第二章 第6节 第一课时 指数与对数（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第6节　指数函数、对数函数 第一课时　指数与对数 第二章　函　数 衔接教材 夯基固本 落实 a |a| 衔接教材 夯基固本 落实 0 没有意义 衔接教材 夯基固本 落实 ar＋s ars arbr 衔接教材 夯基固本 落实 logaN 0 1 N n 衔接教材 夯基固本 落实 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(12) 温馨提示 谢谢观看！ 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．(重点) 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 一、指数 1．根式的性质 (1)( eq \r(n,a))n＝__(a使 eq \r(n,a)有意义)； (2)当n为奇数时， eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时， eq \r(n,an)＝___＝__________． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 2．分数指数幂的意义 (3)0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂________． 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键！ 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_________(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝_________(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝_________(a>0，b>0，r∈Q). 二、对数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝___________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝__；②logaa＝__；③＝__；④logaan＝__．(a>0，且a≠1，n∈R，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝_________________；②loga eq \f(M,N)＝_________________；③logaMn＝____________(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝ eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝ eq \f(1,logba)(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝ eq \f(n,m)logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝ eq \f(logaM,logaN)＝ eq \f(logbM,logbN)(a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、教材典题改编 1．[人教A版必修第一册P110习题4.1T7(1)改编]已知5m＝10，5n＝2，则＝(　　) A．2 eq \r(10) B．3 eq \r(10) C．20 D．5 eq \r(10) 解析：＝ eq \r(\f(53m,52n))＝ eq \r(\f(（5m）3,（5n）2))＝ eq \r(\f(103,22))＝ eq \r(52×10)＝5 eq \r(10). 2．(人教A版必修第一册P109T1改编)下列运算中正确的是(　　) 解析：对于A，2－π<0，所以 eq \r(（2－π）2)＝π－2，A错误；对于B，因为－ eq \f(1,a)>0，所以a<0，则a eq \r(－\f(1,a))＝－(－a)· eq \f(1,\r(－a))＝－ eq \r(－a)，B错误；对于C，，C正确；对于D，(x3－ eq \r(2))3＋ eq \r(2)＝x9－2＝x7，D错误． 3．(人教A版必修第一册P126T1改编)下列各式中正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln eq \f(1,3)＝1 D．log35－log315＝ eq \f(1,3) 解析：对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7log33＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln eq \f(1,3)＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3 eq \f(1,3)＝－1，故D错误． 4．(人教A版必修第一册P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A． eq \f(1,2a＋b) B． eq \f(1,2b＋a) C．2a＋b D．2b＋a 解析：log1210＝ eq \f(1,lg 12)＝ eq \f(1,lg 3＋2lg 2)＝ eq \f(1,2a＋b). 二、易误易混澄清 1．[化简 eq \r(n,an)(a∈R)时忽略n的范围]计算 eq \r(3,（1＋\r(2)）3)＋ eq \r(4,（1－\r(2)）4)＝________________． 答案：2 eq \r(2) 2．(不熟悉对数的运算性质)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论是________________．(填序号) 答案：①②③④⑤ 3．(忽视真数大于零)已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则 eq \f(x,y)＝________． 答案：4 考点一　指数式的化简与求值 1．计算：－3－1＋( eq \r(2)－1)0＝________________． 答案：16　解析：－(－ eq \f(1,7))－2＋－3－1＋( eq \r(2)－1)0＝－(－7)2＋－ eq \f(1,3)＋1＝ eq \f(1,3)－49＋64－ eq \f(1,3)＋1＝16. 2．已知a2x＝5，则 eq \f(a3x－a－3x,ax－a－x)＝________________． 答案： eq \f(31,5)　解析： eq \f(a3x－a－3x,ax－a－x)＝ eq \f(（ax－a－x）（a2x＋1＋a－2x）,ax－a－x)＝a2x＋1＋a－2x＝5＋1＋ eq \f(1,5)＝ eq \f(31,5). 3．化简与求值： 解：(1)原式＝＝ eq \f(5,4)－ eq \f(3,2)＋0.09＝－0.16. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二　对数式的化简与运算 [例1] (1)(2024·广州高三统考)计算－log4 eq \f(1,64)＋ln e2－2lg 2－lg 25＝(　　) A．20 B．21 C．9 D．11 (2)(2025·盐城模拟)已知2m＝9n＝6，则 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,2n)的值等于(　　) A． eq \f(5,2) B．3 C．1 D．2 (3)(2024·全国甲卷)已知a>1且 eq \f(1,log8 a)－ eq \f(1,loga4)＝－ eq \f(5,2)，则a＝________________． 答案：(1)B　(2)C　(3)64　解析：(1)原式＝×2－log44－3＋2－2(lg 2＋lg 5)＝9×2＋3＋2－2＝21. (2)因为2m＝9n＝6，则m＝log26，n＝log96，所以 eq \f(1,m)＝log62， eq \f(1,n)＝log69，因此 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,2n)＝log62＋ eq \f(1,2)log69＝＝1. (3)根据题意有 eq \f(1,\f(1,3)log2a)－ eq \f(1,2loga2)＝－ eq \f(5,2)，即3loga2－ eq \f(1,2loga2)＝－ eq \f(5,2)，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－ eq \f(1,2t)＝－ eq \f(5,2)，得t＝ eq \f(1,6)(t＝－1舍去)，所以loga2＝ eq \f(1,6)，所以a eq \s\up16(\f(1,6))＝2，所以a＝64. 解决对数运算的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算． (2)将同底对数的和、差、积合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 训练1 计算下列各式： (1)log225·log3(2 eq \r(2))·log59； (2) eq \f(lg 2＋lg 5－lg 8,lg 50－lg 40)； 解：(1)方法一　log225·log3(2 eq \r(2))·log59 方法二　log225·log3(2 eq \r(2))·log59＝ eq \f(lg 25,lg 2)· eq \f(lg （2\r(2)）,lg 3)· eq \f(lg 9,lg 5) (2)原式＝ eq \f(lg \f(2×5,8),lg \f(50,40))＝ eq \f(lg \f(5,4),lg \f(5,4))＝1. 考点三　指数、对数运算的应用 [例2] (2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg eq \f(x,10－12).喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB． 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　　) A．120 dB B．100 dB C．80 dB D．60 dB 解析：设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)＝10×lg eq \f(x1,10－12)＝140，解得x1＝102，因为 eq \f(x1,x2)＝ eq \f(102,x2)＝108，所以x2＝10－6，所以f(10－6)＝10×lg eq \f(10－6,10－12)＝60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB． 指数、对数应用问题的思路 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 训练2 (1)青少年的视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( eq \r(10,10)≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 解析：由题意，得L＝5＋lg V＝4.9，所以lg V＝－0.1，所以V＝10－0.1＝ eq \f(1,\r(10,10))≈ eq \f(1,1.259)≈0.8. (2)(2025·内蒙古兴安盟期中)内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N(单位：mg/L)与时长t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物浓度).如果前2 h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要(　　) A．3 h B．4 h C．5 h D．6 h 解析：由题意知，t＝2时，N0e－2k＝ eq \f(4,5)N0，可得e－2k＝ eq \f(4,5).设N0e－kt＝0.512N0＝( eq \f(4,5))3N0，则e－kt＝(e－2k)3＝e－6k，解得t＝6，因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4 h． $$