第五章 第4节 复数（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第4节　复　数 第五章　平面向量与复数 衔接教材 夯基固本 落实 实部 虚部 衔接教材 夯基固本 落实 a＝c且b＝d 衔接教材 夯基固本 落实 a＝c且b＝－d Z(a，b) 衔接教材 夯基固本 落实 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 B B 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 AB 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(37) 温馨提示 谢谢观看！ 1．通过方程的解，认识复数． 2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．(重点) 一、复数的概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中的a与b分别叫做复数z的____与____． 2．复数的分类 复数z＝a＋bi，(a，b∈R) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）（当a＝0时为纯虚数）.)) 3．复数的有关概念 (1)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔______________(a，b，c，d∈R). 利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程(组)时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． (2)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________________(a，b，c，d∈R). (3)复数的模：向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝r＝________(r≥0，a，b∈R). 4．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点____________及平面向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应的关系． eq \r(a2＋b2) 二、复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： 1．z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________________； 2．z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________________； 3．z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________________； 4. eq \f(z1,z2)＝ eq \f(a＋bi,c＋di)＝ eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝_________________________ (c＋di≠0). eq \f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2) 复数运算的几个重要结论 (1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； (2) eq \o(z,\s\up15(－))·z＝|z|2＝| eq \o(z,\s\up15(－))|2； (3)若z为虚数，则|z|2≠z2； (4)(1±i)2＝±2i； (5) eq \f(1＋i,1－i)＝i； eq \f(1－i,1＋i)＝－i； (6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N＋). 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于(　　) A． 第一象限　　　　B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 追根 溯源 (苏教版必修第二册P132T4)设复数z1＝4－3i，z2＝1＋2i，问：复数z＝ eq \f(z1,z2)在复平面内所对应的点位于第几象限 发现 感悟 高考题与教材题均结合向量考查复数的几何意义．由于复数、点、向量之间建立了一一对应关系，因此复数可与向量、圆相结合考查 二、教材典题改编 1．[人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2)]复数 eq \f(5,i－2)的共轭复数是(　　) A．i＋2 B．i－2 C．－2－i D．2－i 2．(人教B版必修第四册P31练习BT2改编)若z＝3＋4i，则|z|＝(　　) A． eq \r(5) B．5 C．7 D．25 3．(苏教版必修第二册P147T7)在复平面内，复数z＝－1＋2i对应的点所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量 eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数是2＋i，向量 eq \o(CB,\s\up16(→))对应的复数是－1－3i，则向量 eq \o(CA,\s\up16(→))对应的复数是(　　) A． 1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 三、易误易混澄清 1．(忽视复数相等的充要条件)若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b等于(　　) A．5 B．1 C．0 D．－3 解析：因为(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1. 2．(对复数的虚部理解不正确)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m＝________________． 答案：2　解析：因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2. 考点一　复数的概念 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． eq \r(2) D．2 解析：若z＝－1－i，则|z|＝ eq \r(（－1）2＋（－1）2)＝ eq \r(2). 2．(2025·八省高考综合改革适应性演练)|2－4i|＝(　　) A．2 B．4 C．2 eq \r(5) D．6 解析：由题意可得|2－4i|＝ eq \r(22＋（－4）2)＝2 eq \r(5). 3．(多选)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　) A．复数z的虚部为 eq \f(\r(3),2) B． eq \f(1,z)＝ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i C．z2＝z＋1 D．复数z的共轭复数为－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i 解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R).因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,（a－1）2＋b2＝1，,a>0，b>0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(\r(3),2)，))即z＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i. 对于A，复数z的虚部为 eq \f(\r(3),2)，故A正确；对于B， eq \f(1,z)＝ eq \f(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i,（\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i）（\f(1,2)－\f(\r(3),2)i）)＝ eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i，故B正确；对于C，因为z2＝( eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i)2＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i≠z＋1，故C错误；对于D，复数z的共轭复数为 eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i，故D错误． 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 考点二　复数的几何意义 1．(2023·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1， eq \r(3))，则z的共轭复数z＝(　　) A．1＋ eq \r(3)i B．1－ eq \r(3)i C．－1＋ eq \r(3)i D．－1－ eq \r(3)i 解析：由题知z＝－1＋ eq \r(3)i，则z＝－1－ eq \r(3)i. 2．在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为(　　) A． eq \f(π,3) B． eq \f(2π,3) C． eq \f(3π,4) D． eq \f(5π,6) 解析：∵z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，∴ eq \o(OZ1,\s\up16(→))＝(－3，－4)， eq \o(OZ2,\s\up16(→))＝(7，1)，∴ eq \o(OZ1,\s\up16(→))· eq \o(OZ2,\s\up16(→))＝－21－4＝－25，∴cos ∠Z1OZ2＝＝ eq \f(－25,5×5\r(2))＝－ eq \f(\r(2),2).又∠Z1OZ2∈[0，π]，∴∠Z1OZ2＝ eq \f(3π,4). 3．已知复数z满足|z＋1－2i|＝1，则|z|的最大值为_________． 答案：1＋ eq \r(5)　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z＋1－2i|＝1，∴|a＋1＋(b－2)i|＝1，即(a＋1)2＋(b－2)2＝1，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是以A(－1，2)为圆心，以1为半径的圆． ∵|z|表示复数z在复平面内对应的点到坐标原点O的距离，∴|z|的最大值为|OA|＋r＝ eq \r(（－1）2＋22)＋1＝1＋ eq \r(5). 复数的几何意义及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 eq \o(OZ,\s\up16(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ eq \o(OZ,\s\up16(→)). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 考点三　复数的运算 1．(2024·全国甲卷)设z＝5＋i，则i( eq \o(z,\s\up15(－))＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 解析：由z＝5＋i⇒ eq \o(z,\s\up15(－))＝5－i，z＋ eq \o(z,\s\up15(－))＝10，则i( eq \o(z,\s\up15(－))＋z)＝10i. 2．(2024·新课标Ⅰ卷)若 eq \f(z,z－1)＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：因为 eq \f(z,z－1)＝ eq \f(z－1＋1,z－1)＝1＋ eq \f(1,z－1)＝1＋i，所以z＝1＋ eq \f(1,i)＝1－i. 3．(2023·全国乙卷)设z＝ eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)，则 eq \o(z,\s\up15(－))＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析：z＝ eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)＝ eq \f(2＋i,1－1＋i)＝ eq \f(（2＋i）i,i2)＝－(2i－1)＝1－2i，则 eq \o(z,\s\up15(－))＝1＋2i. 4．在复数范围内，2＋i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＋b＝________________． 答案：－ eq \f(3,5)　解析：因为2＋i是关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，所以2－i是该方程的另一个根，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝（2＋i）（2－i），,－\f(b,a)＝（2＋i）＋（2－i），))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,5)，,b＝－\f(4,5)，)) 所以a＋b＝－ eq \f(3,5). 复数运算的方法 (1)复数的加减法：在进行复数加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． $$