高考新情境命题探究(18) 等比数列的交汇创新问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

高考新情境命题探究(18)　 等比数列的交汇创新问题 C A 谢谢观看！ 等比数列的交汇创新问题 1．(2025·福州开学考试)物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是对于函数f(x)，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－ eq \f(f（xn）,f′（xn）)，则称数列{xn}为牛顿数列，若函数f(x)＝x2，数列{xn}为牛顿数列且x1＝2，an＝log2xn，则a8的值是(　　) A．8 B．2 C．－6 D．－4 解析：根据题意，xn＋1＝xn－ eq \f(f（xn）,f′（xn）)＝xn－ eq \f(（xn）2,2xn)＝xn－ eq \f(xn,2)＝ eq \f(xn,2)，所以 eq \f(xn＋1,xn)＝ eq \f(1,2).又x1＝2，所以{xn}是首项为2，公比为 eq \f(1,2)的等比数列，所以xn＝2×( eq \f(1,2))n－1＝( eq \f(1,2))n－2＝22－n，所以an＝log2xn＝log222－n＝2－n，所以a8＝2－8＝－6. 2．对于正数a1，a2，a3，…，an，它的几何平均数定义为 eq \r(n,a1a2a3·…·an).已知一个各项均为正数的等比数列{bn}，它的前11项的几何平均数为25，从这11项中抽去一项后所剩10项的几何平均数仍是25，那么抽去的一项是(　　) A．第6项 B．第7项 C．第9项 D．第11项 解析：由题意 eq \r(11,b1b2b3·…·b11)＝25，又{bn}是等比数列，所以b1b11＝b2b10＝…＝b5b7＝b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))，所以eq \o\al(\s\up1(11),\s\do1(6)) eq \r(11,b) ＝25，即b6＝25.设抽去的是bi，则 eq \r(10,b1b2·…·bi－1bi＋1·…·b11)＝25，即b1b2·…·bi－1bi＋1·…·b11＝b eq \o\al(\s\up1(10),\s\do1(6))，但b1b2·…·b11＝b eq \o\al(\s\up1(11),\s\do1(6))，所以bi＝b6. 3．若数列{an}满足 eq \f(1,an＋1)－ eq \f(3,an)＝0，则称{an}为“追梦数列”．已知数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn＋1)))为“追梦数列”，且b1＝2，则数列{bn}的通项公式为bn＝________． 答案：3n－1　解析：根据题意，“追梦数列”{an}满足 eq \f(1,an＋1)－ eq \f(3,an)＝0(n∈N*)，即an＝3an＋1，则数列{an}是公比为 eq \f(1,3)的等比数列．因为数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn＋1)))为“追梦数列”，所以 eq \f(1,bn＋1)＝ eq \f(1,b1＋1)×( eq \f(1,3))n－1＝ eq \f(1,3n)⇒bn＋1＝3n⇒bn＝3n－1. $$