第三章 第3节 微点突破7 构造法解f(x)与f′(x)共存问题（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第3节　导数与函数的极值、最值 微点突破7　构造法解f(x)与f′(x)共存问题 第三章　导数及其应用 衔接教材 夯基固本 落实 B B C 请完成：课时训练(20) 温馨提示 谢谢观看！ 以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)， eq \f(f（x）,g（x）)”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 考向1　构造y＝f(x)±g(x)型可导函数 [例1] 定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)< eq \f(1,2)，则不等式f(lg x)> eq \f(lg x＋1,2)的解集为________________． 答案：(0，10)　解析：由题意构造函数g(x)＝f(x)－ eq \f(1,2)x，则g′(x)＝f′(x)－ eq \f(1,2)<0，所以g(x)在定义域内是减函数．因为f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2)，由f(lg x)> eq \f(lg x＋1,2)，得f(lg x)－ eq \f(1,2)lg x> eq \f(1,2)，即g(lg x)＝f(lg x)－ eq \f(1,2)lg x> eq \f(1,2)＝g(1)，所以lg x<1，解得0<x<10，所以原不等式的解集为(0，10). 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题． 训练1 (2025·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(0，1) 解析：令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是定义在R上的偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或x<－1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 考向2　构造f(x)·g(x)型可导函数 [例2] 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)<0的解集为________________________________________. 答案：(－∞，－3)∪(0，3)　解析：由f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，可得[f(x)·g(x)]′>0，所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由题意知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3). 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)·g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题． 训练2 (2025·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________________． 答案：(3，＋∞)　解析：设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)是增函数．又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞). 考向3　构造 eq \f(f（x）,g（x）)型可导函数 [例3] 定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中y＝f′(x)为y＝f(x)的导函数，则(　　) A．8< eq \f(f（2）,f（1）)<16 B．4< eq \f(f（2）,f（1）)<8 C．3< eq \f(f（2）,f（1）)<4 D．2< eq \f(f（2）,f（1）)<3 解析：∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0，∴[ eq \f(f（x）,x2)]′＝ eq \f(f′（x）·x2－2xf（x）,x4)＝ eq \f(xf′（x）－2f（x）,x3)>0，令g(x)＝ eq \f(f（x）,x2)(x>0)，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴ eq \f(f（2）,22)> eq \f(f（1）,12)，又由2f(x)<3f(x)，得f(x)>0，即 eq \f(f（2）,f（1）)>4，∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，∴[ eq \f(f（x）,x3)]′＝ eq \f(f′（x）·x3－3x2f（x）,x6)＝ eq \f(xf′（x）－3f（x）,x4)<0，令h(x)＝ eq \f(f（x）,x3)(x>0)，∴h(x)在(0，＋∞)上单 调递减，∴ eq \f(f（2）,23)< eq \f(f（1）,13)，即 eq \f(f（2）,f（1）)<8.综上，4< eq \f(f（2）,f（1）)<8. 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)·g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用导数的除法运算法则，构造两个函数的商，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题． 训练3 定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 025为奇函数，则不等式f(x)＋2 025ex<0的解集是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 025) C．(0，＋∞) D．(2 025，＋∞) 解析：设g(x)＝ eq \f(f（x）,ex)，则g′(x)＝ eq \f(f′（x）－f（x）,ex)，因为f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，所以g(x)为定义在R上的减函数，因为f(x)＋2 025为奇函数，所以f(0)＋2 025＝0，f(0)＝－2 025，g(0)＝ eq \f(f（0）,e0)＝－2 025，f(x)＋2 025ex<0，即 eq \f(f（x）,ex)<－2 025，即g(x)<g(0)，故x>0. $$