第四章 第3节 第一课时 两角和与差及二倍角的三角函数公式（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第3节　三角恒等变换 第四章　三角函数与解三角形 衔接教材 夯基固本 落实 cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(26) 温馨提示 谢谢观看！ 1．经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(重点) 3．能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 1．公式C(α－β)：cos (α－β)＝_______________________________； 2．公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝________________________________； 3．公式S(α－β)：sin (α－β)＝________________________________； 4．公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝________________________________； 5．公式T(α－β)：tan (α－β)＝______________； 6．公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝______________． eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) 二、辅助角公式 a sin α＋b cos α＝____________________，其中sin φ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos φ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)). 辅助角公式实际上是两角和的正弦公式(两角差的余弦公式)的变形应用． eq \r(a2＋b2)sin (α＋φ) 三、二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝______________________． (2)公式C2α：cos 2α＝_________________＝______________＝____________． (3)公式T2α：tan2α＝_____________． eq \f(2tan α,1－tan2α) 四、半角公式(不要求记忆) sin eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,2))；cos eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cos α,2))； tan eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α)).符号由 eq \f(α,2)所在象限决定． tan eq \f(α,2)＝ eq \f(sin α,1＋cos α)＝ eq \f(1－cos α,sin α). 1．两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－ eq \f(tan α＋tan β,tan （α＋β）)＝ eq \f(tan α－tan β,tan （α－β）)－1. 2．降幂公式：cos2α＝ eq \f(1＋cos2α,2)，sin2α＝ eq \f(1－cos2α,2)，tan2α＝ eq \f(1－cos2α,1＋cos 2α). 3．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1±sin2α＝(sin α±cos α)2. 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，cos αsin β＝ eq \f(1,6)，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． eq \f(7,9)　　　B． eq \f(1,9)　　　C．－ eq \f(1,9)　　　D．－ eq \f(7,9) 追根 溯源 (人教A版必修第一册P229T9)已知sin (α＋β)＝ eq \f(1,2)，sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，求证： (1)sin αcos β＝5cos αsin β； (2)tan α＝5tan β 发现 感悟 教材习题和高考试题的考查角度基本相同，都是两角和与差的正弦、余弦公式的基本应用．解决此类问题的关键是掌握公式及其常见变形 二、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P229T6(1)改编]sin eq \f(π,12)－ eq \r(3)cos eq \f(π,12)的值为(　　) A．0 B．－ eq \r(2) C．2 D． eq \r(2) 解析：sin eq \f(π,12)－ eq \r(3)cos eq \f(π,12)＝2( eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)－ eq \f(\r(3),2)cos eq \f(π,12))＝2sin ( eq \f(π,12)－ eq \f(π,3))＝2sin (－ eq \f(π,4))＝－ eq \r(2). 2．(人教A版必修第一册P223T2)已知sin (α－π)＝ eq \f(3,5)，则cos 2α＝________________． 答案： eq \f(7,25)　解析：sin (α－π)＝－sin α＝ eq \f(3,5)，故sin α＝－ eq \f(3,5)，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(－ eq \f(3,5))2＝ eq \f(7,25). 3．(人教A版必修第一册P218例3改编)已知cosα＝－ eq \f(3,5)，α∈( eq \f(π,2)，π)，则tan (α－ eq \f(π,4))＝________________． 答案：7　解析：因为cos α＝－ eq \f(3,5)，α∈( eq \f(π,2)，π)，所以sin α＝ eq \r(1－cos2α)＝ eq \f(4,5)，tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝－ eq \f(4,3)，则tan (α－ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝7. 4．(人教A版必修第一册P226T1结论tan eq \f(α,2)＝ eq \f(sin α,1＋cos α)＝ eq \f(1－cos α,sin α)的应用)已知α∈(0， eq \f(π,2))，cos α＝ eq \f(3,5)，则tan eq \f(α,2)＝________． 答案： eq \f(1,2)　解析：由题意得sin α＝ eq \f(4,5)，tan eq \f(α,2)＝ eq \f(1－cos α,sin α)＝ eq \f(1,2). 三、易误易混澄清 1．(混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号)计算： eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝________________． 答案： eq \f(\r(3),3)　解析： eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝ eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°tan 15°)＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3). 2．(已知角与待求角之间的关系不清楚)若sin (x－ eq \f(π,6))＝ eq \f(4,5)，则sin (2x＋ eq \f(π,6))的值为________________. 答案：－ eq \f(7,25)　解析：∵sin (x－ eq \f(π,6))＝ eq \f(4,5)，∴sin (2x＋ eq \f(π,6))＝cos ( eq \f(π,3)－2x)＝1－2sin2( eq \f(π,6)－x)＝1－ eq \f(32,25)＝－ eq \f(7,25). 第一课时　两角和与差及二倍角的三角函数公式 考点一　两角和与差的三角函数公式 [例1](1)(2024·全国甲卷)已知 eq \f(cos α,cos α－sin α)＝ eq \r(3)，则tan (α＋ eq \f(π,4))＝(　　) A．2 eq \r(3)＋1 B．2 eq \r(3)－1 C． eq \f(\r(3),2) D．1－ eq \r(3) (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan α·tan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ eq \f(m,3) C． eq \f(m,3) D．3m 解析：(1)由题易知，cos α≠0，因为 eq \f(cos α,cos α－sin α)＝ eq \r(3)，所以 eq \f(1,1－tan α)＝ eq \r(3)，所以tan α＝1－ eq \f(\r(3),3)，所以tan (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝2 eq \r(3)－1. (2)因为cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin α·sin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m. 利用三角函数公式时应注意的问题 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”． (2)应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 训练1 已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin (α－13°)＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2) 解析：由三角函数的定义，得sin α＝cos 47°，cos α＝ sin 47°，则sin (α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°＝cos (47°＋13°)＝cos 60°＝ eq \f(1,2). 考点二　两角和与差三角函数公式的逆用与变形 [例2] (1) eq \f(1,sin 10°)－ eq \f(\r(3),sin 80°)＝________________． (2)(2025·德州模拟)若α，β为锐角，且α＋β＝ eq \f(π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________________． 答案：(1)4　(2)2　解析：(1)原式＝ eq \f(cos 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cos 10°) ＝ eq \f(2（\f(1,2)cos 10°－\f(\r(3),2)sin 10°）,sin 10°cos 10°) ＝ eq \f(4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）,2sin 10°cos 10°) ＝ eq \f(4sin （30°－10°）,sin 20°)＝4. (2)因为tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)，所以(1＋tan α)·(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋tan (α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1＋tan eq \f(π,4)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一．应注意公式的逆用和变形使用． 训练2 (1)(2025·徐州模拟)已知sin α＋sin β＝ eq \f(1,2)，cos α＋cos β＝ eq \f(1,3)，则cos (α－β)的值等于(　　) A．－ eq \f(7,12) B．－ eq \f(17,18) C．－ eq \f(59,72) D．－ eq \f(109,72) 解析：sin α＋sin β＝ eq \f(1,2)⇒sin2α＋sin2β＋2sinα·sin β＝ eq \f(1,4)　①，cos α＋cos β＝ eq \f(1,3)⇒cos2α＋cos2β＋2cosαcos β＝ eq \f(1,9)　②，①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝ eq \f(13,36)⇒cos (α－β)＝ eq \f(1,2)×( eq \f(13,36)－2)＝－ eq \f(59,72). (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 eq \r(2)cos (α＋ eq \f(π,4))sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 解析：由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos α·cos β－sin αsin β＝2 eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)(cos α－sin α)·sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin α·sin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，易知cos (α－β)≠0，所以tan (α－β)＝－1. 考点三　角的变换问题 [例3] (1)已知α，β∈( eq \f(π,3)， eq \f(5π,6))，若sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(4,5)，cos (β－ eq \f(5π,6))＝ eq \f(5,13)，则sin (α－β)的值为(　　) A． eq \f(16,65) B． eq \f(33,65) C． eq \f(56,65) D． eq \f(63,65) (2)若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝________________，tan α＝________________． 答案：(1)A　(2)－1　 eq \f(1,2)　解析：(1)由题意可得α＋ eq \f(π,6)∈( eq \f(π,2)，π)，β－ eq \f(5π,6)∈(－ eq \f(π,2)，0)，所以cos (α＋ eq \f(π,6))＝－ eq \f(3,5)，sin (β－ eq \f(5π,6))＝－ eq \f(12,13)，所以sin (α－β)＝－sin [(α＋ eq \f(π,6))－(β－ eq \f(5π,6))]＝－ eq \f(4,5)× eq \f(5,13)＋(－ eq \f(3,5))×(－ eq \f(12,13))＝ eq \f(16,65). (2)因为tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，所以tan (α＋β)＝tan (α＋2β－β)＝ eq \f(tan （α＋2β）－tan β,1＋tan （α＋2β）tan β)＝ eq \f(2－（－3）,1＋2×（－3）)＝－1，tan α＝tan (α＋β－β)＝ eq \f(tan （α＋β）－tan β,1＋tan （α＋β）tan β)＝ eq \f(－1－（－3）,1＋（－1）×（－3）)＝ eq \f(1,2). 1．三角函数求值中变角的解题思路 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常用的拆角、配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝ eq \f(α＋β,2)－ eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)； eq \f(π,12)＝ eq \f(π,4)－ eq \f(π,6)； eq \f(π,4)＋α＝ eq \f(π,2)－( eq \f(π,4)－α)等． 训练3 (1)已知0<α< eq \f(π,2)<β<π，tan α＝ eq \f(4,3)，cos (β－α)＝ eq \f(\r(2),10)，则sin α＝________________，cos β＝________________. 答案： eq \f(4,5)　－ eq \f(\r(2),2)　解析：因为0<α< eq \f(π,2)，且tan α＝ eq \f(4,3)，所以sin α＝ eq \f(4,5)，cos α＝ eq \f(3,5).由0<α< eq \f(π,2)<β<π，得0<β－α<π，又cos (β－α)＝ eq \f(\r(2),10)，所以sin (β－α)＝ eq \f(7\r(2),10)，所以cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)sin α＝ eq \f(\r(2),10)× eq \f(3,5)－ eq \f(7\r(2),10)× eq \f(4,5)＝－ eq \f(\r(2),2). (2)(2025·泰州一模)已知sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(3,5)，α∈( eq \f(π,2)，π)，则tan (α－ eq \f(π,12))＝________________． 答案：－7　解析：因为α∈( eq \f(π,2)，π)，所以α＋ eq \f(π,6)∈( eq \f(2π,3)， eq \f(7π,6))，所以cos (α＋ eq \f(π,6))＝－ eq \r(1－sin2（α＋\f(π,6)）)＝－ eq \r(1－（\f(3,5)）2)＝－ eq \f(4,5)，所以tan(α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(sin （α＋\f(π,6)）,cos （α＋\f(π,6)）)＝ eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－ eq \f(3,4)，所以tan (α－ eq \f(π,12))＝ tan [(α＋ eq \f(π,6))－ eq \f(π,4)]＝ eq \f(tan （α＋\f(π,6)）－tan \f(π,4),1＋tan （α＋\f(π,6)）tan \f(π,4))＝ eq \f(－\f(3,4)－1,1－\f(3,4)×1)＝－7. $$