第四章 第5节 y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用（PPT教学课件）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

衔接教材 夯基固本 落实 第5节　y＝A sin ( x＋ )的图象及应用 第四章　三角函数与解三角形 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 衔接教材 夯基固本 落实 A 衔接教材 夯基固本 落实 D 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 C 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 BC 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 B 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 关键能力 进阶突破 提升 请完成：课时训练(30) 温馨提示 谢谢观看！ φ ω 1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义；了解参数的变化对函数图象的影响． 2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数刻画事物周期变化的数学模型． 一、作f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的五个关键点 ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x ____ eq \f(\f(π,2)－φ,ω) eq \f(π－φ,ω) eq \f(\f(3π,2)－φ,ω) ________ y＝f(x) 0 A 0 －A 0 － eq \f(φ,ω) eq \f(2π－φ,ω) 二、函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象变换 (1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为 eq \f(T,4). (2)由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移 eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度． (3)若直线x＝a为正(余)弦曲线的对称轴，则正(余)弦函数一定在x＝a处取得最值． (4)若函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为M，最小值为m，则A＝ eq \f(M－m,2)，k＝ eq \f(M＋m,2). (5)函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 一、“教考衔接”例证 高考 真题 (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　) A． sin (x＋ eq \f(π,3))　　　 B．sin ( eq \f(π,3)－2x) C． cos (2x＋ eq \f(π,6)) D．cos ( eq \f(5π,6)－2x) 追根 溯源 (人教B版必修第三册P50T2)如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2)，试确定这个函数的解析式 发现 感悟 高考试题和教材习题高度相似，解题的关键是弄清函数的周期、最值点及图象升降的零点位置 二、教材典题改编 1．(人教A版必修第一册P199例1改编)用“五点法”画y＝ eq \f(1,3)sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A．( eq \f(π,6)， eq \f(1,6)) B．( eq \f(π,2)， eq \f(1,3)) C．(π，0) D．(2π，0) 2．(人教A版必修第一册P241T5改编)将函数f(x)＝3sin (2x＋ eq \f(π,4))的图象向左平移 eq \f(π,3)后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝_______． 答案：3sin (2x＋ eq \f(11,12)π)　解析：g(x)＝f(x＋ eq \f(π,3))＝3sin [2(x＋ eq \f(π,3))＋ eq \f(π,4)]＝3sin (2x＋ eq \f(11,12)π). 三、易误易混澄清 (图象平移时忽视自变量x的系数)为了得到函数y＝3sin (2x－ eq \f(π,5))的图象，只要把y＝3sin (2x＋ eq \f(π,5))图象上所有的点(　　) A．向右平移 eq \f(π,5)个单位长度 B．向左平移 eq \f(π,5)个单位长度 C．向右平移 eq \f(2π,5)个单位长度 D．向左平移 eq \f(2π,5)个单位长度 考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 [例1] (1)(2025·成都石室中学模拟)将函数f(x)＝2sin (2x－ eq \f(π,3))的图象先向左平移 eq \f(π,4)个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　) A．g(x)＝2sin (4x＋ eq \f(π,6)) B．g(x)＝2sin (x－ eq \f(π,12)) C．g(x)＝2sin (4x＋ eq \f(π,3)) D．g(x)＝2sin (x＋ eq \f(π,6)) (2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin (ωx＋ eq \f(π,3))(ω>0)的图象向左平移 eq \f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,2) 解析：(1)将函数f(x)＝2sin (2x－ eq \f(π,3))的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度后，得到函数y＝2sin [2(x＋ eq \f(π,4))－ eq \f(π,3)]＝2sin (2x＋ eq \f(π,6))的图象，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝2sin (2· eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,6))＝2sin (x＋ eq \f(π,6))的图象． (2)记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin [ω(x＋ eq \f(π,2))＋ eq \f(π,3)]＝sin [ωx＋( eq \f(π,2)ω＋ eq \f(π,3))].因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以 eq \f(π,2)ω＋ eq \f(π,3)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，得ω＝2k＋ eq \f(1,3)(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin＝ eq \f(1,3). 三角函数图象平移变换问题的关键及解题策略 (1)确定函数y＝sin x经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减”的原则进行． (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位长度． 训练1 设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，将函数f(x)的图象先向右平移 eq \f(π,6)个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与y＝cos x图象重合，则(　　) A．ω＝ eq \f(1,2)，φ＝ eq \f(π,6) B．ω＝ eq \f(1,2)，φ＝ eq \f(π,3) C．ω＝2，φ＝ eq \f(5π,6) D．ω＝2，φ＝ eq \f(π,3) 解析：将函数f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度，可得y＝f(x－ eq \f(π,6))＝sin [ω(x－ eq \f(π,6))＋φ]＝sin (ωx－ eq \f(π,6)ω＋φ)的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin ( eq \f(ω,2)x－ eq \f(π,6)ω＋φ)的图象，由于得到的函数图象与y＝cos x图象重合，故ω＝2，－ eq \f(π,3)＋φ＝ eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)(平移、伸缩变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利 用诱导公式转化为同名函数)，所以φ＝ eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈Z).又0＜φ＜π，所以φ＝ eq \f(5π,6). 考点二　由图象确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [例2] (1)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是 eq \f(π,2)，直线x＝ eq \f(π,3)是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0，0<φ< eq \f(π,2)，则函数解析式为________________． (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝ eq \f(1,2)与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝ eq \f(π,6)，则f(π)＝________________． 答案：(1)y＝2sin (4x＋ eq \f(π,6))＋2　(2)－ eq \f(\r(3),2)　解析：(1)依题意可得A＝ eq \f(4－0,2)＝2，n＝ eq \f(4＋0,2)＝2，ω＝ eq \f(2π,\f(π,2))＝4，所以y＝2sin (4x＋φ)＋2，所以4× eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ－ eq \f(5π,6)，k∈Z.因为0<φ< eq \f(π,2)，所以k＝1，φ＝ eq \f(π,6).所以函数解析式为y＝2sin (4x＋ eq \f(π,6))＋2. (2)对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点( eq \f(2π,3)，0)为“五点(画图)法”中的第五点，所以 eq \f(2π,3)ω＋φ＝2π　①.由题知|AB|＝xB－xA＝ eq \f(π,6)，且f( eq \f(2π,3)ω＋φ)＝0，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ωxA＋φ＝\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，,ωxB＋φ＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，))两式相减，得ω(xB－xA)＝ eq \f(4π,6)，即 eq \f(π,6)ω＝ eq \f(4π,6)，解得ω＝4.代入①，得φ＝－ eq \f(2π,3)，所以f(π)＝sin (4π－ eq \f(2π,3))＝－sin eq \f(2π,3)＝－ eq \f(\r(3),2). 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝ eq \f(2π,T). (2)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 训练2 (1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则f(π)＝(　　) A．－1 B．－ eq \r(3) C． eq \r(3) D．1 解析：由题图可知A＝2， eq \f(T,4)＝ eq \f(5π,3)－ eq \f(2π,3)＝π，故最小正周期T＝4π，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(1,2)，所以f(x)＝2sin ( eq \f(1,2)x＋φ).由f( eq \f(5π,3))＝2sin ( eq \f(5π,3)× eq \f(1,2)＋φ)＝2sin ( eq \f(5π,6)＋φ)＝0及图象单调性可知， eq \f(5π,6)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，又|φ|< eq \f(π,2)，则φ＝ eq \f(π,6)，所以f(x)＝2sin ( eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,6))，得f(π)＝2sin eq \f(2π,3)＝ eq \r(3). (2)如图所示为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0， eq \f(π,2)≤φ≤π)的部分图象，其中|AB|＝5，则此函数的解析式为________________． 答案：y＝2sin ( eq \f(π,3)x＋ eq \f(5π,6))　解析：由函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象，设A为(x1，2)，B为(x2，－2)，其中x1<x2，因为|AB|＝5，可得 eq \r(（x2－x1）2＋42)＝5，解得x2－x1＝3，即 eq \f(1,2)T＝3，所以T＝6，可得ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(π,3)，所以f(x)＝2sin ( eq \f(π,3)x＋φ).又由f(0)＝2sin φ＝1，可得sin φ＝ eq \f(1,2)，因为 eq \f(π,2)≤φ≤π，所以φ＝ eq \f(5π,6).所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin ( eq \f(π,3)x＋ eq \f(5π,6)). 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 [例3] 已知函数f(x)＝2 eq \r(3)sin ωx cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈[0， eq \f(π,2)]时，函数g(x)的最大值． 解：(1)由题意知f(x)＝ eq \r(3)sin2ωx＋1＋cos 2ωx＝2sin (2ωx＋ eq \f(π,6))＋1， 因为周期T＝ eq \f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1， 所以f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,6))＋1， 令 eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,6)≤ eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得 eq \f(π,6)＋kπ≤x≤ eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递减区间为[ eq \f(π,6)＋kπ， eq \f(2π,3)＋kπ]，k∈Z. (2)因为g(x)＝2sin [2(x－ eq \f(π,6))＋ eq \f(π,6)]＋1＝2sin (2x－ eq \f(π,6))＋1， 当x∈[0， eq \f(π,2)]时，－ eq \f(π,6)≤2x－ eq \f(π,6)≤ eq \f(5π,6)，所以当2x－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)， 即x＝ eq \f(π,3)时，g(x)max＝2×1＋1＝3. 三角函数的图象与性质综合问题的求解思路 (1)将函数整理成y＝A sin (ωx＋φ)＋B(ω>0)或y＝A cos (ωx＋φ)＋B(ω>0)的形式； (2)把ωx＋φ看成一个整体； (3)借助正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． 训练3 (多选)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在[0， eq \f(π,2)]上单调递增 C．直线x＝－ eq \f(π,4)是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的图象可由y＝ eq \r(2)sin x的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度得到 解析：f(x)＝sin x－cos x可化为f(x)＝ eq \r(2)sin (x－ eq \f(π,4))，函数f(x)＝ eq \r(2)sin (x－ eq \f(π,4))的最小正周期为2π，A错误；当0≤x≤ eq \f(π,2)时，－ eq \f(π,4)≤x－ eq \f(π,4)≤ eq \f(π,4)，因为y＝sin x在[－ eq \f(π,4)， eq \f(π,4)]上单调递增，所以函数f(x)在[0， eq \f(π,2)]上单调递增，B正确；当x＝－ eq \f(π,4)时，x－ eq \f(π,4)＝－ eq \f(π,2)，所以直线x＝－ eq \f(π,4)是f(x)图象的一条对称轴，C正确；函数y＝ eq \r(2)sin x的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度得到函数g(x)＝ eq \r(2)sin (x＋ eq \f(π,4))的图象，D错误． 考点四　三角函数模型的简单应用 [例4] 已知某摩天轮的半径为60 m，其中心到地面的距离为70 m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100 m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有(　　) A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟 解析：设游客到地面的距离为y m，设y关于转动时间t(单位：分钟)的函数关系式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则A＝60，－A＋b＝10，可得b＝70，函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b的最小正周期为T＝30，则ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(π,15).当t＝0时，游客位于最低点，可取φ＝－ eq \f(π,2)，所以y＝60sin ( eq \f(πt,15)－ eq \f(π,2))＋70＝－60cos eq \f(πt,15)＋70.由y>100，即－60cos eq \f(πt,15)＋70>100，可得cos eq \f(πt,15)<－ eq \f(1,2)，所以2kπ＋ eq \f(2π,3)< eq \f(πt,15)<2kπ＋ eq \f(4π,3)(k∈Z)，解得30k＋10<t<30k＋20(k∈Z).因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟． 三角函数模型应用的关注点 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)研究y＝A sin (ωx＋φ)＋b的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 训练4 如图是某景区中一个半径为100 m的圆形湖泊，为了方便游客观赏，决定在湖中搭建一个“工”字型观光长廊，其中AB＝CD，M，N分别为AB，CD的中点，且AB⊥MN，则观光长廊最长为_______m. 答案：200 eq \r(5)　解析：如图，设圆心为O，由题意可知O为MN的中点，连接OB， 设∠BOM＝θ(0<θ< eq \f(π,2))，则OM＝100cos θ，MB＝100sin θ，故观光长廊的长度y＝200cos θ＋400sin θ＝200 eq \r(5)sin (θ＋φ)，其中tan φ＝ eq \f(1,2)，∴当sin (θ＋φ)＝1时，ymax＝200 eq \r(5)，即观光长廊最长为 200 eq \r(5) m． $$