第二章 第5节 二次函数与幂函数（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第5节　二次函数与幂函数 第二章　函　数 衔接教材 夯基固本 落实 y＝xα x α 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 单调递增 单调递减 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 D 衔接教材 夯基固本 落实 BD 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 C 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 AD 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 D 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 CD 关键能力 进阶突破 提升 谢谢观看！ 1．通过具体实例，结合y＝x，y＝ eq \f(1,x)，y＝x2，y＝ eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．运用二次函数或幂函数建立模型，解决简单的实际问题． 一、幂函数 1．定义：一般地，函数______叫做幂函数，其中__是自变量，__是常数． 幂函数的特征：(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)解析式只有一项． 2．常见的五种幂函数的图象 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义． (2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上________． (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上________． 二、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 图象 定义域 R [－ eq \f(b,2a)，＋∞) a>0 a<0 值域 [ eq \f(4ac－b2,4a)，＋∞) (－∞， eq \f(4ac－b2,4a)] 单调性 在________________上单调递减，在____________上单调递增 在________________上单调递增，在_____________上单调递减 (－∞，－ eq \f(b,2a)] [－ eq \f(b,2a)，＋∞) (－∞，－ eq \f(b,2a)] a>0 a<0 最值 当x＝－ eq \f(b,2a)时，ymin＝________ 当x＝－ eq \f(b,2a)时，ymax＝________ eq \f(4ac－b2,4a) eq \f(4ac－b2,4a) (1)二次函数的单调性、最值与二次函数的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))时，恒有f(x)>0；当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))时，恒有f(x)<0. 巧识幂函数的图象和性质 一、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2， eq \f(1,2))，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 eq \r(2) C． eq \f(\r(2),4) D． eq \f(1,4) 2．(多选)(人教A版必修第一册P91习题3.3T1改编)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：当α＝－1时，y＝x－1＝ eq \f(1,x)为奇函数，但值域为{y|y≠0}，不满足条件；当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件；当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y|y≥0}，不满足条件；当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件． 3．(人教A版必修第一册P91T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________________．(用“<”连接) 答案：c<b<a　解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 4．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是________________. 答案：(－∞，4]　解析：由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，可得－ eq \f(2（a－1）,2)≥－3，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4]. 5．(北师版必修第一册P34T2改编)已知函数y＝－ eq \f(1,2)x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则实数m的取值范围是_______． 答案：[4，＋∞)　解析：y＝－ eq \f(1,2)x2＋4x＋2＝－ eq \f(1,2)(x－4)2＋10，对称轴x＝4，且当x＝4时，函数取得最大值10，所以m≥4. 二、易误易混澄清 1．(忽视对二次项系数的讨论)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为(　　) A． eq \f(3,8) B．－3 C． eq \f(3,8)或－3 D．4 解析：由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝ eq \f(3,8)；③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为 eq \f(3,8)或－3. 2．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围为________________． 答案：(3，5)　解析：∵f(x)＝＝ eq \f(1,\r(x))(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a，))解得3＜a＜5. 考点一　幂函数的图象与性质 1．若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 解析：由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m>0，又y＝xm的图象增长得越来越慢，所以m<1，y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，所以n<0，又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n<－1.综上所述，n<－1，0<m<1. 2．(2025·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，当n＝1时，f(x)＝x－1＝ eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增．所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件． 3．若，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：因为在第一象限内单调递增，所以，因为y＝( eq \f(2,5))x是减函数，所以，所以a＞c＞b. 4．若，则实数a的取值范围是________________. 答案：[－1， eq \f(2,3))　解析：因为函数的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a< eq \f(2,3). 幂函数图象性质的关注点 (1)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 考点二　二次函数的解析式 [例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式． 解：方法一(利用二次函数的一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用二次函数的顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). ∵f(2)＝f(－1)，∴二次函数图象的对称轴为x＝ eq \f(2＋（－1）,2)＝ eq \f(1,2). ∴m＝ eq \f(1,2)，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f(x)＝a(x－ eq \f(1,2))2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－ eq \f(1,2))2＋8＝－1，解得a＝－4， ∵f(2)＝－1，∴a(2－ eq \f(1,2))2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4(x－ eq \f(1,2))2＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用二次函数的零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即 eq \f(4a（－2a－1）－a2,4a)＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的方法 训练1 已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝________________． 答案：x2＋2x　解析：方法一　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由 eq \f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. 方法二　由二次函数f(x)与x轴交于(0，0)，(－2，0)，知f(x)的图象关于直线x＝－1对称．设f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x. 考点三　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 [例2] (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，则以下选项正确的为(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 解析：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；∵对称轴为直线x＝－ eq \f(b,2a)＝－1，∴b＝2a，即2a－b＝0，故B错误；由图象可知，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；把x＝1，x＝－3代入解析式可得a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，两式相加整理可得5a－b＝－c.又当x＝0时，y＝c＞0，所以5a－b＜0，即5a<b，故D正确． 识别二次函数图象应学会“三看” 训练2 设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0 解析：因为f(x)图象的对称轴为x＝－ eq \f(1,2)，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0. 考向2　二次函数的单调性 [例3] (1)(2024·济南二模)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是(　　) A．f(1)<f(4)<f(2) B．f(4)<f(1)<f(2) C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1) (2)(2025·宜宾模拟)若函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2＋a|x|在区间[3，4]和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[4，6] B．[－6，－4] C．[2，3] D．[－3，－2] 解析：(1)因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，又a<0，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2). (2)f(x)＝ eq \f(1,2)x2＋a|x|，因为f(－x)＝ eq \f(1,2)×(－x)2＋a|－x|＝ eq \f(1,2)x2＋a|x|＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数，因为f(x)在区间[3，4]和[－2，－1]上均为增函数，所以f(x)在[3，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2＋ax，x>0的对称轴x＝－a∈[2，3]，得a∈[－3，－2]. 决定二次函数单调性的两个关键因素 训练3 (多选)(2025·济南一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是(　　) A．1 B． eq \f(3,2) C．2 D．3 解析：易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数．依题意得函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以函数g(x)图象的对称轴为直线x＝ eq \f(k,2)≥1，则k≥2.故k的取值可以是2，3. $$