专题03 集合与常用逻辑用语必刷优质好题速递9大题型62题（压轴题专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专练03 集合与常用逻辑用语必刷题型 （9大题型62题） 题型01 利用集合中元素的性质求集合元素个数 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 【答案】C 【分析】分类讨论的值，即可得方程组解的情况. 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 3．（24-25高一下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 4．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 5．（23-24高一上·福建厦门·月考）若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 【答案】B 【分析】首先由题意方程变形为两个数相乘，即，依次讨论n为奇数或偶数，得到满足条件的n,从而得到集合A的元数个数． 【详解】由题意可知，即， 当是偶数时，是奇数， 当，此时，解得，满足条件， 以此类推，，共10个n，每一个n对应位于的m， 当是奇数时，是偶数，此时共10个n， 综上可知满足条件的n有20个数，每一个n对应唯一的m, 所以集合A的元素个数为20个． 故选：B． 题型02 元素与集合的关系中的参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·广东珠海·月考）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】依题意中一定含有元素0，即可得，可得实数的取值范围. 【详解】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 故选：B 2．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果. 【详解】因为 所以有，解得或 当时，不满足集合中元素的互异性， 故 则 故选:B. 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·月考）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 【答案】1 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 5．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 6．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 题型03 根据集合的包含关系求参数 一、单选题 1．（24-25高一下·云南·月考）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真子集列出不等式即可求解. 【详解】因为，，且MN， 所以， 故选：A 2．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【答案】A 【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可. 【详解】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A 3．（24-25高一上·天津·月考）若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，再列出不等式组解之即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据，得出，是解决本题的关键. 二、多选题 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设集合，，若，则实数的值可能是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】ACD 【分析】根据题意分析可知，分类讨论结合包含关系求实数的取值范围. 【详解】因为， 且，则， 对于，则有： 若，则，符合题意； 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：实数的取值范围为， 结合选项可知：ACD正确，B错误. 故选：ACD. 三、填空题 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 6．（24-25高一上·广东佛山·月考）设集合，，若且，则的取值范围 . 【答案】 【分析】根据且，列不等式组求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以，解得，， 因此的取值范围为, 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知集合，若，求的取值范围 【答案】或 【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答. 【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则， 当时，由，得或，解得或， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 题型04 集合的交、并、补运算及参数问题 一、单选题 1．（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解. 【详解】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 2．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由补集、交集和并集定义依次求出、、和，再由子集定义结合交集和并集定义即可逐项判断各选项得解. 【详解】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 4．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据集合与集合的交集和并集运算结果，确定集合与集合中元素，再根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】，， 得，解得. 故. 又因为，所以得. 代入得，解得：， 综上可得：. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高一下·湖北黄石·月考）设，，若，则实数a的值为 . 【答案】或或 【分析】化简集合，讨论，，两种情况，即可求得a的值． 【详解】集合， 由可得， 若，，满足， 若，，若， 则或 得或． 综上，实数a的取值为或0或1． 故答案为：或0或1． 6．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，.若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据交集结果确定参数范围即可. 【详解】由题设交集不为空，即即可，故. 故答案为： 7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先得到，从而由交集为空集得到的取值范围. 【详解】由题意得，故， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·月考）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 9．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，集合，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由补集运算得，再结合并集运算与数轴数形结合可得的取值范围. 【详解】因为，所以或. 又因为， 观察与在数轴上表示的范围，如图所示： 所以当时，. 故答案为：. 10．（2025高一·全国·专题练习）已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由可得到，运用集合间的关系可得到关于的不等式，解不等式即可得到答案. 【详解】因为A为非空集合，则， 解得；， 若，则， 则或， 解得或，又， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为：. 题型05 韦恩图及容斥原理 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·月考）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 3．（2025高一上·全国·专题练习）某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（   ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为，故选A． 【点睛】考查运用韦恩图的解决集合中的容斥问题。 二、多选题 4．（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知全集U，集合A，B如图所示，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据韦恩图及集合的交并补运算，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】    选项A，，则，故A正确； 选项B，，则，故B错误； 选项C，，则，故C正确； 选项D，，则，故D错误. 故选：AC 三、填空题 5．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 6．（24-25高一上·浙江·期中）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 【答案】180 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】依题意，， 而，， 所以 . 故答案为：180 题型06 集合的新定义问题 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·月考）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 二、填空题 3．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或, 故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 三、解答题 4．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，，，，. 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【详解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 5．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请写出集合和． (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值31，最小值11，理由见解析 【分析】（1）根据、的定义来求得正确答案. （2）根据非空子集的个数确定最大值，利用特殊值法来确定最小值. 【详解】（1），， 所以， ，， ， 所以. （2）最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素． 可以构造如下集合：，这个集合的元素均为素数， 中最大的元素为，则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同， 从而集合由该数字的所有大于1的因数组成， 所以中元素个数的最大值为31． 最小值：不妨设，取，显然有， 则， 则至少有11个元素． 可以构造如下集合：， 此时，所以中元素个数的最小值为11． 综上所述，中元素个数的最大值为31，最小值为11. 【点睛】方法点睛： 对于根据新定义求集合的问题，关键是要准确理解定义中各个符号的含义和运算规则，然后按照规则对给定集合的相关情况进行逐一分析和计算. 求集合元素个数的最值问题，对于最大值，通常可以从集合的基本性质（如子集个数）出发进行分析，通过构造特殊集合来验证；对于最小值，需要根据题目条件（如元素的性质、大小关系等）进行推理，同样通过构造合适的集合来验证.在构造集合时，要充分考虑如何满足题目要求，使构造的集合能够清晰地说明最值的情况. 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 题型07 充分、必要条件及参数问题 一、单选题 1．关于x的方程，以下命题正确的个数为（    ） （1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于（1），举反例，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出 ，可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例，即可判断. 【详解】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错； 对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，. 充分性：由可得，所以及, 方程 有一正根和一负根，（2）对； 对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错. 故选：B 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意. 故选：D. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意可得⫋，根据必要不充分条件的概念可得结果. 【详解】∵4与10的最小公倍数为20， ∴是4与10的公倍数， ∵， ∴⫋，即由得不到，由能得到， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高一上·浙江·月考）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】用立方差公式，按照充要条件的定义推理即可. 【详解】依题意有， 故，， 于是即，充分性获证， 取，则，但，故无必要性， 故选：A. 5．（24-25高一上·重庆·期中）设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】取，则，则，故“”推不出“”. 若，设，其中，， 此时，故成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25高一上·天津西青·月考）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过集合关系即可求解. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·月考）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件， 设集合或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为： 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设条件p对应集合A，条件q对应集合B，则．（1）由题得集合B是集合A的真子集，当时，有，此时；当时，有此时，所以实数m的取值范围是．（2）或．由题意知，所以．若中只有一个整数，则，得． 题型08 全称量词命题和存在量词命题及参数问题 一、单选题 1．（23-24高一上·云南红河·月考）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 【答案】D 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得. 【详解】选项A：因无实数解，故命题，为假命题，其否定为真命题，故A错误； 选项B：当时，，当时，， 故，即命题，为假命题，其否定为真命题，故B错误； 选项C：当时，因为， 所以，即， 故命题，为真命题，其否定为假命题，故C正确； 选项D：，因，所以不一定为有理数， 故命题，为假命题，其否定为真命题，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·天津·月考）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 二、填空题 5．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 6．（23-24高一上·重庆合川·月考）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出，为真命题时的取值范围，可得与同时为真命题时的取值范围，进而即得. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 7．（23-24高一下·山东东营·月考）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案. 【详解】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 8．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 题型09 集合与常用逻辑用语中的结构不良问题 一、解答题 1．（23-24高一上·江苏南京·月考）设全集为，集合或，非空数集. (1)若，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）确定，再计算交集得到答案. （2）确定三个条件均等价于，根据得到，再根据得到或，计算得到答案. 【详解】（1）时，，或，. （2）若选项①，，则； 若选择②，，则； 若选择③，，则. 三个条件均等价于， ，则，解得， ，则或，解得或 综上所述：实数的取值范围是. 2．（24-25高一上·北京大兴·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围． 条件（1）：； 条件（2）：“”是“”的充分条件． 注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【分析】（1）由集合的交并补运算得到结果即可； （2）选条件（1）时由补集和集合间的包含关系计算即可；选条件（2），先由充分条件得到，再计算即可； 【详解】（1）当时，， 所以， 或，所以， （2）选条件（1）， 或，， 因为，所以，即； 选条件（2）， 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，即. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【详解】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 4．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专练03 集合与常用逻辑用语必刷题型 （9大题型62题） 题型01 利用集合中元素的性质求集合元素个数 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期中）关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 3．（24-25高一下·北京·期中）已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 4．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高一上·福建厦门·月考）若集合，则集合的元素个数为（    ） A．19 B．20 C．81 D．100 题型02 元素与集合的关系中的参数问题 一、单选题 1．（24-25高一上·广东珠海·月考）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）已知，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·月考）设，若集合中的最大元素为3，则 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 5．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 6．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 7．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 题型03 根据集合的包含关系求参数 一、单选题 1．（24-25高一下·云南·月考）已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 3．（24-25高一上·天津·月考）若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设集合，，若，则实数的值可能是（   ） A． B． C．0 D．2 三、填空题 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·广东佛山·月考）设集合，，若且，则的取值范围 . 7．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知集合，若，求的取值范围 题型04 集合的交、并、补运算及参数问题 一、单选题 1．（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高一下·湖北黄石·月考）设，，若，则实数a的值为 . 6．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，.若，则实数a的取值范围是 7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 . 8．（24-25高一上·上海·月考）已知集合若，则实数的取值范围是 . 9．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，集合，则的取值范围是 . 10．（2025高一·全国·专题练习）已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 题型05 韦恩图及容斥原理 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·月考）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025高一上·全国·专题练习）某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（   ） A．27 B．23 C．25 D．29 二、多选题 4．（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知全集U，集合A，B如图所示，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 6．（24-25高一上·浙江·期中）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 题型06 集合的新定义问题 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·月考）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 2．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知，，，记，，若，则集合为 . 三、解答题 4．（23-24高一上·北京·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 5．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请写出集合和． (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 6．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 题型07 充分、必要条件及参数问题 一、单选题 1．关于x的方程，以下命题正确的个数为（    ） （1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·浙江·月考）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·重庆·期中）设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一上·天津西青·月考）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·上海·月考）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若仅有一个整数使得“p不成立，且q成立”，则实数m的取值范围是 ． 题型08 全称量词命题和存在量词命题及参数问题 一、单选题 1．（23-24高一上·云南红河·月考）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·天津·月考）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 6．（23-24高一上·重庆合川·月考）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 7．（23-24高一下·山东东营·月考）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为 . 8．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 题型09 集合与常用逻辑用语中的结构不良问题 一、解答题 1．（23-24高一上·江苏南京·月考）设全集为，集合或，非空数集. (1)若，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·北京大兴·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围． 条件（1）：； 条件（2）：“”是“”的充分条件． 注：如果选择条件（1）和条件（2）分别解答，按第一个解答计分． 3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$