高考新情境命题探究(20) 直线间位置关系中的创新问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

高考新情境命题探究(20)　 直线间位置关系中的创新问题 B BC C 谢谢观看！ 直线间位置关系中的创新问题 1．(创新解题思维)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝ eq \r(x2＋10x＋29)＋ eq \r(x2＋6x＋18)的最小值为(　　) A．5 B． eq \r(29) C． eq \r(31) D．2＋ eq \r(13) 解析：f(x)＝ eq \r(x2＋10x＋29)＋ eq \r(x2＋6x＋18)＝ eq \r(（x＋5）2＋4)＋ eq \r(（x＋3）2＋9)表示平面上点M(x，0)到点A(－5，2)与B(－3，－3)的距离之和，连接AB，与x轴交于点M(x，0)，则此时点M到点A与点B的距离之和最小，即f(x)min＝ eq \r(（－5＋3）2＋（2＋3）2)＝ eq \r(29). 2．(多选)(新定义问题)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”．下列直线中是点M的“相关直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 解析：A选项中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝ eq \f(|5－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝3 eq \r(2)＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A错误；同理，D错误；B选项中，点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B正确；C选项中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝ eq \f(|4×5－3×0|,\r(42＋（－3）2))＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，故C正确． 3．(解法创新问题)已知实数a，b满足a2－3ln a－b＝0，c∈R，则(a－c)2＋(b＋c)2的最小值为(　　) A．1 B． eq \r(2) C．2 D． eq \r(5) 解析：由题意得a2－3ln a＝b，设f(x)＝x2－3ln x(x＞0)，则(a－c)2＋(b＋c)2表示曲线y＝f(x)上的点(a，b)到直线y＝－x上的点(c，－c)的距离的平方．f′(x)＝2x－ eq \f(3,x)，令2x－ eq \f(3,x)＝－1，x＞0，解得x＝1，所以曲线y＝f(x)上一点到直线y＝－x的最小距离d＝ eq \f(2,\r(2))＝ eq \r(2)，所以(a－c)2＋(b＋c)2的最小值为2. 4．(数学文化题)(2025·汕头模拟)瑞士数学家欧拉1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，C(2，0)，则△ABC欧拉线的方程为________. 答案：x－y＋2＝0　解析：因为△ABC的顶点为A(－4，0)，B(0，4)，C(2，0)，则△ABC的重心G为(－ eq \f(2,3)， eq \f(4,3))，显然△ABC的外心M在线段AC的垂直平分线x＝－1上．设M为(－1，a)，由|MA|＝|MB|得 eq \r(9＋a2)＝ eq \r(1＋（a－4）2)，解得a＝1，即点M为(－1，1)，直线MG：y－1＝ eq \f(\f(4,3)－1,－\f(2,3)＋1)(x＋1)，化简整理得x－y＋2＝0，所以△ABC欧拉线的方程为x－y＋2＝0. $$