2.6 幂函数与二次函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

2.6 幂函数与二次函数 知识梳理 一．幂函数的概念 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．特征 系数： 1 底数： 仅是自变量x 指数： 常数 【注】只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数．对于形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5……等形式的函数都不是幂函数． 二．幂函数的图象与性质 1. 常见5种幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0] 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调减，在(0，＋∞)上单调递减 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 2. 同一坐标系内幂函数的图象 【观察可得】幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （1）幂函数指数对图象的影响 α的范围 过定点 单调性 α＞0[来 α＞1 (0,0)，(1,1) 单增 下凸递增，越来越靠近y轴 0＜α＜1 上凸递增，越来越靠近x轴 α＜0 (1,1) 单减 递减，且以两坐标轴为渐近线 特殊 α=0 y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. α=1 y=x的图象是一条直线. （2）幂函数在第一象限内指数变化规律 在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； 在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 3. 幂函数的性质总结 （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点； （2）定点与单调性 α的范围 过定点 单调性 α＞0[来 α＞1 (0,0)，(1,1) 单增 下凸递增，越来越靠近y轴 0＜α＜1 上凸递增，越来越靠近x轴 α＜0 (1,1) 单减 递减，且以两坐标轴为渐近线 （3） 奇偶性与所过象限 整数 奇数 → 奇函数 偶数 → 偶函数 分子为偶数且分母为奇数，则为偶函数 分数 分子分母都是奇数，才是奇函数 分母为偶数，则非奇非偶 奇函数过一三象限，偶函数过一二象限，非奇非偶函数只过一象限 典例剖析 【考点一 幂函数的定义】 【题型一 幂函数的判断】 【方法技巧】判断一个函数是否为幂函数的方法 形式： y＝xα (α为常数) ①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 1．下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25广西南宁高二下期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（25湖南郴州水业水平测试）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【考点二 幂函数的图象与性质】 【题型一 幂函数的图象特征】 （过定点） 3．（24广东揭阳高一上月考）（多选）已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 4．（24福建莆田高一上期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . （图象特征判断） 5．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 6．（安徽淮北高一下开学）给定一组函数解析式：；；；：；；及如图所示的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序 ． 【题型二 幂函数的性质及应用】 （单调性） 7．（25山东济宁高二下期末）若幂函数在上是增函数，则实数 ． 【变式】（25湖南娄底高三下模拟）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25重庆八中高二下期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（24天津高三上月考）三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． （单调性、奇偶性综合） 9．（25四川成都高一下期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 10．（24江苏南京高一上月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24河南高二上开学）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 知识梳理 三．二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 ①一般式：； ②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2．二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 b＝0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，否则，非奇非偶函数 递增区间 递减区间 3． 二次函数在闭区间的最值（值域）问题 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. （1）三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间. （2）解题关键：确认对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合。 典例剖析 【考点三 二次函数及应用】 【题型一 二次函数的解析式与图象判断】 11．（25福建福州高一上期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 12．（24云南高一下期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 13．已知二次函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【题型二 二次函数的单调性及应用】 14．（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【练习】“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25广西桂平高一下期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（24北京高一上期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24浙江杭州高一上期末）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； 【题型三 二次函数在闭区间上的值域（最值）问题】 【归纳总结】二次函数在闭区间上的最值（值域）问题 1. 根本：利用图象，确认对称轴与区间的关系，确定最值在何处取得，是端点还是顶点，进而求解 2. 分类讨论思路：抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴。根据对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，从而确定参数. 常分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系） （定轴定区间） 17．（24贵州六盘水高一上期末模拟）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 18．（25贵州遵义高一下月考）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . （动轴定区间） 19．（24河北廊坊高一上月考）已知函数（），设函数在区间上的最小值为，求的表达式； （定轴动区间） 20．（24浙江杭州高一上入学）已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24湖北武汉高一上开学）已知二次函数.当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【题型四 根据二次函数的值域（最值）求参数】 21．（24山东菏泽高三上期末）已知函数，若函数的最大值为0，则实数m的值为 ． 【变式】（24湖北武汉高一上开学）已知二次函数在时有最小值，则 . 22．（24湖北十堰高一上期末）已知函数 ，若函数 在区间 上的最大值为 求a的值． 23．已知函数在时的最小值为，则实数的取值范围是 ． 24．（24上海高二下期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 第 2 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 幂函数与二次函数 知识梳理 一．幂函数的概念 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．特征 系数： 1 底数： 仅是自变量x 指数： 常数 【注】只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数．对于形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5……等形式的函数都不是幂函数． 二．幂函数的图象与性质 1. 常见5种幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0] 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调减，在(0，＋∞)上单调递减 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 2. 同一坐标系内幂函数的图象 【观察可得】幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． （1）幂函数指数对图象的影响 α的范围 过定点 单调性 α＞0[来 α＞1 (0,0)，(1,1) 单增 下凸递增，越来越靠近y轴 0＜α＜1 上凸递增，越来越靠近x轴 α＜0 (1,1) 单减 递减，且以两坐标轴为渐近线 特殊 α=0 y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. α=1 y=x的图象是一条直线. （2）幂函数在第一象限内指数变化规律 在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； 在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 3. 幂函数的性质总结 （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点； （2）定点与单调性 α的范围 过定点 单调性 α＞0[来 α＞1 (0,0)，(1,1) 单增 下凸递增，越来越靠近y轴 0＜α＜1 上凸递增，越来越靠近x轴 α＜0 (1,1) 单减 递减，且以两坐标轴为渐近线 （3） 奇偶性与所过象限 整数 奇数 → 奇函数 偶数 → 偶函数 分子为偶数且分母为奇数，则为偶函数 分数 分子分母都是奇数，才是奇函数 分母为偶数，则非奇非偶 奇函数过一三象限，偶函数过一二象限，非奇非偶函数只过一象限 典例剖析 【考点一 幂函数的定义】 【题型一 幂函数的判断】 【方法技巧】判断一个函数是否为幂函数的方法 形式： y＝xα (α为常数) ①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 1．下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B：符合要求. 故选：B. 【变式】（25广西南宁高二下期末）“”是“为幂函数”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求得为幂函数时的值，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，为幂函数，故充分性满足； 当为幂函数时，， 即，解得或，故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 2．（25湖南郴州水业水平测试）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 . 【答案】 【分析】待定系数法，设幂函数的解析式，代点可得. 【详解】设幂函数，代入点，得，所以， 所以函数的解析式. 故答案为： 【考点二 幂函数的图象与性质】 【题型一 幂函数的图象特征】 （过定点） 3．（24广东揭阳高一上月考）（多选）已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】广东省揭阳市揭东区第三中学2024-2025学年高一上学期第2次阶段考试数学试题 【分析】代入计算函数值即可求解. 【详解】因为时，，， 故选：BCD. 4．（24福建莆田高一上期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 （图象特征判断） 5．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 6．（安徽淮北高一下开学）给定一组函数解析式：；；；：；；及如图所示的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进行判断即可． 【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象； 是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象； 的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象； 的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象： 的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象； 的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象； 是奇函数的应用为R，则上是增函数，对应第5个图象 故7个函数解析式依次排序， 故答案为 【点睛】本题主要考查幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进行判断是解决本题的关键． 【题型二 幂函数的性质及应用】 （单调性） 7．（25山东济宁高二下期末）若幂函数在上是增函数，则实数 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及单调性列式求解. 【详解】由幂函数在上是增函数，得， 所以. 故答案为：4 【变式】（25湖南娄底高三下模拟）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 8．（25重庆八中高二下期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可判断，利用幂函数的单调性可判断，得解. 【详解】因为是R上的减函数，又，所以，即， 因为函数在上单调递增，，所以，即， . 故选：D. 【变式】（24天津高三上月考）三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D （单调性、奇偶性综合） 9．（25四川成都高一下期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性对选项逐一判断即可. 【详解】设，其图象经过点， 则，解得，故， 那么的定义域为，故A错误； 的值域为，故B正确； 因为，则为偶函数，故C正确； 因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：BC. 10．（24江苏南京高一上月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 【变式】（24河南高二上开学）已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 知识梳理 三．二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 ①一般式：； ②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. ③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2．二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 b＝0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，否则，非奇非偶函数 递增区间 递减区间 3． 二次函数在闭区间的最值（值域）问题 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. （1）三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间. （2）解题关键：确认对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合。 典例剖析 【考点三 二次函数及应用】 【题型一 二次函数的解析式与图象判断】 11．（25福建福州高一上期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 12．（24云南高一下期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可. 【详解】抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 抛物线与轴相交于正半轴， ， ，故A错误； 抛物线的对称轴为， ， ，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ，故D错误. 故选：C. 13．已知二次函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】A选项，根据图象分析单调性即可；B选项，根据三个“二次”的关系解不等式；C选项，根据图象判断函数值的大小；D选项，根据三个“二次”的关系得到是的两个根和，然后解不等式. 【详解】由图可知，二次函数图象的对称轴为，又图象开口向上， 所以在区间上单调递减，A对； 由图知：不等式的解集为，B对； 由图知：，C错； 根据二次函数与一元二次方程的关系，是的两个根， 所以，，且， 所以，解集为，D对. 故选：C. 【题型二 二次函数的单调性及应用】 14．（1）若函数的单调递增区间是，则实数的取值范围是 ； （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】（1）对称轴直线恰好在直线处，即，即． （2）对称轴直线应在直线处或其左侧，即，解得． 【练习】“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 15．（25广西桂平高一下期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 16．（24北京高一上期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，再结合的性质求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 【变式】（24浙江杭州高一上期末）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）确定二次函数对称轴即可求解； （2）由，，三种情况分类讨论即可； 【详解】（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）， 当时，，显然在区间上单调递增，符合； 当时，对称轴为：，且开口向上， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 当时，对称轴为：，且开口向下， 若函数在区间上单调递增，需满足：， 解得：， 综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围； 【题型三 二次函数在闭区间上的值域（最值）问题】 【归纳总结】二次函数在闭区间上的最值（值域）问题 1. 根本：利用图象，确认对称轴与区间的关系，确定最值在何处取得，是端点还是顶点，进而求解 2. 分类讨论思路：抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴。根据对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，从而确定参数. 常分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系） （定轴定区间） 17．（24贵州六盘水高一上期末模拟）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 18．（25贵州遵义高一下月考）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 【变式】当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解. 【详解】当时，有恒成立，满足题意； 当时，令，对称轴为， 时，在单调递减，单调递增， 则有，解得， 时，在单调递增，单调递减， 则有，解得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. （动轴定区间） 19．（24河北廊坊高一上月考）已知函数（），设函数在区间上的最小值为，求的表达式； 【答案】 【分析】由函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，分类讨论，求得函数的最大值，进而求得的表达式； 【详解】解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （定轴动区间） 20．（24浙江杭州高一上入学）已知二次函数，当时，函数最大值为，最小值为.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数的增减性，求出、，根据可求得实数的值. 【详解】二次函数的对称轴为直线，且， 若，且当时，随着的增大而减小， 故，， 因为，故，整理得，， 故方程无解，不合乎题意； 若，当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大. 故， 若，则，此时， 若，则，由得，可得， 因为，解得，所以，. 综上所述，. 故选：C. 【变式】（24湖北武汉高一上开学）已知二次函数.当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，进而根据得到关于的方程，解方程即可. 【详解】 当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 【点睛】方法点睛：“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 【题型四 根据二次函数的值域（最值）求参数】 21．（24山东菏泽高三上期末）已知函数，若函数的最大值为0，则实数m的值为 ． 【答案】或 【分析】利用二次函数的性质即可求解； 【详解】， 由二次函数的性质，的最大值为， 因为函数的最大值为0， 所以即，解得或. 【变式】（24湖北武汉高一上开学）已知二次函数在时有最小值，则 . 【答案】3或 【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ①，抛物线开口向上，时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 又时有最小值， ∴时，有最小值， 解得： ； 故答案为：3或. 22．（24湖北十堰高一上期末）已知函数 ，若函数 在区间 上的最大值为 求a的值． 【答案】 【分析】对对称轴分类讨论，结合函数单调性分析，即可求出a的值. 【详解】的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 无最大值不合题意； 当 即 时，在 上递减，无最大值不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 ( 舍去)， 所以 23．已知函数在时的最小值为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由对称轴求得最小值为，确定，求解即可. 【详解】由，可得对称轴为， 当时，， 也即， 解得：， 故答案为： 24．（24上海高二下期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【分析】由题意得，解方程组可得的值. 【详解】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． 故答案为：5． 第 2 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$