第四章 第6节 第一课时 正弦定理、余弦定理（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第6节　正弦定理、余弦定理 第四章　三角函数与解三角形 衔接教材 夯基固本 落实 b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 衔接教材 夯基固本 落实 sin A∶sin B∶sin C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 谢谢观看！ 1．掌握正弦定理、余弦定理．(重点) 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．(热点) 一、余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝_________________________； b2＝_________________________； c2＝_________________________ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R 定理 余弦定理 正弦定理 变形 cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)； cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) (1)a＝2R sin A， b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝___________________； 定理 余弦定理 正弦定理 变形 (3) eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝ eq \f(a,sin A)＝2R 二、三角形常用面积公式 1．S＝ eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高). 2．S＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(1,2)bc sin A． 3．S＝ eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). (1)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B． (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝ eq \f(π,3)，A＋C＝ eq \f(2π,3). (4)有关三角形内角的三角函数关系式： sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin eq \f(A＋B,2)＝cos eq \f(C,2)；cos eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2). (5)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C． (6)合分比： eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ eq \f(a＋b,sin A＋sin B)＝ eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝ eq \f(a＋c,sin A＋sin C)＝ eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝ eq \r(6)，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝____________ 追根 溯源 (人教B版必修第四册P20 T7)已知AD是△ABC的角平分线，且AC＝2，AB＝3，A＝60°，求AD的长 发现 感悟 两题的考查角度、考查方式完全一样，只是修改了数值．求三角形角平分线的长度要恰当地利用正、余弦定理解决，此外高考题可利用角平分线定理求解，这说明平时要激发考生运用创新思维、多角度分析解决问题的能力 二、教材典题改编 1．(苏教版必修第二册P114T7)在△ABC中，若 eq \f(sin2B＋sin2C,sin2A)＝1，则A＝(　　) A．150° B．120° C．90° D．60° 2．(人教A版必修第二册P44T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(9＋25－49,30)＝－ eq \f(1,2).因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝ eq \f(2π,3). 3．[人教A版必修第二册P48T2(2)改编]在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝________________. 答案： eq \r(2)＋ eq \f(\r(6),3)　解析：B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得 eq \f(2,sin 60°)＝ eq \f(c,sin 75°)，得c＝ eq \r(2)＋ eq \f(\r(6),3). 三、易误易混澄清 1．(判断三角形形状时考虑不全)已知△ABC中，三个内角A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：由sin 2A＝sin 2B，得2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2). 2．(忽视对角的讨论)在△ABC中，已知B＝30°，b＝ eq \r(2)，c＝2，则C＝________________． 答案：45°或135°　解析：由正弦定理得sin C＝ eq \f(c sin B,b)＝ eq \f(2sin 30°,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°. 第一课时　正弦定理、余弦定理的简单应用 考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1] (1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝ eq \f(π,5)，则B＝(　　) A． eq \f(π,10) B． eq \f(π,5) C． eq \f(3π,10) D． eq \f(2π,5) (2)(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ eq \f(9,4)ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． eq \f(3,2) B． eq \r(2) C． eq \f(\r(7),2) D． eq \f(\r(3),2) 解析：(1)因为a cos B－b cos A＝c，所以由正弦定理得sin A cos B－sin B cos A＝sin C＝sin (B＋A)，则2sin B cos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝ eq \f(π,2).所以B＝π－A－C＝π－ eq \f(π,2)－ eq \f(π,5)＝ eq \f(3π,10). (2)因为B＝ eq \f(π,3)，b2＝ eq \f(9,4)ac，则由正弦定理得sin A sin C＝ eq \f(4,9)sin2B＝ eq \f(1,3).由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ eq \f(9,4)ac，即a2＋c2＝ eq \f(13,4)ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝ eq \f(13,4)sinA sin C＝ eq \f(13,12)，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝ eq \f(7,4)，因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0，则sin A＋sin C＝ eq \f(\r(7),2). 利用正、余弦定理解三角形的策略 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 训练1 (1)(2024·成都诊断)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a tan B＝ eq \f(20,3)，b sin A＝4，则a的值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，则b sin A＝a sin B＝4，又a tan B＝ eq \f(20,3)，所以cos B＝ eq \f(3,5)，则sin B＝ eq \f(4,5)，所以a＝5. (2)(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 解析：由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R(R为三角形ABC外接圆半径)可得sin A＝ eq \f(a,2R)，sin B＝ eq \f(b,2R)，sin C＝ eq \f(c,2R)，∴(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)可化为(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(ab,2ab)＝ eq \f(1,2).又C∈(0，π)，∴C＝ eq \f(π,3). 考点二　判断三角形的形状 [例2] (1)在△ABC中，若 eq \f(cos A,cos B)＝ eq \f(b,a)＝ eq \f(4,3)，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形 (2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则该三角形的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：(1)∵ eq \f(cos A,cos B)＝ eq \f(b,a)＝ eq \f(4,3)＝ eq \f(sin B,sin A)， ∴sin A·cos A＝sin B·cos B，∴sin 2A＝sin 2B． ∵ eq \f(b,a)＝ eq \f(4,3)，∴a≠b，∴2A＋2B＝π，∴A＋B＝ eq \f(π,2)，∴C＝ eq \f(π,2). (2)∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C＝ eq \f(π,3).由2cos A sin B＝sin C，得cos A＝ eq \f(sin C,2sin B)＝ eq \f(c,2b)＝ eq \f(c2＋b2－a2,2bc)，∴b2＝a2，即b＝a，又C＝ eq \f(π,3)，∴该三角形为等边三角形． 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 训练2 △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2 eq \f(A,2)＋ eq \f(b,2c)＝ eq \f(1,2)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：∵sin2 eq \f(A,2)＋ eq \f(b,2c)＝ eq \f(1,2)，∴ eq \f(1－cosA,2)＝ eq \f(1,2)－ eq \f(b,2c)， ∴cos A＝ eq \f(b,c).∵cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(b,c)，∴b2＋c2－a2＝2b2，∴b2＋a2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. 考点三　三角形的周长、面积问题 [例3] (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝ eq \r(2)cos B，a2＋b2－c2＝ eq \r(2)ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋ eq \r(3)，求c. 解：(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 已知a2＋b2－c2＝ eq \r(2)ab， 可得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝ eq \f(\r(2)ab,2ab)＝ eq \f(\r(2),2)， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C＝ eq \r(1－cos2C)＝ eq \r(1－（\f(\r(2),2)）2)＝ eq \f(\r(2),2)， 又sinC＝ eq \r(2)cos B，即cos B＝ eq \f(1,2)， 注意到B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,3). (2)由(1)可得B＝ eq \f(π,3)，cos C＝ eq \f(\r(2),2)，C∈(0，π)， 从而C＝ eq \f(π,4)，A＝π－ eq \f(π,3)－ eq \f(π,4)＝ eq \f(5π,12)， 而sin A＝sin eq \f(5π,12)＝sin ( eq \f(π,4)＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(\r(2),2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)， 由正弦定理得 eq \f(a,sin \f(5π,12))＝ eq \f(b,sin \f(π,3))＝ eq \f(c,sin \f(π,4))， 从而a＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4)· eq \r(2)c＝ eq \f(\r(3)＋1,2)c，b＝ eq \f(\r(3),2)· eq \r(2)c＝ eq \f(\r(6),2)c， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)· eq \f(\r(3)＋1,2)c· eq \f(\r(6),2)c· eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(3＋\r(3),8)c2， 由△ABC的面积为3＋ eq \r(3)，可得 eq \f(3＋\r(3),8)c2＝3＋ eq \r(3)，所以c＝2 eq \r(2). 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(1,2)bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 训练3 (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋ eq \r(3)cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2， eq \r(2)b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 解：(1)由sin A＋ eq \r(3)cos A＝2可得 eq \f(1,2)sin A＋ eq \f(\r(3),2)cos A＝1， 即sin (A＋ eq \f(π,3))＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋ eq \f(π,3)∈( eq \f(π,3)， eq \f(4π,3))，故A＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)，解得A＝ eq \f(π,6). (2)由题设条件和正弦定理， 可得 eq \r(2)b sin C＝c sin 2B⇔ eq \r(2)sin B sin C＝2sin C·sin B cos B， 又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，进而cos B＝ eq \f(\r(2),2)， 得到B＝ eq \f(π,4)，于是C＝π－A－B＝ eq \f(7π,12)， sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4)， 由正弦定理可得， eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)， 即 eq \f(2,sin \f(π,6))＝ eq \f(b,sin \f(π,4))＝ eq \f(c,sin \f(7π,12))，解得b＝2 eq \r(2)，c＝ eq \r(6)＋ eq \r(2)， 故△ABC的周长为2＋ eq \r(6)＋3 eq \r(2). $$