21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期预习讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）基本内容 知识点：对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根，，那么根与系数有如下关系： ，。 例如，对于方程，其中，，。 通过求解方程可得，。 按照韦达定理计算：；。 易错点提示： 1.方程必须是一元二次方程的一般形式：要先将给定的方程化为（）的标准形式，才能准确应用韦达定理。 错误示例：对于方程，若直接用韦达定理，不先化为标准形式，就会得出错误的根与系数关系。因为在原方程未化为标准形式时，无法准确确定、、的值。 2.判别式的前提：韦达定理是在方程有两个实数根的前提下成立的，即判别式。如果不判断方程是否有实数根就直接用韦达定理，可能会导致错误。 错误示例：对于方程，其中，，，，此方程无实数根，此时若强行套用韦达定理去求根与系数关系，是没有实际意义且会得出错误结论的。 二、韦达定理的应用 1.已知一根求另一根及未知系数 知识点：当已知一元二次方程的一个根，以及方程的系数、、时，可以利用韦达定理先求出两根之和，进而求出另一根；也可以通过两根之积求出未知系数。 例如，已知方程的一个根是，求另一个根及的值。 由韦达定理可知，因为，所以。 又因为，即，所以。 易错点提示： 1.计算准确性：在代入公式计算时要注意符号，尤其是、、的正负以及计算两根之和、两根之积公式中的符号，稍有不慎就会算错。 错误示例：在上述例子中，若计算两根之和时错误地写成，那么求出的的值就会错误，进而导致的值也错误。 2.对已知条件的准确运用：要清楚已知的根是对应方程中的哪个根，准确代入韦达定理公式进行计算，不能混淆。 错误示例：已知方程的一个根为，另一个根为，若把已知根代入公式计算时，误将当成代入两根之积公式求，就会得出错误结果。 2.构造方程 知识点：已知两根，，可以利用韦达定理反推构造出一元二次方程。 构造方程的形式为。 例如，已知两根为，，那么构造的方程为： ，即。 易错点提示： 1.公式的正确运用：要严格按照构造方程的公式进行构造，不能记错公式顺序或符号。 错误示例：若错误地构造为，那么构造出的方程就会完全错误。 2.计算两根之和与两根之积的准确性：在确定、后，计算和时要准确，否则构造出的方程也不正确。 错误示例：已知两根，，若计算两根之和时错误地算成（实际应为），那么按照错误的两根之和构造出的方程就是错误的。 三、综合应用韦达定理与其他知识 知识点：在一些较复杂的数学问题中，会结合韦达定理与其他知识，如判别式、因式分解、完全平方公式等进行求解。 例如，已知方程有两个相等的实数根，且两根之积为，求的值。 因为方程有两个相等的实数根，所以，即，解得。 又因为两根之积，由韦达定理可知，所以，解得。 当时，代入，可得，解得；当时，代入，可得，解得。 易错点提示： 1.知识的综合运用能力不足：不能很好地将韦达定理与其他相关知识衔接起来，导致在解题过程中思路中断或无法准确解题。 错误示例：在上述例子中，如果只考虑了判别式求出，而忘记结合两根之积以及韦达定理进一步确定的具体值，就不能完整地解出这道题。 2.对题目条件的分析不全面：没有充分理解题目中给出的关于方程根的各种条件，遗漏关键信息，从而导致解题错误。 错误示例：在同样的例子中，若没有注意到两根之积为这个条件，只根据判别式求出的值后就停止解题，那么就无法准确得出符合所有条件的值。 巩固练习 一、选择题 1．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 2．已知实数 ， 满足 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 3．设是一元二次方程的两根，则（　　） A．2 B． C． D．10 4．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（　　） A．或3 B． C．3 D．或7 5．若是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（　　） A．3 B．－1 C．3或1 D．－3或1 7．小州与小冬在解方程时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是和，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是和，则与的值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．已知m，n是关于 的一元二次方程 的两实数根，则 的最小值是（　　） A．7 B．11 C．12 D．16 二、填空题 9．已知方程的一个根是3，则另一个根是　 　． 10．设a，b是一元二次方程. 的两根，则 的值为　 　. 11．若是方程的两根，则的值为　 　． 12．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则　 　． 13．已知是方程的两个根，则的最小值为 　 ． 三、解答题 14．关于x的一元二次方程 （1）证明：方程总有两个不相等的实数根. （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且 求 m 的值及方程的根. 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根，满足，求的值. 16．已知方程 的两个根是x1，x2，那么x1+ 请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知a，b满足 求 的值. （2）已知a，b，c 均为实数，且a+b+c=0， abc=16，求正数c 的最小值. 17．关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 18．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． （1）两个根的平方和为12； （2）两个根均大于； （3）． 参考答案 1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9． 10．11 11． 12．-2 13．16 14．（1）解：∵a=1，b=-(m-3)=3-m，c=-m2， ∴ （2）解：∵，x1+x2=m-3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|-2，即|x1|-|x2|=-2，若x1>0，x2<0，上式化简得：x1+x2=-2，∴m-3=-2，即m=1，方程化为x2+2x-1=0，解得：，x2=-1-2，若x1<0，x2>0，上式化简得：-(x1+x2)=-2，∴x1+x2=m-3=2，即m=5，方程化为x2-2x-25=0，解得：， 15．（1）解：根据题意得，解得； （2）解：，，∵，∴， 整理得，解得，，而，∴. 16．（1）解：当a≠b时，则a，b 为方程 的两根， ∴a+b=15， ab=-5. ∴原式 当a=b时，原式=2. 综上所述，原式=-47或2 （2）解： 由条件得 ， 则a，b 为方程 的两实根， 即c≥4. 故c的最小值为4 17．（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴的周长为． 18．（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2 （2）解：∵一元二次方程，∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解：，则 解得： 整理得： ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$