22.1.1 二次函数 暑期预习讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、二次函数的概念 知识点讲解： 1.一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是因变量，、、分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。例如就是一个二次函数，这里，，。 2.二次函数的表达式是一个整式，自变量的最高次数是，且二次项系数不能为，若，则函数就变成了一次函数（当时）或常数函数（当时）。 易错点提示： 1.容易忽略这个条件，在判断一个函数是否为二次函数时，一定要先检查二次项系数是否不为零。比如函数就不是二次函数，因为它不符合二次函数的形式，其二次项系数实际为（可看作）。 2.对于二次函数表达式中各项系数的确定要准确，特别是当函数表达式经过一些变形后，要能正确识别出、、的值。例如，需先将其展开为，此时才能准确得出，，。 二、根据实际问题列二次函数关系式 知识点讲解： 1.首先要分析实际问题中的数量关系，确定自变量和因变量。通常自变量是问题中可以自主变化的量，因变量是随着自变量的变化而变化的量。 2.然后根据题目中的条件，找出因变量与自变量之间的等量关系，并用含自变量的代数式表示因变量，从而列出二次函数关系式。 3.例如，一个矩形的长是厘米，宽比长少厘米，那么宽为厘米，矩形的面积（平方厘米）与长（厘米）之间的函数关系式就是，这里自变量是（表示矩形的长），因变量是（表示矩形的面积）。 易错点提示： 1.不能准确分析出实际问题中的自变量和因变量，导致关系式列错。比如在上述矩形面积问题中，如果错误地把宽当成自变量，长当成因变量来列关系式，就会得出错误的结果。 2.对于实际问题中的一些隐含条件理解不到位，从而在确定自变量的取值范围时出现错误。例如在上述矩形问题中，因为矩形的长和宽都应该是正数，所以自变量的取值范围是，如果忽略了这个取值范围，在后续对函数进行分析时可能会出现不符合实际情况的结论。 巩固练习 一、选择题 1．下列函数中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的一次项系数是（　　） A． B． C． D． 3．下列变量之间具有二次函数关系的是（　　） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 4．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 6．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 7．函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（　　） A． B． C． D． 8．若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题 9．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有　 　．（只填序号） 10．在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是　 　． 11．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为　 　． 12．是关于的二次函数，则的值为　 　． 三、解答题 13．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 14．若． （1）取什么值时，此函数是二次函数？ （2）取什么值时，此函数是一次函数？ 15．若函数是以x为自变量的二次函数． （1）求k的值； （2）当函数值时，求自变量x的值． 参考答案 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．D 7．D 8．B 9．①②③④ 10． 11． 12． 13．解：乙的说法对， 理由如下：， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 14．（1）解：当是二次函数时， 有， 解得， 当时，此函数是二次函数； （2）解：当是一次函数时， 有， 解得或， 当或时，此函数是一次函数． 15．（1）解：依题意有， 解得：，∴k的值为3 （2）解：把代入函数解析式中得：， 当，时，， 学科网（北京）股份有限公司 $$