19.2 菱形 暑假题型专练 2024--2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假题型专练 一、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，，是菱形的一条对角线，则的度数是(　　)    A. B. C. D. 2.如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是(　　) A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于(　　) A. B. C. D. 4.如图，菱形中，，点在上，且，则的度数为           ． 5.如图，是菱形的对角线，若，则的度数为        ． 6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数． 7.如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数． 二、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，在菱形中，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是(　　) A. B. C. D. 2.小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为a，则菱形的周长为（　　） A. B. C.a D. 3.如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为(　　)    A. B. C. D. 4.中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形 ，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为      ．    5.如图，已知菱形的对角线，的长分别为24，10，则长为       ． 6.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 7.如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 三、利用菱形的性质求面积 1.已知，菱形的周长为，其中一条对角线长为，则菱形的面积(　　) A. B. C. D. 2.如图，菱形的对角线交于点O，交的延长线于点E，，，则的面积为(　　) A.60 B.48 C.42 D.24 3.如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是(　　) A.8 B. C. D. 4.如图，菱形的边长为26，对角线的长为48，延长至E，平分，点G是上任意一点，则的面积为           ． 5.如图，在边长为8的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为        ． 6.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若菱形的面积为8，请计算四边形的面积． 7.如图，在菱形中，E是的中点，且，求：      (1)的度数； (2)菱形的面积． 四、菱形中的动点问题 1.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 2.如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A. B. C.5 D. 3.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 4.如图，菱形的边长为6，，M为的中点，点在上动点，连接，，则的最小值为         ．    5.如图，菱形中，点E，F分别是，上的动点，，，与相交于点G，则下列结论：①；②是等边三角形；③．其中结论正确的有       个． 6.如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，． (1)求证：； (2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． 7.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．猜想的形状是______三角形，并证明． 五、用定义判定菱形 1.如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（　　）    A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形 3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 4.菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形． 5.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 6.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）如果EF平分∠AEC，求证：四边形AFCE是菱形． 7.如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，即∠1＝∠2，BF平分∠ABC，即∠3＝∠4，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形． 六、添加一个条件是菱形 1.嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流． 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形是菱形．    淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是(　　) A.题目严谨，不用添加条件 B.题目不严谨，可补充： C.题目不严谨，可补充： D.题目不严谨，可补充： 2.已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　) A. B. C. D. 3.如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（　　） A.当时，四边形是菱形 B.当时，四边形是菱形 C.当时，四边形是矩形 D.当时，四边形是菱形 4.如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是      ． 5.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是       ．（填写序号） 6.如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和． (1)求证：； (2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明. 7.如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点H．连接、．    (1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论； (2)若长为2，则的长为 时， 四边形为菱形． 七、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)    A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为(　　) A. B. C.4 D.3 4.如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则     度．    5.如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为      ． 6.如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 7.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点A作于点H，求的长． 八、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是(　　) A. B. C. D. 2.如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是(　　) A. B. C. D. 3.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 5.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 6.如图，在四边形中，是上一动点，连接交于，连接．    (1)证明：； (2)若，试证明四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，当点运动到离点距离最近时，猜想与的关系，并说明理由． 7.如图，AD是∠BAC的平分线，DE平行AB交AC于点E，DF平行AC交AB于点F，延长FE交BC的延长线于点G．    求证：（1）AG＝DG； （2）∠GAC＝∠B． 华东师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假题型专练（参考答案） 一、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，，是菱形的一条对角线，则的度数是(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2.如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在菱形中，，点在对角线上， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3.如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接． ，， ， 是等边三角形， ， 又，， ， ， 又， ． 故选：B． 4.如图，菱形中，，点在上，且，则的度数为           ． 【答案】 【解析】四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5.如图，是菱形的对角线，若，则的度数为        ． 【答案】 【解析】∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数． 【答案】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=120°， ∴∠BAD=60°， ∵对角线AC、BD交于点O， ∴∠BAC=∠CAD=30°，∠DOA=90°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠OAF=15°， ∴∠AFO的度数为：90°-15°=75°． 7.如图，菱形，、分别是，上的点，，，求的度数． 【答案】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，且， ∴. 二、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，在菱形中，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，连接交于点D， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点C的坐标是，点A的纵坐标是1， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：A． 2.小雨在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图1所示）．若的长度为a，则菱形的周长为（　　） A. B. C.a D. 【答案】D 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形是周长， 故选：D． 3.如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为(　　)    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：． 4.中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形 ，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为      ．    【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的长为， 故答案为：． 5.如图，已知菱形的对角线，的长分别为24，10，则长为       ． 【答案】13 【解析】∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 6.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 【答案】解：（1）四边形为菱形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）四边形为菱形， ， ，点是中点， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ． 7.如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、利用菱形的性质求面积 1.已知，菱形的周长为，其中一条对角线长为，则菱形的面积(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图， 四边形是菱形，且周长是，， ，，，， 在中，， ， 菱形的面积：， 故选：D． 2.如图，菱形的对角线交于点O，交的延长线于点E，，，则的面积为(　　) A.60 B.48 C.42 D.24 【答案】B 【解析】四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：B． 3.如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是(　　) A.8 B. C. D. 【答案】C 【解析】菱形的周长为32， ， ， ，， 和都为等边三角形， ，， ，，，， ，，， ∴为等边三角形， 的面积． 故选：C． 4.如图，菱形的边长为26，对角线的长为48，延长至E，平分，点G是上任意一点，则的面积为           ． 【答案】 【解析】如图所示, 连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， ∴的面积， ∵ 平分， ， ∴， ∴ ， ∴的面积的面积， 故答案为：． 5.如图，在边长为8的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点．若，则这个菱形的面积为        ． 【答案】 【解析】连接交于O，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：． 6.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若菱形的面积为8，请计算四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形, ∴， ∴四边形的面积 ． 7.如图，在菱形中，E是的中点，且，求：      (1)的度数； (2)菱形的面积． 【答案】解：（1）如图，连接，    ∵菱形， ∴， ∵E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 四、菱形中的动点问题 1.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】作点F关于的对称点G，连接，作于，作交于， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点G在上，，， ∵， ∴最小值为：， 故选B． 2.如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A. B. C.5 D. 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形，与交于点， ∴，， ，，，， ∵，， ，， ， 取的中点，连接，，则， ∵为的中点，为的中点， ∴，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当、、三点在同一直线上时取等号， 故选：C． 3.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 4.如图，菱形的边长为6，，M为的中点，点在上动点，连接，，则的最小值为         ．    【答案】 【解析】连接，根据轴对称的性质及等边三角形的性质可得当点B、N、M三点共线时最小，如图所示： 菱形的边长为6，， ，， ∴是等边三角形， 点关于的对称点为点，连接交于点，为的中点， ，， ． 故答案为：．    5.如图，菱形中，点E，F分别是，上的动点，，，与相交于点G，则下列结论：①；②是等边三角形；③．其中结论正确的有       个． 【答案】①②③ 【解析】在四边形是菱形中， ∵， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 又， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， 由①得，， ∴，故③正确． 故答案为：①②③． 6.如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，． (1)求证：； (2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴. 在和中， ， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 理由如下： 由（1）知， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在菱形中，，M为的中点， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 7.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．猜想的形状是______三角形，并证明． 【答案】解：的形状是等边三角形； 证明如下：连接． 四边形是菱形， ，， ，都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形． 五、用定义判定菱形 1.如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形， ，，， 将线段水平向右平得到线段， ， 四边形为平行四边形， 当时，为菱形， 此时． 故选：B. 2.如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（　　）    A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形 【答案】C 【解析】，， 四边形是平行四边形，， 是的角平分线， ， ， ， 平行四边形是菱形． 故选：C． 3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 【答案】B 【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴AC平行且等于ED， ∴四边形ACDE为平行四边形， 当AC＝BC时，则DE＝EC， ∴平行四边形ACED是菱形． 故选B. 4.菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形． 【答案】相等 【解析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 5.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 【答案】菱形 【解析】∵四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 设 ∴平行四边形是菱形， 故答案为：菱形． 6.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且DE＝BF． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）如果EF平分∠AEC，求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵DE＝BF． ∴AE＝CF，AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CFE， ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEF＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∵四边形AFCE是平行四边形， ∴四边形AFCE是菱形． 7.如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，即∠1＝∠2，BF平分∠ABC，即∠3＝∠4，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠5， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠5， ∴AB＝BE，同理可得AB＝AF， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形． 六、添加一个条件是菱形 1.嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流． 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形是菱形．    淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是(　　) A.题目严谨，不用添加条件 B.题目不严谨，可补充： C.题目不严谨，可补充： D.题目不严谨，可补充： 【答案】C 【解析】根据题意得：嘉嘉的说法无法证得四边形是菱形，故A选项不符合题意； 若添加无法说明四边形是平行四边形， 则不能得到四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若添加， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C选项符合题意； 若添加无法说明四边形是平行四边形， 则不能得到四边形是菱形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2.已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示， A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意； C．， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：C． 3.如图，已知平行四边形的对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（　　） A.当时，四边形是菱形 B.当时，四边形是菱形 C.当时，四边形是矩形 D.当时，四边形是菱形 【答案】D 【解析】．∵， ∴平行四边形是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故结论正确，不符合题意； ．当时，四边形不一定是菱形， 故结论错误，符合题意； 故选：． 4.如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是      ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意知，可添加：． 则三角形是等腰三角形， 由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合， 即点D是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，点E，F分别是的中点， ∴， ∴平行四边形为菱形． 故答案为：、或（答案不唯一）． 5.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，平分．给出下列两个条件：①，②；从二者中选择一个作为补充条件，使四边形是菱形，这个条件是       ．（填写序号） 【答案】② 【解析】∵平分， ∴ 若，则有： ∴ ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， 故答案为②． 6.如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和． (1)求证：； (2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明. 【答案】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴. （2）解：补充条件为：且， 证明如下：在平行四边形中，，． ∴四边形是平行四边形， ∵且, ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴, ∴平行四边形是菱形． 7.如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点H．连接、．    (1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论； (2)若长为2，则的长为 时， 四边形为菱形． 【答案】解：（1）四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， 矩形由矩形旋转得到， ，， 四边形为平行四边形；    （2）当时，四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 七、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作于R，于S，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ∴， 故选：C． 2.如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故选：． 3.如图，在矩形中，，，，边上各有一点E，F，，则的值为(　　) A. B. C.4 D.3 【答案】C 【解析】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4.如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则     度．    【答案】 【解析】如图：    ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， ， 为菱形． ，即． 故答案为：． 5.如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为      ． 【答案】10 【解析】根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 6.如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】解：（1）四边形是菱形， 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， ∴． 7.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点A作于点H，求的长． 【答案】（1）证明：在中，对角线，相交于点，，，， ，， ，且， ， 是直角三角形，且， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 解得：．    八、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.四边形中，，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形是菱形，则下列说法中不正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，连接AC， ∵， ∴，． ∵四边形APCQ是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴AD=BC，，故A正确，不符合题意． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵， ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴，，故B、C正确，不符合题意． ∵当AP=BP时，， ∴D选项不一定成立，故该选项符合题意． 故选D． 2.如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由作图可知：AB=BE，AF=AB， ∴AB=BE=AF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ADBC，即AFBE， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AB=EF，AE⊥BF，∠AEB=∠AEF，故A、B、C选项都不符合题意； 而∠ABC≠90° ，∴四边形ABEF不是矩形，∴AE≠BF，故D选项符合题意． 故选：D． 3.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】， ， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图2，    设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， ，，三点一定在同一直线上，故④正确， 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 4.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 连接，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∴正确的有， 故答案为：． 5.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确， ∴，， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，故④错误； 综上分析可知：①②③正确； 故答案为：①②③． 6.如图，在四边形中，是上一动点，连接交于，连接．    (1)证明：； (2)若，试证明四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，当点运动到离点距离最近时，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】解：（1）在和中， ， ， ； （2） ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形. （3）， 当时最短, 此时，， 四边形是菱形, ， 又，， ， ， ． 7.如图，AD是∠BAC的平分线，DE平行AB交AC于点E，DF平行AC交AB于点F，延长FE交BC的延长线于点G．    求证：（1）AG＝DG； （2）∠GAC＝∠B． 【答案】证明：（1）∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠DAF＝∠ADE， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAF＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴四边形AEDF是菱形， ∴EF是AD的垂直平分线， ∵延长FE交BC的延长线于点G， ∴AG＝DG； （2）∵AG＝DG，AE＝DE， ∴∠GAD＝∠GDA，∠EAD＝∠EDA， ∵∠GAC＝∠GAD﹣∠EAD，∠GDE＝∠GDA﹣∠EDA， ∴∠GAC＝∠GDE， ∵DE∥AB， ∴∠GDE＝∠B， ∴∠GAC＝∠B． 学科网（北京）股份有限公司 $$