第四章 第6节 微点突破8 解三角形中三大定理的应用（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第6节　正弦定理、余弦定理 微点突破8　解三角形中三大定理的应用 第四章　三角函数与解三角形 衔接教材 夯基固本 落实 A A C ACD 请完成：课时训练(31) 温馨提示 谢谢观看！ 定理一　射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A． [例1] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A 解析：方法一　因为sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，所以sin B＋2sin B cos C＝sin A cos C＋sin (A＋C)，所以sin B＋2sin B cos C＝sin A cos C＋sin B，即cos C(2sin B－sin A)＝0，所以cos C＝0或2sin B＝sin A，即C＝90°或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a. 方法二　由正弦和余弦定理得b(1＋ eq \f(a2＋b2－c2,ab))＝2a× eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c× eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，所以2b2(1＋ eq \f(a2＋b2－c2,ab))＝a2＋3b2－c2，即 eq \f(2b,a)(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，即(a2＋b2－c2)·( eq \f(2b,a)－1)＝0，所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a. 方法三　由正弦定理及射影定理，得b＋2b cos C＝2a cos C＋c cos A＝a cos C＋(a cos C＋c cos A)＝a cos C＋b，即2b cos C＝a cos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a. 训练1 (2025·河南名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a cos C＋b＝2c cos A，c＝ eq \r(3)a，则A＝(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(2π,3) 解析：方法一　已知c＝ eq \r(3)a，由正弦定理得sin C＝ eq \r(3)sin A，所以sin2C＝3sin2A，所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A． 由2a cosC＋b＝2c cos A，得2sin A cos C＋sin B＝2sin C cos A，2sin A cos C＋sin (A＋C)＝2sin C cos A，3sin A cos C＝sin C cos A，则9sin2A cos2C＝sin2C cos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，由sinA≠0，解得sin A＝± eq \f(1,2).又0＜A＜π，且A<C，所以A＝ eq \f(π,6). 方法二　由射影定理，得b＝a cos C＋c cos A代入2a cos C＋b＝2c cos A，得3a cos C＝c cos A，又c＝ eq \r(3)a，所以 eq \f(\r(3),3)cos A＝cos C　①，由c＝ eq \r(3)a及正弦定理得 eq \r(3)sin A＝sin C　②，①2＋②2，可得 eq \f(1,3)cos2A＋3sin2A＝1，即sinA＝ eq \f(1,2)，又由①得A∈(0， eq \f(π,2))，故A＝ eq \f(π,6). 定理二　角平分线定理 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若AD是∠BAC的平分线，D在BC上，则有 eq \f(AB,AC)＝ eq \f(BD,CD). [例2] (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ eq \r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________________． 答案：2　解析：方法一　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC，即( eq \r(6))2＝22＋AC2－2×2×AC× cos 60°，即AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋ eq \r(3)或AC＝1－ eq \r(3)(舍).由于AD平分∠BAC，且∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°. ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴ eq \f(1,2)×2×( eq \r(3)＋1)× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(1,2)×2×AD× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)×( eq \r(3)＋1)×AD× eq \f(1,2)，即 eq \r(3)×( eq \r(3)＋1)＝AD＋ eq \f(\r(3)＋1,2)AD，解得AD＝2. 方法二　在△ABC中，由正弦定理得 eq \f(AB,sin C)＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)，即 eq \f(2,sin C)＝ eq \f(\r(6),sin 60°)，得sin C＝ eq \f(\r(2),2).又知0°＜C＜120°，∴C＝45°，∴B＝75°.在△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°－30°－75°＝75°， ∴△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB． 又AB＝2，∴AD＝2. 训练2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝ eq \r(3)，a＝3b，则c的值为(　　) A．3 B． eq \f(7,2) C． eq \f(4\r(7),3) D．2 eq \r(3) 解析：如图，在△ABC中，由角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，则C＝ eq \f(π,3)， 所以∠ACD＝∠BCD＝ eq \f(π,6)，由CD＝ eq \r(3)，a＝3b，所以 eq \f(CA,CB)＝ eq \f(AD,DB)＝ eq \f(1,3)，在△ACD和△BCD中，由余弦定理得AD2＝b2＋3－2b× eq \r(3)cos 30°＝b2－3b＋3，DB2＝(3b)2＋3－2×3b× eq \r(3)cos 30°＝9b2－9b＋3，故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)，解得b＝ eq \f(4,3)，故a＝4.在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝16＋ eq \f(16,9)－2×4× eq \f(4,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(112,9)， 故c＝ eq \f(4\r(7),3). 定理三　中线定理 在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝ eq \f(1,2)(AB2＋AC2)－ eq \f(1,4)BC2. [例3] (2025·长沙模拟)在△ABC中，b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C． (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD＝2 eq \r(3)，且S△ABC＝2 eq \r(3)，求△ABC的周长． 解：(1)由b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2， 由余弦定理得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－ eq \f(1,2)， 在△ABC中，因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(2π,3). (2)由S△ABC＝ eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(\r(3),4)bc＝2 eq \r(3)，得bc＝8　①， 由(1)知b2＝a2－bc－c2，即b2＋c2＝a2－8　②， 在△ABD中，由余弦定理得 c2＝( eq \f(a,2))2＋(2 eq \r(3))2－2·2 eq \r(3)· eq \f(a,2)·cos ∠ADB， 在△ADC中，由余弦定理得 b2＝( eq \f(a,2))2＋(2 eq \r(3))2－2·2 eq \r(3)· eq \f(a,2)·cos ∠ADC， 因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 所以b2＋c2＝ eq \f(a2,2)＋24　③， 由①②③，得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8， 所以b＋c＝ eq \r(（b＋c）2)＝ eq \r(b2＋c2＋2bc)＝ eq \r(72)＝6 eq \r(2)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6 eq \r(2). 训练3 (多选)(2025·南京调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C，b＝2 eq \r(3)，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　 　) A．A＝ eq \f(π,3) B．A＝ eq \f(π,6) C． eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝6 D．△ABC的面积为3 eq \r(3) 解析：由(2b－c)cos A＝a cos C，得2sin B·cos A－sin C cos A＝sin A cos C，得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，因此2cos A＝1，得cos A＝ eq \f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3)，A正确，B错误；因为AD是中线，所以由 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→)))，得4 eq \o(AD,\s\up16(→))2＝ eq \o(AB,\s\up16(→))2＋ eq \o(AC,\s\up16(→))2＋2 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))，得36＝c2＋12＋2×2 eq \r(3)× eq \f(1,2)c，得c＝2 eq \r(3)或c＝－4 eq \r(3)(舍去)，因此 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝2 eq \r(3)×2 eq \r(3)× eq \f(1,2)＝6，C正确；S△ABC＝ eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(3)×2 eq \r(3)× eq \f(\r(3),2)＝3 eq \r(3)，D正确． $$