第五章 第3节 平面向量的数量积及综合应用（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第3节　平面向量的数量积及综合应用 第五章　平面向量与复数 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 |a||b|cos θ |a||b|cos θ 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 BC 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 谢谢观看！ 1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义． 2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他的一些实际问题． 一、平面向量数量积的有关概念 1．向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作 eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量______________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 3．投影向量 如图，在平面内任取一点O，作 eq \o(OM,\s\up16(→))＝a， eq \o(ON,\s\up16(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则_____就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则 eq \o(OM1,\s\up16(→))与e，a，θ之间的关系为 eq \o(OM1,\s\up16(→))＝|a|cos θe. eq \o(OM1,\s\up16(→)) 二、平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． 1．数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. 2．模：|a|＝ eq \r(a·a)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))) . 3．夹角：cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))) . 4．两个非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时，等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))) ·eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))) . 三、平面向量数量积的运算律 1．a·b＝b·a(交换律). 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). 3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 四、平面几何中的向量方法 三步曲：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a2＋b2＝0⇔a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立). 3．a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A． －2　　B．－1　　C．1　　D．2 追根 溯源 (人教A版必修二P60复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1).当λ为何值时，a＋λb与a垂直？ 发现 感悟 在高考中，向量坐标运算很少单独考查，常与向量数量积、向量共线结合考查．高考试题与教材习题的题目条件、考查角度完全相同，都是应用向量垂直求参数，属于简单题 二、教材典题改编 1．(苏教版必修第二册P25T4改编)已知|a|＝5，|b|＝ eq \r(2)，a·b＝5，则a与b的夹角θ等于(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 2．(人教A版必修第二册P34例10改编)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：由已知得 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(6，6)， eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2，2)，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝6×(－2)＋6×2＝0，即AB⊥BC，故△ABC是直角三角形． 3．(苏教版必修第二册P25T5改编)已知|a|＝6，向量e为单位向量，〈a，e〉＝ eq \f(π,3)，则向量a在e方向上的投影向量为________________． 答案：3e 4．(人教A版必修第二册P21例12改编)已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，则(a＋b)·(2a－b)＝________________． 答案：－1 三、易误易混澄清 1．(混淆两向量平行与垂直的坐标表示)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　) A． eq \r(5) B． eq \r(10) C．2 eq \r(5) D．10 解析：∵a⊥c，b∥c，∴2x－4＝0，－4－2y＝0，解得x＝2，y＝－2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝ eq \r(32＋（－1）2)＝ eq \r(10). 2．(忽视向量共线的情形)向量a＝(2，t)，b＝(－1，3)，若a，b的夹角为钝角，则t的取值范围是(　　) A．(－∞， eq \f(2,3)) B．( eq \f(2,3)，＋∞) C．(－∞，－6)∪(－6， eq \f(2,3)) D．(－∞，－6) 解析：若a，b的夹角为钝角，则a·b＜0且a，b不反向共线．由a·b＝－2＋3t＜0，解得t＜ eq \f(2,3).向量a＝(2，t)，b＝(－1，3)共线时，2×3＝－t，得t＝－6.此时a＝－2b.所以t＜ eq \f(2,3)且t≠－6. 3．(确定向量夹角忽略向量的方向)已知等边△ABC的边长为1，则 eq \o(BC,\s\up16(→))· eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))· eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝________________． 答案：－ eq \f(3,2)　解析： eq \o(BC,\s\up16(→))与 eq \o(CA,\s\up16(→))的夹角应是∠ACB的补角，即180°－∠ACB＝120°.又| eq \o(BC,\s\up16(→))|＝| eq \o(CA,\s\up16(→))|＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝1，所以 eq \o(BC,\s\up16(→))· eq \o(CA,\s\up16(→))＝| eq \o(BC,\s\up16(→))|| eq \o(CA,\s\up16(→))|·cos 120°＝－ eq \f(1,2).同理得 eq \o(CA,\s\up16(→))· eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2).故 eq \o(BC,\s\up16(→))· eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(CA,\s\up16(→))· eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝－ eq \f(3,2). 考点一　平面向量的数量积的运算 1．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝3，则a·(a－b)＝(　　) A．8 B．9 C．14 D．23 解析：由|a－2b|＝3，得a2－4a·b＋4b2＝9，即32－4 a·b＋4×12＝9，解得a·b＝1，故a·(a－b)＝a2－a·b＝9－1＝8. 2．(2024·北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　) A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件． 3．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 eq \o(EC,\s\up16(→))· eq \o(ED,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \r(5) B．3 C．2 eq \r(5) D．5 解析：方法一　由题意知， eq \o(EC,\s\up16(→))＝ eq \o(EB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))， eq \o(ED,\s\up16(→))＝ eq \o(EA,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))，所以 eq \o(EC,\s\up16(→))· eq \o(ED,\s\up16(→))＝( eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))·(－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))＝| eq \o(AD,\s\up16(→))|2－ eq \f(1,4)| eq \o(AB,\s\up16(→))|2.由题意知| eq \o(AD,\s\up16(→))|＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2，所以 eq \o(EC,\s\up16(→))· eq \o(ED,\s\up16(→))＝4－1＝3. 方法二　以点A为坐标原点， eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AD,\s\up16(→))的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)， 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则 eq \o(EC,\s\up16(→))＝(1，2)， eq \o(ED,\s\up16(→))＝(－1，2)， eq \o(EC,\s\up16(→))· eq \o(ED,\s\up16(→))＝－1＋4＝3. 解决向量数量积的运算问题的三种方法 (1)当已知向量的长度和夹角时，可利用定义法求解； (2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时，可利用坐标法求解； (3)利用向量数量积的几何意义求解． 考点二　平面向量数量积的应用 考向1　向量模的问题 [例1] (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D．1 (2)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AB＝2，则| eq \o(AM,\s\up16(→))＋ eq \o(BN,\s\up16(→))|＝(　　) A．2 B． eq \r(10) C．4 D．2 eq \r(5) 解析：(1)由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝ eq \f(1,2)，所以|b|＝ eq \f(\r(2),2)，故选B． (2)以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，M(2，1)，N(1，2)，所以 eq \o(AM,\s\up16(→))＝(2，1)， eq \o(BN,\s\up16(→))＝(－1，2)，∴ eq \o(AM,\s\up16(→))＋ eq \o(BN,\s\up16(→))＝(1，3)，因此| eq \o(AM,\s\up16(→))＋ eq \o(BN,\s\up16(→))|＝ eq \r(12＋32)＝ eq \r(10). 求平面向量的模的方法 (1)公式法：利用|a|＝ eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2； (2)几何法：利用向量的几何意义． 考向2　夹角与垂直问题 [例2] (2025·南京金陵中学模拟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(a＋2b)⊥a，则向量a与b的夹角为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 解析：设向量a与b的夹角为θ(θ∈[0，π])，因为(a＋2b)⊥a，所以(a＋2b)·a＝0，所以a2＋2a·b＝0，得|a|2＋2|a||b|cos θ＝0.因为非零向量a，b满足|a|＝|b|，所以cos θ＝－ eq \f(1,2).因为θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(2π,3). 1．求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)；(2)坐标法． 2．两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0). 训练1 (1)(2025·长沙模拟)已知向量a，b满足|a＋b|＝7，且|a|＝3，|b|＝4，则|a－b|＝(　　) A．5 B．3 C．2 D．1 解析：|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝49⇒2a·b＝49－9－16＝24，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋16－24＝1，∴|a－b|＝1. (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ).因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1. (3)(多选)(2025·石嘴山模拟)设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则(　　) A．(a－b)∥b B．(a－b)⊥b C．a与b的夹角为 eq \f(π,4) D．|a|＝|b| 解析：a－b＝(2－1，0－1)＝(1，－1)，(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，故A错误，B正确；cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(2,2\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，〈a，b〉∈[0，π]，则a与b的夹角为 eq \f(π,4)，故C正确；|a|＝2，|b|＝ eq \r(12＋12)＝ eq \r(2)，|a|≠|b|，故D错误． (4)(2025·三明模拟)若向量a，b满足a＝(2，1)，a与a＋b垂直，则b在a上的投影向量为(　　) A．(－2，－1) B．(2，1) C．(－2 eq \r(5)，－ eq \r(5)) D．(2 eq \r(5)， eq \r(5)) 解析：因为a与a＋b垂直，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝0.又a2＝5，所以a·b＝－5，所以b在a上的投影向量为 eq \f(b·a,|a|)· eq \f(a,|a|)＝ eq \f(－5,\r(5))× eq \f(a,\r(5))＝－a＝(－2，－1). 考点三　平面向量数量积的综合问题 [例3] (1)如图，在平面四边形ABCD中，∠CDA＝∠CBA＝90°，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为CD边上的动点，则 eq \o(AE,\s\up16(→))· eq \o(BE,\s\up16(→))的最小值为________________． (2)如图，在△ABC中，cos ∠BAC＝ eq \f(1,4)，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝ eq \f(\r(15),2)，则△ABC的面积的最大值为________________． 答案：(1) eq \f(21,16)　(2) eq \r(15)　解析：(1)以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1，0)，B( eq \f(3,2)， eq \f(\r(3),2))，C(0， eq \r(3))，设点E坐标为(0，t)，则t∈[0， eq \r(3)]， eq \o(AE,\s\up16(→))＝(－1，t)， eq \o(BE,\s\up16(→))＝(－ eq \f(3,2)，t－ eq \f(\r(3),2))，所以 eq \o(AE,\s\up16(→))· eq \o(BE,\s\up16(→))＝(－1，t)·(－ eq \f(3,2)，t－ eq \f(\r(3),2))＝t2－ eq \f(\r(3),2)t＋ eq \f(3,2)＝(t－ eq \f(\r(3),4))2＋ eq \f(21,16)，所以当t＝ eq \f(\r(3),4)时，( eq \o(AE,\s\up16(→))· eq \o(BE,\s\up16(→)))min＝ eq \f(21,16). (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，所以 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→)).又AD＝ eq \f(\r(15),2)，cos ∠BAC＝ eq \f(1,4)，所以 eq \o(AD,\s\up16(→))2＝( eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→)))2＝ eq \f(1,16)c2＋ eq \f(9,16)b2＋ eq \f(3,8)bc cos ∠BAC＝ eq \f(1,16)c2＋ eq \f(9,16)b2＋ eq \f(3,32)bc，则 eq \f(15,4)＝ eq \f(1,16)c2＋ eq \f(9,16)b2＋ eq \f(3,32)bc＝( eq \f(1,4)c)2＋( eq \f(3,4)b)2＋ eq \f(3,32)bc≥2× eq \f(1,4)c· eq \f(3,4)b＋ eq \f(3,32)bc＝ eq \f(15,32)bc，当且仅当 eq \f(1,4)c＝ eq \f(3,4)b，即c＝3b时，等号成立．所以bc≤8.又sin ∠BAC＝ eq \f(\r(15),4)，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)bc sin ∠BAC≤ eq \f(1,2)×8× eq \f(\r(15),4)＝ eq \r(15). 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围). (2)利用基本不等式求最值(范围). (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围). (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 训练2 (1)已知平面向量a，b(a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：因为|a|＝3，且b 与b－a 的夹角为30°，如图所示， 设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(BD,\s\up16(→))＝b－a，由题意知∠ADB＝30°，设∠ABD＝θ，因为|a|＝3，在△ABD中，由正弦定理得 eq \f(AB,sin 30°)＝ eq \f(AD,sin θ)，解得AD＝6sin θ≤6，所以|b|的最大值为6. (2)已知e1，e2为单位向量，满足|e1－e2|＝|2e1－a|＝1，则|a－e2|的最小值为(　　) A． eq \r(3)－1 B． eq \r(3) C． eq \r(7)－1 D． eq \r(7) 解析：设 eq \o(OA,\s\up16(→))＝e1， eq \o(OB,\s\up16(→))＝e2，则|e1－e2|＝| eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))|＝| eq \o(BA,\s\up16(→))|＝1，所以△OAB为等边三角形，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B( eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2)).设C为(2，0)，a＝ eq \o(OM,\s\up16(→))，则|2e1－a|＝| eq \o(OC,\s\up16(→))－ eq \o(OM,\s\up16(→))|＝| eq \o(MC,\s\up16(→))|＝1，所以M在以C为圆心，半径为1的圆上．因为|a－e2|＝| eq \o(OM,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))|＝| eq \o(BM,\s\up16(→))|，所以|a－e2|min＝| eq \o(BM,\s\up16(→))|min＝|BC|－1＝ eq \r(3)－1. $$