第四章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 第四章　三角函数与解三角形 衔接教材 夯基固本 落实 正角 负角 象限角 衔接教材 夯基固本 落实 {β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 衔接教材 夯基固本 落实 半径长 衔接教材 夯基固本 落实 |α|r 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 ABC 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 关键能力 进阶突破 提升 AD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 ABC 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(24) 温馨提示 谢谢观看！ 1．了解任意角的概念和弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 3．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点) 一、任意角 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 分类 (1)按旋转方向分为____、____和零角； (2)按终边位置分为______和轴线角 终边相 同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或______________________________ 二、弧度制 定义 长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数 公式 |α|＝__(弧长用l表示，半径用r表示) eq \f(l,r) eq \f(1,2)|α|r2 角度与 弧度的 换算 (1)1°＝______ rad；(2)1 rad＝________°≈57.30° 计算公式 l＝________，扇形面积S＝______＝____________ eq \f(π,180) ( eq \f(180,π)) eq \f(1,2)lr (1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零； (2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 三、任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α， eq \f(y,x)＝tan α(x≠0). 2．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． eq \f(y,x) 3．定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝______，cos α＝__，tan α＝__(x≠0). 三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3. eq \f(y,r) eq \f(x,r) 1．象限角 2．轴线角 3．若角α∈(0， eq \f(π,2))，则sin α<α<tan α. 一、教材典题改编 1．(多选)(人教A版必修第一册P171练习T4改编)在下列四个角中，属于第二象限角的是( 　　) A．160° B．480° C．－960° D．1 530° 2．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是 eq \f(π,3)，则此弧所对的圆心角是(　　) A．15° B．20° C．30° D．40° 3．(人教A版必修第一册P179例2改编)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则tan α的值为(　　) A．2 B．－2 C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2) 4．(人教A版必修第一册P176习题5.1T11改编)某次考试的时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了__________弧度的角． 答案：－4π　解析：某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－4π. 二、易误易混澄清 1．(任意角的定义不清)设集合M＝{x|x＝ eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝ eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，则(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 解析：由于M中，x＝(2k＋1)·45°，k∈Z，2k＋1是奇数；而N中，x＝(k＋1)·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M⊆N. 2．(涉及整数k的问题，忽视对k的讨论)角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：当k为偶数时，α的终边在第一象限；当k为奇数时，α的终边在第三象限． 3．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m，6m)(m≠0)，则sin α＝________________． 答案： eq \f(3,5)或－ eq \f(3,5)　解析：由题意得x＝－8m，y＝6m，所以r＝10|m|.当m>0时，sin α＝ eq \f(6m,10m)＝ eq \f(3,5)；当m<0时，sin α＝ eq \f(6m,－10m)＝－ eq \f(3,5). 考点一　角的概念及表示 1．(2024·广东高三学业水平考试)下列各角中与437°角的终边相同的角是(　　) A．67° B．77° C．107° D．137° 解析：与437°角的终边相同的角为θ＝437°＋360°·k，k∈Z.当k＝－1时，θ＝437°－360°＝77°，B项正确．经验证，其他三个选项均不符合要求． 2．(多选)下列命题正确的是(　　) A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z} C．第三象限角的集合为{α|π＋2kπ≤α≤ eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z} D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° 解析：A项显然正确；角度与弧度不能混用，故B错误；第三象限角的集合为{α|π＋2kπ＜α＜ eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z}，故C错误；所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°，k∈Z，解得－ eq \f(17,8)≤k＜－ eq \f(1,8)，k∈Z，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故D正确． 3．若角α是第二象限角，则 eq \f(α,2)是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 解析：∵角α是第二象限角，∴ eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴ eq \f(π,4)＋kπ< eq \f(α,2)< eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时， eq \f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时， eq \f(α,2)是第三象限角． 4．终边在直线y＝ eq \r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________． 答案：{－ eq \f(5π,3)，－ eq \f(2π,3)， eq \f(π,3)， eq \f(4π,3)}　解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝ eq \r(3)x， 可以发现它与x轴的夹角是 eq \f(π,3)，在[0，2π)内，终边在直线y＝ eq \r(3)x上的角有两个为 eq \f(π,3)， eq \f(4π,3)；在[－2π，0)内满足条件的角有两个分别为－ eq \f(2π,3)，－ eq \f(5π,3).故满足条件的角α构成的集合为{－ eq \f(5π,3)，－ eq \f(2π,3)， eq \f(π,3)， eq \f(4π,3)}. 1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件角的方法 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． 2．确定kα， eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同的角的形式表示出角α的范围，再写出kα或 eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或 eq \f(α,k)的终边所在位置． 考点二　弧度制及其应用 [例1] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0). (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2)．))故扇形的圆心角为 eq \f(1,2). (2)由已知，得l＋2R＝20， 所以S＝ eq \f(1,2)lR＝ eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25， 此时l＝10 cm，α＝2. 应用弧度制解决问题时的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 训练1 (1)(多选)(2025·广安模拟)已知扇形的周长是6，面积是2，则下列选项可能正确的有(　 　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 解析：设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，)) 可得当圆的半径为1时，圆心角的弧度数为4；当圆的半径为2时，圆心角的弧度数为1. (2)已知半径为3的扇形OAB的弦长AB＝3 eq \r(2)，则该扇形的弧长是________________． 答案： eq \f(3π,2)　解析：在△ABO中，AB2＝OA2＋OB2＝18，故∠AOB＝ eq \f(π,2)，故l＝ eq \f(π,2)×3＝ eq \f(3π,2). 考点三　三角函数的定义及应用 考向1　三角函数的定义 [例2] 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若P(cos eq \f(π,3)，1)是角α终边上一点，则sin α＝(　　) A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(\r(3),2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2\r(5),5) 解析：依题意，点P( eq \f(1,2)，1)，则|OP|＝ eq \r(（\f(1,2)）2＋12)＝ eq \f(\r(5),2)，∴sin α＝ eq \f(1,\f(\r(5),2))＝ eq \f(2\r(5),5). 定义法求三角函数值的2种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，再根据定义中的两个量，列方程求参数值． 考向2　三角函数符号的应用 [例3] (1)若sin αtan α<0，且 eq \f(cos α,tan α)<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析：(1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由 eq \f(cos α,tan α)<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． (2)因为 eq \f(π,2)<2<3<π<4< eq \f(3π,2)，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2·cos 3·tan 4<0. 判定三角函数值符号的关键点 要判定三角函数值的符号，关键是要清楚角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，就要分类讨论求解． 训练2 (1)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝ eq \f(1,5)x，则tan α＝(　　) A． eq \f(4,3) B． eq \f(3,4) C．－ eq \f(3,4) D．－ eq \f(4,3) 解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝ eq \f(1,5)x<0，即x<0.又cos α＝ eq \f(1,5)x＝ eq \f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3(x＝3舍去)，所以tan α＝ eq \f(4,x)＝－ eq \f(4,3). (2)(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是(　　) A．tan α－sin α>0 B．sin α＋cos α>0 C．cos α－tan α>0 D．tan αsin α>0 解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，对于A，tan α－sin α>0，故A正确；对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；对于C，cos α－tan α<0，故C错误；对于D，tan αsin α<0，故D错误． (3)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 解析：方法一　∵α是第四象限角，∴－ eq \f(π,2)＋2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z，∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin 2α＜0，cos 2α可正、可负、可为零． 方法二　因为α是第四象限角，所以sin α＜0，cos α＞0，因此sin 2α＝2sin αcos α＜0. $$