所以与的夹角为或其补角，求出的值，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定和性质即可得出判断. 【详解】直线和平面，且， 若，则可能成立，也有可能， 若，又由，此时推不出直线； 所以是的既不充分也不必要条件, 故选：D. 二、填空题 4．（24-25高二上·上海·期中）用符号表示“平面与相交于直线” ． 【答案】 【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解. 【详解】“平面与相交于直线”的符号表示， 故答案为：. 5．直线与平面所成角的范围是 . 【答案】 【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论. 【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况： ①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； ②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为； ③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为． 显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为． 故答案为：． 6．（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【答案】 【分析】由点线面的位置关系判断即可. 【详解】点直线，且直线平面，则， 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 . 【答案】或 【分析】由等角定理求解即可. 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 8．（24-25高二上·上海静安·期中）“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据给定条件，利用平行平面的定义即可得解. 【详解】由平行平面的定义知，“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是真命题. 故答案为：真 9．（24-25高二上·上海·期中）空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】利用线面垂直的性质定理可得结论. 【详解】由线面垂直的性质定理可知，空间中垂直于同一条直线的两个平面平行. 故答案为：平行. 10．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线，则直线与直线的位置关系有 种（填数字）. 【答案】3 【分析】以正方体为例，分别指出对应的位置关系，从而得解. 【详解】如图，，此时；   ，此时与异面； ，此时与相交； 而直线与直线的位置关系只有平行、异面、相交三种， 所以当直线时，直线与直线的位置关系有3种. 故答案为：3. 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线与平面的位置关系有 . 【答案】直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 【分析】根据空间中的线面关系概念即可求解. 【详解】按照直线与平面公共点的个数为无数个，1个，和0个可知， 空间中直线与平面的位置关系有三种：. 故答案为：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中．则原平面四边形OABC的面积为 ． 【答案】5 【分析】由题图及斜二测画法确定原四边形的形状，进而求其面积. 【详解】由斜二测画法，知原图形中，且， 所以原平面四边形OABC为直角梯形，面积为. 故答案为：5 13．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知空间中两条直线a、b，“a⊥b”是“a与b相交”的 条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”） 【答案】既非充分也非必要 【分析】通过正方体上的线的关系进行判断充分必要条件，由“a⊥b”得“a与b相交”则填充分条件；由“a与b相交”得“a⊥b”，则填必要条件，最后得出结果. 【详解】如图在正方体中，但与不相交，故“a⊥b”是“a与b相交”的非充分条件； 同理与相交，但与显然不垂直， 故与相交“a⊥b”是“a与b相交”的非必要条件， 所以“a⊥b”是“a与b相交”的既非充分又非必要条件， 故答案为：既非充分又非必要.    14．（24-25高二上·上海·阶段练习）若平面平面，，，则直线与的位置关系不可能是 .（填“相交”、“平行”、“异面”之一） 【答案】相交 【分析】由两个平面平行判断两条直线的位置关系即可. 【详解】若两个平面平行，则两个平面没有公共点，所以分别在两个平面内的直线可能平行，可能异面，不可能相交. 故答案为：相交. 15．（24-25高二上·上海普陀·阶段练习）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知.则边的实际长度是 . 【答案】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】 如图，将直观图化成平面图中，，， 所以 故答案为：. 三、解答题 16．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知正方体，求直线与平面所成角的大小.    【答案】 【分析】作出线面角，然后根据三角函数定义可得. 【详解】设正方体棱长为，则， 由正方体性质可知，平面， 所以即为直线与平面所成角， 所以, 所以直线与平面所成角大小为. 故答案为：. 17．如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)平面． 【分析】（1）利用中位线性质及平行四边形的判定即可证结论； （2）由中位线性质得，再应用线面平行的判定即可证结论. 【详解】（1）由M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 所以且， 所以为平行四边形. （2）由M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、BC的中点， 所以，由（1）知面，且面， 故面，即平面. 18．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案； （2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 因为，由勾股定理得，， 故， 所以； （2）连接交于，则， 因为⊥平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为. 19．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知平面，    (1)求证:平面; (2)若，求围成这个四面体的所有图形的面积之和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 利用线面垂直的性质定理可知四个面都是直角三角形，然后可求表面积. 【详解】（1）    因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面，所以, 因为平面，平面，所以， 因为,所以由勾股定理可得： 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【分析】根据新定义、异面直线的定义判断即可. 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（   ）个. A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】根据条件将问题转化为“截面与底面的交线与以为圆心，以为半径的圆相切”，然后分类讨论即可. 【详解】不妨设正四面体的棱长为，正的中心为，则正四面体的高为， 在中，以为圆心，以为半径画圆，则所求截面与平面的交线为该圆的切线， 下面分三种情况进行讨论： （1）切线与的任意一边平行，此时能作出个截面； （2）切线（点在边上，点在边上）且 ，此时易证≌， 所以，则截面为等腰三角形，这样的截面有个； （3）过点作的切线，与交于点，由≌有，对应为等腰三角形，这样的截面有个， 综上，满足条件的截面共有18个， 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 【答案】C 【分析】根据二面角的平面角的定义判断即可. 【详解】二面角的平面角是指过棱上一点在两个半平面内作棱的垂线，两条射线所成的角叫二面角的平面角， 对于A，两条边不一定垂直于两个半平面的交线，故A错误； 对于B，此时两边不一定在两个半平面内，故B错误； 对于C，二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角，此时棱垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，并且均在平面内，符合二面角的平面角定义，故C正确； 对于D，由C知，棱不一定垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，故D错误， 故选：C. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（    ）    A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】①找到一个的充要条件，并确定一个面与垂直，判断这种面的个数；②利用正三角形的性质，将问题化为判断是否存在，再设参并列方程求参判断是否满足范围. 【详解】点在平面上的射影的轨迹为线段， 所以平面，平面，所以， 则的一个充要条件， 当射影位于线段上的任意位置时，过作垂线，垂足为，则， 由且都在面上，则面，而面， 所以，于是这样的直线不唯一，①为假；    由，，由上知， 又，要使为正三角形，只需即可， 若，则，，且， 所以， 令，则， 可得（负值舍）， 而，只需比较，大小， 将它们平方有，， 进而比较，大小， 将它们平方有，， 显然，即， 则， 所以， 即， 综上，，即所求，满足要求， 故存在点M、N，使为等边三角形，②为真； 故选：D 【点睛】关键点点睛：①点在平面上的射影，关键是构造一个平面与垂直，进而判断这样的平面个数；②将正三角形的三边关系转化为，再设且，并用表示，利用等量关系求参数并判断是否在给定范围内即可. 二、填空题 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ． ①若，，，则 ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 【答案】② 【分析】对①，与可能平行或异面；对②，根据面面平行的性质可判断；对③，或，对④，与可能平行或相交. 【详解】对于①，若，，，则与可能平行或异面，故①错误； 对于②，若，则，故②正确； 对于③，若，则或，故③错误； 对于④，若，则与可能平行或相交，故④错误. 所以正确的命题为②. 故答案为：②. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，同时求出、的长，由此可得的面积． 【详解】 根据题意，中，，，， 在直观图中， ， 故的面积． 故答案为：． 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，设为正方形所在平面外一点，平面 则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】要求点到直线的距离，需要作出，然后计算即可. 【详解】 作于， 因为平面平面 所以， 因为 所以， 因为正方形边长为，所以， 因为，，所以， 所以， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 【答案】垂 【分析】根据，利用线面垂直的判定定理得到平面PAC，从而，再根据点在平面上的投影为O，得到，有平面PBO，从而，同理证得，即可. 【详解】如图所示： 在三棱锥P-ABC中，因为， 平面PAC，又平面PAC，所以， 又点在平面上的投影为O，所以 平面ABC， 又平面ABC，所以 ， 又，所以平面PBO， 因为平面PBO，所以， 同理可得，， 所以点在平面上的投影 O 点是 的垂心. 故答案为：垂. 11．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 【答案】 【分析】利用线面垂直的性质可得出结论. 【详解】因为平面，、、平面， 所以，，，， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，、、、都是直角三角形， 因为，图中共有个直角三角形. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 . 【答案】 【分析】将所有直线分为正方体的棱，面对角线，体对角线三类，然后讨论不同情况的时候的异面直线的夹角的余弦值即可. 【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线，且是异面直线，则所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是. 13．（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【答案】 【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出的面积，由此可得出的面积. 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）边长都是为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，，分别是对出线、上的动点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，过点作，垂足为，结合平面几何知识求，证明，求，结合二面角的平面角的定义求，利用余弦定理求，再求其范围. 【详解】设， 过点作，垂足为，可知，可得， 且，连接GN， 则，即， 可得，且， 由题意可知，两个半平面所成的角为， 在中，由余弦定理可得 ， 即，对于二次函数， 因为，则，所以． 15．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为 . 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，设，，由题意证明，进而根据面面垂直的性质定理证，根据勾股定理即可得、与的数量关系，即可求得两点间的最短距离. 【详解】 过点作，交于点，连接， 设，， 因为，所以， 由已知可得，，， 所以，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 由，， 所以，， 所以，， 同理可得，， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，是直角三角形， 所以， ， 即， 所以当，即、分别为线段、中点时，有最小值， 即、两点间的最短距离为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键通过面面垂直的性质证明，再根据，，证明是直角三角形. 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据中位线可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角），结合长度关系运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：分别为的中点，则∥， 且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC. （2）连接， 由（1）可知∥， 则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角）， 由题意可知：， 则，即，可得， 所以异面直线PO与AB所成角的大小为. 17．（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面，可得即为直线与平面所成角的平面角，再解即可； （2）证明，则即为异面直线与所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 在中，，则， 所以， 即直线与平面所成角大小为； （2）连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与所成角的平面角， 在中，， 则， 所以， 即异面直线与所成角大小为. 18．如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E． (1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由； (2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离； (3)若F为棱上的动点（除端点､外），求二面角的平面角的范围． 【答案】(1)当或时，平面，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出的坐标，根据或得出的坐标，根据得出，即可说明理由； （2）方法一：根据等体积法，设点到平面的距离为，三棱锥的体积，分别求出和代入计算即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式计算即可； （3）建立空间直角坐标系，设，其中，分别求出平面的法向量和平面的法向量，得出，根据的取值范围求出的范围，结合图形，即可得出二面角的平面角的范围． 【详解】（1）当或时，平面，理由如下： 由直线BD与平面所成角为30°，可知， 又因为，所以， 又因为，所以， 过点作，垂足为，如图所示，则， 所以，， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 当时，， 因为，所以，即， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2）由（1）可知，， 方法一： 因为点是中点，所以， 所以，，， 因为，即， 所以， 设点到平面的距离为，三棱锥的体积为， 因为，即， 所以，即点A到平面的距离为． 方法二： 按（1）的方法建系， 因为点是中点，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以点A到平面的距离为：． （3）设，其中， 按（1）中方法建立空间直角坐标系， 则，，设平面的一个法向量为， 则即，取则， 设平面的一个法向量为，易得， 则， 因为，所以，所以， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的平面角的范围是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$