第五章 第1节 视野拓展4 等和(高)线定理（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第1节　平面向量的概念与线性运算 视野拓展4——等和(高)线定理 第五章　平面向量与复数 衔接教材 夯基固本 落实 请完成：课时训练(34) 温馨提示 谢谢观看！ (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若 eq \o(OP,\s\up16(→))＝λ eq \o(OA,\s\up16(→))＋μ eq \o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由于△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得 eq \o(OP′,\s\up16(→))＝k eq \o(OP,\s\up16(→))，则 eq \o(OP′,\s\up16(→))＝k eq \o(OP,\s\up16(→))＝kλ eq \o(OA,\s\up16(→))＋kμ eq \o(OB,\s\up16(→)).又 eq \o(OP′,\s\up16(→))＝x eq \o(OA,\s\up16(→))＋y eq \o(OB,\s\up16(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立． (2)平面内一组基底 eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))及任一向量 eq \o(OP′,\s\up16(→))， eq \o(OP′,\s\up16(→))＝λ eq \o(OA,\s\up16(→))＋μ eq \o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． [例] 给定两个长度为1的平面向量 eq \o(OA,\s\up16(→))和 eq \o(OB,\s\up16(→))，它们的夹角为 120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若 eq \o(OC,\s\up16(→))＝x eq \o(OA,\s\up16(→))＋y eq \o(OB,\s\up16(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________________． 答案：2　解析：方法一　由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略). 其中A(1，0)，B(－ eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2))，C(cos θ，sin θ) (其中∠AOC＝θ，0≤θ≤ eq \f(2π,3)). 则有 eq \o(OC,\s\up16(→))＝(cos θ，sin θ)＝x(1，0)＋y(－ eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2))， 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝cos θ，,\f(\r(3),2)y＝sin θ，))得x＝ eq \f(\r(3),3)sin θ＋cos θ，y＝ eq \f(2\r(3),3)sin θ， x＋y＝ eq \f(\r(3),3)sin θ＋cos θ＋ eq \f(2\r(3),3)sin θ＝ eq \r(3)sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋ eq \f(π,6))，其中0≤θ≤ eq \f(2π,3)，所以θ＋ eq \f(π,6)∈[ eq \f(π,6)， eq \f(5π,6)]，所以(x＋y)max＝2， 当且仅当θ＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)，即θ＝ eq \f(π,3)时取得最大值2. 方法二　如图，连接AB交OC于点D， 设 eq \o(OD,\s\up16(→))＝t eq \o(OC,\s\up16(→))，由于 eq \o(OC,\s\up16(→))＝x eq \o(OA,\s\up16(→))＋y eq \o(OB,\s\up16(→))，所以 eq \o(OD,\s\up16(→))＝t(x eq \o(OA,\s\up16(→))＋y eq \o(OB,\s\up16(→))).因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝ eq \f(1,t).由于| eq \o(OD,\s\up16(→))|＝ t| eq \o(OC,\s\up16(→))|＝t，当OD⊥AB时，t取到最小值 eq \f(1,2)；当点D与点A或点B重合时，t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2. 方法三(等和线法)　连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以 eq \o(OA,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))为基底的平面向量基本定理系数的等和线，设l与圆弧相切于C1，OC1与AB交于点D，根据等和线定理，OC1＝kOD，显然此时定值最大． 因为∠AOB＝120°，所以OC1＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))，所以x＋y的最大值为2. 训练 如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若 eq \o(AM,\s\up16(→))＝λ eq \o(AB,\s\up16(→))＋μ eq \o(AC,\s\up16(→))，则λ＋μ＝________________． 答案： eq \f(1,2)　解析：由等和线定理可知λ＋μ＝ eq \f(AM,AH)＝ eq \f(1,2). $$