第三章 第1节 导数的概念及运算（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第1节　导数的概念及运算 第三章　导数及其应用 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 ABD 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 A 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(18) 温馨提示 谢谢观看！ 1．理解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．(热点) 3．能利用导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数的导数． 一、导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0. 2．函数y＝f(x)的导函数 二、导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的____，相应的切线方程为________________________． 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 三、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a 基本初等函数 导函数 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ eq \f(1,x ln a) f(x)＝ln x f′(x)＝ eq \f(1,x) 四、导数的运算法则 一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和(或差)、乘积(或商)的导数，我们有如下法则： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)[ eq \f(f（x）,g（x）)]′＝ eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0). 五、复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导函数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． 巧记4个常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x). (3)①注意[ eq \f(f（x）,g（x）)]′≠ eq \f(f′（x）,g′（x）). ②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时， eq \f(f（x）,g（x）)＝ eq \f(1,g（x）)，[ eq \f(1,g（x）)]′＝－ eq \f(g′（x）,[g（x）]2). (4)函数y＝f(x)的导函数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，________________ 追根 溯源 (人教B版选择性必修第三册P91T6)求满足下列条件的直线l的方程． (1)过原点且与曲线y＝ln x相切； (2)斜率为e且与曲线y＝ex相切 发现 感悟 从条件看，两题均是求曲线y＝ln x过原点的切线方程，只不过高考题又结合了分段函数及函数性质求解，阐释了教材的本位作用 二、教材典题改编 1．(北师版选择性必修第二册P66T1改编)设f(x)＝e eq \r(x)＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C． eq \f(e＋1,2) D． eq \f(e,2) 2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81T1改编)下列导数的运算，正确的是(　 　) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．( eq \f(cos x,x))′＝ eq \f(x sin x－cos x,x2) D．(sin x cos x)′＝cos 2x 3．(人教A版选择性必修第二册P81T3改编)已知函数f(x)＝x(2 024＋ln x)，若f′(x0)＝2 025，则x0等于(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 4．(人教B版选择性必修第三册P81T2改编)曲线y＝cos x－ eq \f(x,2)在点(0，1)处的切线方程为________________． 答案：x＋2y－2＝0 三、易误易混澄清 1．(错用复合函数的求导法则)设函数f(x)＝cos ( eq \r(3)x＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)是偶函数，则φ＝________________． 答案：－ eq \f(π,3)　解析：由题意得g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos ( eq \r(3)x＋φ)－ eq \r(3)sin ( eq \r(3)x＋φ)＝2cos ( eq \r(3)x＋φ＋ eq \f(π,3))，因为函数g(x)为偶函数，所以φ＋ eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－ eq \f(π,3)，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－ eq \f(π,3). 2．(不理解瞬时变化率的意义)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________________． 答案：(－2，9)　解析：∵f(x)＝2x2＋1， ∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2， ∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2，9). 3．(混淆在点P处的切线和过点P的切线)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则a的值为________________；b的值为________________． 答案： eq \f(1,e)　－1　解析：y′＝aex＋ln x＋1，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ae＋1＝2，,ae＝2＋b，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,e)，,b＝－1.)) 考点一　导数的运算 1．下列求导运算正确的是(　　) A．( eq \f(1,ln x))′＝－ eq \f(1,x（ln x）2) B．(x2ex)′＝2x＋ex C．(x cos x)′＝－sin x D．(x－ eq \f(1,x))′＝1－ eq \f(1,x2) 解析：对于A，( eq \f(1,ln x))′＝ eq \f(－（ln x）′,（ln x）2)＝－ eq \f(1,x（ln x）2)，正确；对于B，(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于C，(x cos x)′＝cos x－x sin x，错误；对于D，(x－ eq \f(1,x))′＝1－( eq \f(1,x))′＝1＋ eq \f(1,x2)，错误． 2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1时，该质点的瞬时速度为(　　) A．16米/秒 B．40米/秒 C．9米/秒 D．36米/秒 解析：s′＝4t3＋3(3t－1)2×3，当t＝1时，s′＝4＋9×4＝40，故当t＝1时，该质点的瞬时速度为40米/秒. 3．已知函数f(x)＝ln (2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________． 答案：e2　解析：∵f′(x)＝ eq \f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝ eq \f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2. 4．函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′( eq \f(π,3))sin x，则f( eq \f(π,6))＝________________． 答案： eq \f(π2,36)＋ eq \f(2π,3)　解析：∵f′(x)＝2x＋f′( eq \f(π,3))cos x，∴f′( eq \f(π,3))＝ eq \f(2π,3)＋ eq \f(1,2)f′( eq \f(π,3))， ∴f′( eq \f(π,3))＝ eq \f(4π,3)，∴f( eq \f(π,6))＝ eq \f(π2,36)＋ eq \f(2π,3). 导数运算的策略 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 考点二　导数的几何意义 考向1　求切线方程 [例1] (1)曲线f(x)＝x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A． eq \f(1,6) B． eq \f(\r(3),2) C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2) (2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝ eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3) 解析：(1)因为f′(x)＝6x5＋3，所以f′(0)＝3，故切线方程为y＋1＝3(x－0)＝3x，即y＝3x－1，故切线的横截距为 eq \f(1,3)，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为 eq \f(1,2)×1× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,6). (2)f′(x)＝ eq \f(（ex＋2cos x）（1＋x2）－（ex＋2sin x）·2x,（1＋x2）2)，则f′(0)＝ eq \f(（e0＋2cos 0）（1＋0）－（e0＋2sin 0）×0,（1＋0）2)＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝－ eq \f(1,3)，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝ eq \f(1,2)×1×|－ eq \f(1,3)|＝ eq \f(1,6). 求切线方程的方法与注意点 (1)首先要明确求是“在”还是“过”某点的切线方程，“在”某点的切线至多有一条，“过”某点的切线一般有两条； (2)“在”某点的切线方程，求出斜率代入点斜式即可；“过”某点的切线方程，有两种方法：一是设出斜率并写出点斜式，然后与已知函数式联立，在方程组只有一解的前提下，求斜率即可，如果只求出一解，此时不要忽略斜率不存在的情况；二是设出切点的坐标，利用切点既在直线上又在曲线上，联立方程组求解即可． 训练1 已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________________． 答案：x－y－1＝0　解析：点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0).因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝（1＋ln x0）x0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝0，))所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 考向2　求切点坐标或参数的值(范围) [例2] (1)(2024·宜宾三模)若曲线y＝ex＋a的一条切线方程是y＝x－1，则a＝(　　) A．－2 B．1 C．－1 D．e (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________________． 答案：(1)A　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　 解析：(1)由y＝ex＋a，得y′＝ex，设切点坐标为(t，et＋a)，由et＝1，得t＝0，∴切点坐标为(0，1＋a)，代入y＝x－1，得1＋a＝－1，即a＝－2. (2)∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，设切点坐标为(x0，(x0＋a)ex0)，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)·ex0(x－x0)，∵切线过原点，∴－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)·ex0(－x0)，整理得x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋ax0－a＝0.∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 训练2 已知f(x)＝x3－3x2＋ax－1，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线经过坐标原点，则x0＝________________． 答案：1或－ eq \f(1,2)　解析：由题意，f′(x)＝3x2－6x＋a，则切线在x0处的斜率k＝3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋a，因为切线过原点，所以切线方程为y＝(3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋a)x.又切线经过切点(x0，f(x0))，所以x eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋ax0－1＝(3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋a)x0，整理可得2x eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1＝0，即2(x eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))－(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1)＝0，则2x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))(x0－1)＝(x0－1)·(x0＋1)，可得(x0－1)(2x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－x0－1)＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，故x0＝1或x0＝－ eq \f(1,2). 考向3　公切线问题 [例3] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________________． (2)若曲线C1：f(x)＝x2＋a和曲线C2：g(x)＝4ln x－2x存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为____________________． 答案：(1)ln 2　(2)y＝2x－4　解析：(1)由y＝ex＋x得y′＝ex＋1， y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1；由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝ eq \f(1,x＋1)，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线得y′＝ eq \f(1,x0＋1)＝2，解得x0＝－ eq \f(1,2)，则切点为(－ eq \f(1,2)，a＋ln eq \f(1,2))，切线方程为y＝2(x＋ eq \f(1,2))＋a＋ln eq \f(1,2)＝2x＋1＋a－ln 2，根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. (2)f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，则有f′(x)＝2x，g′(x)＝ eq \f(4,x)－2.设公共切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝ eq \f(4,x0)－2，f(x0)＝x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋a，g(x0)＝4ln x0－2x0.根据题意，有eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x0＝\f(4,x0)－2，,x＋a＝4ln x0－2x0，,x0>0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,a＝－3.))∴公切线的切点坐标为(1，－2)，切线斜率为2，∴公切线的方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4. 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝ eq \f(f（x1）－g（x2）,x1－x2). 训练3 (1)(2025·海南开学考试)函数f(x)＝1＋ln x与函数g(x)＝ex－1公切线的纵截距为(　　) A．1或0 B．－1或0 C．1或e D．－1或e 解析：设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1>0，且导数为f′(x)＝ eq \f(1,x)，g′(x)＝ex，所以切线方程既为y－(1＋ln x1)＝ eq \f(1,x1)(x－x1)，也为，所以所以ln ( eq \f(1,x1))＝⇒－ln x1＝x2，所以－x2＝⇒(1－x2)＝0，所以x2＝1或x2＝0，所以公切线的纵截距为(1－1)e1－1＝－1或(1－0)e0－1＝0. (2)已知直线y＝kx＋b(k∈R，b≠0)是f(x)＝ex－1的图象与g(x)＝1＋ln x的图象的公切线，则k＋b＝________________． 答案：e－1　解析：因为函数f(x)＝ex－1，所以f′(x)＝ex，设点(t，et－1)是f(x)的图象与公切线的切点，则公切线的方程为y－et＋1＝et(x－t)，即y＝etx＋(1－t)et－1.因为函数g(x)＝1＋ln x，所以g′(x)＝ eq \f(1,x)，令g′(x)＝ eq \f(1,x)＝et，解得x＝e－t，可得g(e－t)＝1－t，可知g(x)的图象与公切线的切点坐标为(e－t，1－t)，则公切线的方程为y－(1－t)＝et(x －e－t)，即y＝etx－t，所以(1－t)et－1＝－t，整理得(t－1)(et－1)＝0，解得t＝0或t＝1.当t＝0时，公切线的方程为y＝x，此时b＝0，不符合题意，舍去；当t＝1时，公切线的方程为y＝ex－1，故k＝e，b＝－1.综上所述，k＋b＝e－1. $$