第五章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第2节　平面向量基本定理及坐标表示 第五章　平面向量与复数 衔接教材 夯基固本 落实 不共线 不共线 λ1e1＋λ2e2 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 衔接教材 夯基固本 落实 (x2－x1，y2－y1) 衔接教材 夯基固本 落实 x1y2－x2y1＝0 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 A 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(35) 温馨提示 谢谢观看！ 1．理解平面向量基本定理及其意义． 2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 4．能用坐标表示平面向量共线的条件． 一、平面向量基本定理 1．基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝______________． 关于基底向量的三个关注点 (1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． (3)如果对于一组基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.)) 二、平面向量的坐标运算 1．向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______________________，a－b＝____________________________， λa＝_______________________，|a|＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))) . 2．向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \o(AB,\s\up16(→))＝____________________，| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). (1)向量与坐标之间用等号连接． (2)点的坐标，是在表示点的字母后直接加坐标． (3) eq \o(AB,\s\up16(→))是用B点的横、纵坐标分别减去A点的横、纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定． (4)a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. 三、平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔_____________________． 1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然． 2．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． 4．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 eq \f(x1,x2)＝ eq \f(y1,y2)等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 5．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔存在不全为零的x，y∈R，使xa＋yb＝0⇔x1y2－x2y1＝0. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A． “x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B． “x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C． “x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D． “x＝－1＋ eq \r(3)”是“a∥b”的充分条件 追根 溯源 (人教A版必修第二册P60复习参考题6T6)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，c＝(－1，0)，求满足c＝λa＋μb的λ和μ的值 发现 感悟 在高考中，向量坐标运算常与向量数量积、向量共线结合考查．高考试题与教材习题的题目条件、考查角度完全相同，都是应用向量共线求参数，属于容易题 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第二册P29例4改编)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　　) A．(1，2) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，－2) 2.(人教B版必修第二册P154例6改编)如图， eq \o(AB,\s\up16(→))＝2 eq \o(CA,\s\up16(→))， eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b， eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则下列等式成立的是(　　) A．c＝ eq \f(3,2)b－ eq \f(1,2)a B．c＝ eq \f(3,2)a－ eq \f(1,2)b C．c＝2a－b D．c＝2b－a 3．(苏教版必修第二册P40T1改编)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________________． 答案： eq \f(8,5)　解析：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，所以λ＝ eq \f(8,5). 4．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________． 答案：(1，5)　解析：设D的坐标为(x，y)，则 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))，得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))即D的坐标为(1，5). 三、易误易混澄清 1．(忽视平面向量基本定理的成立条件)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．a＝(0，0)，b＝(1，－2) B．a＝(－1，2)，b＝(5，7) C．a＝(3，5)，b＝(6，10) D．a＝(2，－3)，b＝(4，－6) 2．(求点的坐标时，忽视分类讨论)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2| eq \o(AP,\s\up16(→))|，则点P的坐标为(　　) A．(3，1) B．(1，－1) C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1) 解析：∵A为(2，0)，B为(4，2)，∴ eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，2).∵点P在直线AB上，且| eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2| eq \o(AP,\s\up16(→))|，∴ eq \o(AB,\s\up16(→))＝2 eq \o(AP,\s\up16(→))或 eq \o(AB,\s\up16(→))＝－2 eq \o(AP,\s\up16(→))，故 eq \o(AP,\s\up16(→))＝(1，1)或 eq \o(AP,\s\up16(→))＝(－1，－1)，故P点坐标为(3，1)或(1，－1). 考点一　平面向量基本定理的应用 [例1] (1)(2025·广州模拟)在▱ABCD中，G为△ABC的重心，且 eq \o(AG,\s\up16(→))＝x eq \o(AB,\s\up16(→))＋y eq \o(AD,\s\up16(→))(x，y∈R)，则x＋2y＝(　　) A． eq \f(4,3) B． eq \f(5,3) C．0 D．－1 (2)如图，在△ABG中，已知 eq \o(BE,\s\up16(→))＝ eq \f(3,8) eq \o(BG,\s\up16(→))， eq \o(AF,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AG,\s\up16(→))，AE与BF交于点O，则 eq \o(AO,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \f(2,7) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BG,\s\up16(→)) B． eq \f(4,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,10) eq \o(BG,\s\up16(→)) C． eq \f(4,7) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,14) eq \o(BG,\s\up16(→)) D． eq \f(3,14) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(4,7) eq \o(BG,\s\up16(→)) 解析：(1)设AC与BD相交于点O，则O为AC，BD的中点．因为G为△ABC的重心，所以 eq \o(BG,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(BO,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3)× eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))，所以 eq \o(AG,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BG,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3)( eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))＝ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→)).又 eq \o(AG,\s\up16(→))＝x eq \o(AB,\s\up16(→))＋y eq \o(AD,\s\up16(→))，所以x＝ eq \f(2,3)，y＝ eq \f(1,3)，所以x＋2y＝ eq \f(2,3)＋2× eq \f(1,3)＝ eq \f(4,3). (2)如图，过点E作直线EH∥BF交AG于点H， 因为 eq \o(BE,\s\up16(→))＝ eq \f(3,8) eq \o(BG,\s\up16(→))，所以 eq \f(FH,HG)＝ eq \f(BE,EG)＝ eq \f(3,5).设AF＝1，因为 eq \o(AF,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AG,\s\up16(→))，所以FG＝2，所以FH＝2× eq \f(3,8)＝ eq \f(3,4).因为EH∥BF，所以 eq \f(AO,AE)＝ eq \f(AF,AH)＝ eq \f(1,1＋\f(3,4))＝ eq \f(4,7)，所以 eq \o(AO,\s\up16(→))＝ eq \f(4,7) eq \o(AE,\s\up16(→))＝ eq \f(4,7)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BE,\s\up16(→)))＝ eq \f(4,7)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,8) eq \o(BG,\s\up16(→)))＝ eq \f(4,7) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,14) eq \o(BG,\s\up16(→)). 平面向量基本定理解决问题的思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决问题． 训练1 (1)(2025·鹰潭一模)在△ABC中，D为线段BC上一点，且 eq \o(BD,\s\up16(→))＝3 eq \o(DC,\s\up16(→))， eq \o(AD,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋n eq \o(AC,\s\up16(→))，则m－n＝(　　) A．2 B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,2) D．－2 解析：由题意得 eq \o(BD,\s\up16(→))＝3 eq \o(DC,\s\up16(→))，故 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,4)( eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→)).结合 eq \o(AD,\s\up16(→))＝m eq \o(AB,\s\up16(→))＋n eq \o(AC,\s\up16(→))可得m＝ eq \f(1,4)，n＝ eq \f(3,4)，故m－n＝－ eq \f(1,2). (2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且 eq \o(AE,\s\up16(→))＝2 eq \o(EO,\s\up16(→))，则 eq \o(ED,\s\up16(→))等于(　　) A． eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) B． eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) C． eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) D． eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，且 eq \o(AE,\s\up16(→))＝2 eq \o(EO,\s\up16(→))，所以 eq \o(EA,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，所以 eq \o(ED,\s\up16(→))＝ eq \o(EA,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,3)( eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→)))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)). 考点二　平面向量的坐标运算 [例2] (1)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且| eq \o(AP,\s\up16(→))|＝2| eq \o(PB,\s\up16(→))|，则点P的坐标为(　　) A．(0，9) B．(6，－9) C．( eq \f(10,3)，－1) D．(6，－9)或( eq \f(10,3)，－1) (2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点．若 eq \o(CA,\s\up16(→))＝λ eq \o(CE,\s\up16(→))＋μ eq \o(DB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A． eq \f(6,5) B． eq \f(8,5) C．2 D． eq \f(8,3) 解析：(1)由题意得，点B为AP中点，设点P(x，y)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,2)＝4，,\f(y＋3,2)＝－3，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－9，))所以点P的坐标为(6，－9). (2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0). 不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴ eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－2，2)， eq \o(CE,\s\up16(→))＝(－2，1)， eq \o(DB,\s\up16(→))＝(1，2).∵ eq \o(CA,\s\up16(→))＝λ eq \o(CE,\s\up16(→))＋μ eq \o(DB,\s\up16(→))， ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝ eq \f(8,5). 平面向量坐标运算的策略 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等则当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解． (2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 训练2 (1)(2025·滁州模拟)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若c＝ma＋nb，则m＋n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意，得c＝(2m＋n，－3m＋2n)＝(9，4)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,－3m＋2n＝4，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))所以m＋n＝7. (2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b 解析：如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，所以a＝(1，1)，b＝(－2，3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－2，))所以c＝3a－2b. 考点三　平面向量共线的坐标表示 [例3] (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2) (2)已知O为坐标原点，P1P＝－2PP2．若P1(1，2)，P2(2，－1)，则与 eq \o(OP,\s\up16(→))共线的单位向量为(　　) A．(3，－4) B．(3，－4)或(－3，4) C．( eq \f(3,5)，－ eq \f(4,5))或(－ eq \f(3,5)， eq \f(4,5)) D．( eq \f(3,5)，－ eq \f(4,5)) 解析：(1)∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，∴2a＋b＝(4，2)，又c＝(m，－1)，c∥(2a＋b)，∴2m＋4＝0，解得m＝－2. (2)由 eq \o(P1P,\s\up16(→))＝－2 eq \o(PP2,\s\up16(→))得 eq \o(P1P,\s\up16(→))＋2 eq \o(PP2,\s\up16(→))＝0，即 eq \o(P1P2,\s\up16(→))＋ eq \o(PP2,\s\up16(→))＝0， eq \o(P1P2,\s\up16(→))＝ eq \o(P2P,\s\up16(→))， eq \o(OP2,\s\up16(→))－ eq \o(OP1,\s\up16(→))＝ eq \o(OP,\s\up16(→))－ eq \o(OP2,\s\up16(→))， eq \o(OP,\s\up16(→))＝2 eq \o(OP2,\s\up16(→))－ eq \o(OP1,\s\up16(→))＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，| eq \o(OP,\s\up16(→))|＝ eq \r(32＋（－4）2)＝5，与 eq \o(OP,\s\up16(→))同向的单位向量为 eq \f(\o(OP,\s\up16(→)),|\o(OP,\s\up16(→))|)＝( eq \f(3,5)，－ eq \f(4,5))，反向的单位向量为(－ eq \f(3,5)， eq \f(4,5)). 1．向量共线的2种表示形式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)a∥b⇒a＝λb(b≠0，λ为实数)； (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况下会涉及坐标的应用． 2．两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值． 训练3 (1)已知向量a＝(－3，2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为(　　) A． eq \f(2,3) B． eq \f(4,3) C． eq \f(7,4) D． eq \f(7,5) 解析：由已知得a＋2b＝(5，2－4λ)，a－b＝(－7，2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝ eq \f(4,3). (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝ eq \f(π,3)，若m＝(c－ eq \r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋ eq \r(6))，且m∥n，则△ABC的面积为(　　) A．3 B． eq \f(9\r(3),2) C． eq \f(3\r(3),2) D．3 eq \r(3) 解析：∵m＝(c－ eq \r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋ eq \r(6))，且m∥n，∴(a－b)2＝(c－ eq \r(6))(c＋ eq \r(6))，即a2＋b2－c2＝2ab－6，∴cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(2ab－6,2ab)＝ eq \f(1,2)，解得ab＝6，∴S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)×6× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),2). $$