第五章 第3节 视野拓展5 极化恒等式（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第3节　平面向量的数量积及综合应用 视野拓展5——极化恒等式 第五章　平面向量与复数 衔接教材 夯基固本 落实 请完成：课时训练(36) 温馨提示 谢谢观看！ 1．极化恒等式的代数形式与几何模型 (1)代数形式：a·b＝ eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2](极化恒等式). 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 eq \f(1,4). (2)平行四边形模型 在平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4)(| eq \o(AC,\s\up16(→))|2－| eq \o(DB,\s\up16(→))|2). (3)三角形模型 在△ABC中，D为BC的中点： eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝| eq \o(AD,\s\up16(→))|2－ eq \f(1,4)| eq \o(CB,\s\up16(→))|2＝| eq \o(AD,\s\up16(→))|2－| eq \o(CD,\s\up16(→))|2＝| eq \o(AD,\s\up16(→))|2－| eq \o(BD,\s\up16(→))|2. 2．极化恒等式的作用 极化恒等式说明向量的数量积可以由向量和、差的模表示，该式沟通了向量的数量积与向量的线性运算，沟通了实数与向量，有着广泛而重要的作用． [例] (1)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2 eq \r(3)，M点是线段AC上一动点，若以M为圆心，半径为1的圆与线段AC交于P，Q两点，则 eq \o(BP,\s\up16(→))· eq \o(BQ,\s\up16(→))的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝________________． 答案：(1)B　(2)－16　解析：(1)在Rt△ABC中，易得AC＝4，AC边上的高为 eq \r(3)，所以 eq \o(BP,\s\up16(→))· eq \o(BQ,\s\up16(→))＝| eq \o(BM,\s\up16(→))|2－| eq \o(MP,\s\up16(→))|2＝| eq \o(BM,\s\up16(→))|2－1≥3－1＝2. (2) eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4)[( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→)))2－( eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AC,\s\up16(→)))2]＝ eq \f(1,4)[(2 eq \o(AM,\s\up16(→)))2－ eq \o(CB,\s\up16(→))2]＝ eq \f(1,4)×(4×32－102)＝－16. 训练 已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则 eq \o(PA,\s\up16(→))· eq \o(PB,\s\up16(→))的取值范围是________________． 答案：[－2，6]　解析：取AB的中点D，连接CD，PD，因为△ABC为正三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2 eq \r(3). 又由极化恒等式得 eq \o(PA,\s\up16(→))· eq \o(PB,\s\up16(→))＝| eq \o(PD,\s\up16(→))|2－ eq \f(1,4)| eq \o(AB,\s\up16(→))|2＝| eq \o(PD,\s\up16(→))|2－3.因为P在圆O上，所以当P在点C处时，| eq \o(PD,\s\up16(→))|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，| eq \o(PD,\s\up16(→))|min＝1，所以 eq \o(PA,\s\up16(→))· eq \o(PB,\s\up16(→))∈[－2，6]. $$