高考新情境命题探究(1) 函数的新定义问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

高考新情境命题探究(1)　函数的新定义问题 C C A 谢谢观看！ 函数的新定义问题 [例] 设函数f(x)，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|，对一切定义域内x均成立，则称f(x)为F函数．下列函数中不是F函数的是(　　) A．f(x)＝0 B．f(x)＝2x C．f(x)＝x2－3x＋1，x≥2 D．f(x)＝ eq \f(x,x2＋x＋1) 解析：A选项，若f(x)＝0，则|f(x)|＝0，所以当m>0时，恒有|f(x)|≤m|x|成立，所以满足条件；B选项，若f(x)＝2x，则|f(x)|＝2|x|，当m≥2时，|f(x)|≤m|x|成立，所以满足条件；C选项，若f(x)＝x2－3x＋1，x≥2，则| eq \f(f（x）,x)|＝| eq \f(x2－3x＋1,x)|＝|x＋ eq \f(1,x)－3|，因为x≥2时，函数y＝x＋ eq \f(1,x)单调递增，所以y＝x＋ eq \f(1,x)≥2＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(5,2).则不存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切定义域内x均成立，所以不满足条件；D选项，若f(x)＝ eq \f(x,x2＋x＋1)，则| eq \f(f（x）,x)| ＝| eq \f(1,x2＋x＋1)|＝| eq \f(1,（x＋\f(1,2)）2＋\f(3,4))|≤ eq \f(4,3)，当m＝ eq \f(4,3)时，|f(x)|≤m|x|对一切定义域内x均成立，所以满足条件． 函数新定义问题的求解策略 (1)新定义问题是先给出一个新的概念，或给出一个抽象函数的性质，然后根据这种新定义解决相关的问题． (2)解决问题的关键是破译题目的信息，转化为熟悉的问题便可获解． 训练 (1)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数： ①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝( eq \f(1,3))x；④φ(x)＝ln x. 其中是一阶整点函数的是(　　) A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ 解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它只通过一个整点(0，0)，故它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，当x∈Z时，一定有g(x)＝x3∈Z，即函数g(x)＝x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝( eq \f(1,3))x，当x＝0，－1，－2，等等时，h(x)都是整数，易知函数h(x)通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x)＝ln x，它只通过一个整点(1，0)，故它是一阶整点函数． (2)(2024·上海模拟)已知函数y＝f(x)具有以下的性质：对于任意实数a和b，都有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，则以下选项中，不可能是f(1)值的是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：因为函数y＝f(x)对于任意实数a和b，都有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，所以令a＝b＝0，有f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，即2f(0)·[f(0)－1]＝0，所以f(0)＝0或f(0)＝1；令a＝b＝ eq \f(x,2)，x为任意实数，有f(x)＋f(0)＝2f( eq \f(x,2))f( eq \f(x,2))，即f(x)＝2f( eq \f(x,2))f( eq \f(x,2))－f(0)；因为f( eq \f(x,2))f( eq \f(x,2))≥0，所以f(x)≥－f(0)，当f(0)＝0时，f(x)≥0；当f(0)＝1时，f(x)≥－1；所以f(x)的值不可能是－2. $$