第四章 第4节 第二课时 三角函数的奇偶性、周期性及对称性（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第4节　三角函数的图象与性质 第二课时　三角函数的奇偶性、周期性及对称性 第四章　三角函数与解三角形 B 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 ABC 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 AD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(29) 温馨提示 谢谢观看！ 考点一　三角函数的奇偶性 [例1] (1)已知函数f(x)＝cos x－2cos2( eq \f(π,4)－ eq \f(x,2))＋1，则下列说法正确的是(　　) A． y＝f(x－ eq \f(π,4))为奇函数 B． y＝f(x－ eq \f(π,4))为偶函数 C． y＝f(x＋ eq \f(π,4))－1为奇函数 D． y＝f(x＋ eq \f(π,4))－1为偶函数 (2)函数f(x)＝3sin(2x－ eq \f(π,3)＋φ)，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(5π,6) D． eq \f(2π,3) 解析：(1)f(x)＝cos x－2cos2( eq \f(π,4)－ eq \f(x,2))＋1＝cosx－2× eq \f(1＋cos （\f(π,2)－x）,2)＋1＝cos x－sin x＝ eq \r(2)cos (x＋ eq \f(π,4)).f(x－ eq \f(π,4))＝ eq \r(2)cos [(x－ eq \f(π,4))＋ eq \f(π,4)]＝ eq \r(2)cos x，所以y＝f(x－ eq \f(π,4))为偶函数，故A错误，B正确；y＝f(x＋ eq \f(π,4))－1＝ eq \r(2)cos (x＋ eq \f(π,2))－1＝－ eq \r(2)sin x－1，所以函数y＝f(x＋ eq \f(π,4))－1为非奇非偶函数，故CD错误． (2)因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin (2x－ eq \f(π,3)＋φ)是偶函数．所以－ eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，所以φ＝kπ＋ eq \f(5π,6)，k∈Z.因为φ∈(0，π)，所以φ＝ eq \f(5π,6). 判断三角函数奇偶性的方法 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 训练1 (2024·沧州模拟)若函数f(x)＝cos (2x＋ eq \f(π,6)＋φ)(φ>0)为奇函数，则φ的最小值为________________. 答案： eq \f(π,3)　解析：因为函数f(x)＝cos (2x＋ eq \f(π,6)＋φ)(φ>0)为R上的奇函数，所以f(0)＝cos ( eq \f(π,6)＋φ)＝0，所以 eq \f(π,6)＋φ＝ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以φ＝ eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为 eq \f(π,3). 考点二　三角函数的周期性 [例2] (1)(2025·八省高考综合改革适应性演练)函数f(x)＝cos (x＋ eq \f(π,4))的最小正周期是(　　) A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2) C． π D．2π (2)(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为 eq \f(π,2)，则ω＝(　　) A． 1 B．2 C． 3 D．4 解析：(1)依题意，f(x)的最小正周期T＝ eq \f(2π,1)＝2π. (2)由题意可知，x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点，则|x1－x2|min＝ eq \f(T,2)＝ eq \f(π,2)，即T＝π，且ω>0，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝2. 1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(y＝A cos (ωx＋φ))的最小正周期T＝ eq \f(2π,|ω|)，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝ eq \f(π,|ω|). (3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 2．有关周期的2个结论 (1)函数y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|，y＝|A tan (ωx＋φ)|的最小正周期均为T＝ eq \f(π,|ω|). (2)函数y＝|A sin (ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|A cos (ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝ eq \f(2π,|ω|). 训练2 (1)(多选)下列函数最小正周期为π的是(　 　) A． y＝cos |2x| B． y＝|cos x| C． y＝cos (2x＋ eq \f(π,6)) D． y＝tan (2x－ eq \f(π,4)) 解析：对于A，y＝cos |2x|＝cos 2x，其最小正周期为π；对于B，结合图象，知y＝|cos x|的最小正周期为π； 对于C，y＝cos (2x＋ eq \f(π,6))的最小正周期T＝ eq \f(2π,2)＝π；对于D，y＝tan (2x－ eq \f(π,4))的最小正周期T＝ eq \f(π,2). (2)(2025·滨州模拟)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝ eq \f(\r(3),2)，x＝ eq \f(π,9)为f(x)的零点，则ω的最小值为________________． 答案：3　解析：因为f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，所以最小正周期T＝ eq \f(2π,ω)，因为f(T)＝cos (ω· eq \f(2π,ω)＋φ)＝cos (2π＋φ)＝cos φ＝ eq \f(\r(3),2)，0<φ<π，所以φ＝ eq \f(π,6)，即f(x)＝cos (ωx＋ eq \f(π,6)).又x＝ eq \f(π,9)为f(x)的零点，所以 eq \f(π,9)ω＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z，因为ω>0，所以ωmin＝3. 考点三　三角函数的对称性 [例3] (2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,4))＋b(ω>0)的最小正周期为T，若 eq \f(2π,3)<T<π，且y＝f(x)的图象关于点( eq \f(3π,2)，2)中心对称，则f( eq \f(π,2))＝(　　) A． 1 B． eq \f(3,2) C． eq \f(5,2) D．3 解析：因为 eq \f(2π,3)<T<π，即 eq \f(2π,3)< eq \f(2π,ω)<π，又ω>0，所以2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点( eq \f(3π,2)，2)中心对称，所以b＝2，且ω× eq \f(3π,2)＋ eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，解得ω＝ eq \f(2,3)(k－ eq \f(1,4))，k∈Z.又2<ω<3，所以k＝4，ω＝ eq \f(5,2)，所以f(x)＝sin ( eq \f(5,2)x＋ eq \f(π,4))＋2，所以f( eq \f(π,2))＝sin eq \f(3π,2)＋2＝1. 三角函数对称性问题的2种求解方法 定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点 公式法 函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴为直线x＝ eq \f(kπ,ω)－ eq \f(φ,ω)＋ eq \f(π,2ω)，对称中心为( eq \f(kπ,ω)－ eq \f(φ,ω)，0)；函数y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴为直线x＝ eq \f(kπ,ω)－ eq \f(φ,ω)，对称中心为( eq \f(kπ,ω)－ eq \f(φ,ω)＋ eq \f(π,2ω)，0)；函数y＝A tan (ωx＋φ)的对称中心为( eq \f(kπ,2ω)－ eq \f(φ,ω)，0)，上述k∈Z 训练3 (1)记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为T.若π<T<4π，且点( eq \f(π,2)，0)和直线x＝ eq \f(3π,2)分别是f(x)图象的对称中心和对称轴，则T＝(　　) A． eq \f(4π,3) B． eq \f(5π,3) C． eq \f(8π,3) D． eq \f(10π,3) 解析：∵点( eq \f(π,2)，0)和直线x＝ eq \f(3π,2)分别是f(x)图象的对称中心和对称轴，∴ eq \f(T,4)＋k· eq \f(T,2)＝ eq \f(3π,2)－ eq \f(π,2)＝π(k∈N*)，得T＝ eq \f(4π,2k＋1)(k∈N*)，∵π<T<4π，∴k＝1，T＝ eq \f(4π,3). (2)(2025·沧州模拟)已知函数f(x)＝cos (ωx＋ eq \f(3π,4))(ω>0)的图象关于直线x＝ eq \f(π,6)对称，当f(x)的最小正周期取得最大值时，f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为(　　) A． ( eq \f(π,3)，0) B．( eq \f(π,12)，0) C． (－ eq \f(π,12)，0) D．(－ eq \f(π,6)，0) 解析：由已知得 eq \f(π,6)ω＋ eq \f(3π,4)＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k－ eq \f(9,2)(k∈Z)，当k＝1时，ω最小，且为 eq \f(3,2)，则T最大，此时f(x)＝cos ( eq \f(3,2)x＋ eq \f(3π,4))，其对称中心的横坐标为x＝ eq \f(2kπ,3)－ eq \f(π,6)(k∈Z)，当k＝0时，x＝－ eq \f(π,6)，当k＝1时，x＝ eq \f(π,2)，函数f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为(－ eq \f(π,6)，0). (3)(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(　　) A． 函数f(x)的最小正周期为π B． 点(－ eq \f(π,8)，0)是y＝f(x)图象的对称中心 C． 点( eq \f(π,8)， eq \f(1,2))是y＝f(x)图象的对称中心 D． 直线x＝ eq \f(5π,8)是y＝f(x)图象的对称轴 解析：f(x)＝sin x(sin x－cos x)＝sin2x－sinx cos x＝ eq \f(1－cos 2x,2)－ eq \f(1,2)sin 2x＝－ eq \f(\r(2),2)sin (2x＋ eq \f(π,4))＋ eq \f(1,2)，T＝ eq \f(2π,2)＝π，故A正确；当x＝－ eq \f(π,8)时，2x＋ eq \f(π,4)＝0，此时sin (2x＋ eq \f(π,4))＝0，则函数关于点(－ eq \f(π,8)， eq \f(1,2))对称，故B错误；当x＝ eq \f(π,8)时，2x＋ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,2)，此时sin (2x＋ eq \f(π,4))＝1，则函数关于直线x＝ eq \f(π,8)对称，故C错误；当x＝ eq \f(5π,8)时，2x＋ eq \f(π,4)＝ eq \f(3π,2)，此时sin (2x＋ eq \f(π,4))＝－1，则函数关于直线x＝ eq \f(5π,8)对称，故D正确． $$