黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期期末数学试卷

第一部分 客观题(请用 2B铅笔填涂) @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 第二部分 主观题(请用黑色签字笔作答) 牡丹江市第二高级中学高二学年答题卡（数学） 姓名:________________________ 条 码 粘 贴 处 准 考 证 号 缺考标记/违纪标记： 考生禁填！由监考老师 负责用黑色字迹的签 字笔填涂。 缺考、违纪： Q 注 意 事 项 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写 清楚。 2. 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方 框内。 3. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 黑色字迹的签字笔填写，字体工整。 4. 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围 的答案无效，在草稿纸、试卷上作答无效。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不 准使用涂改液、刮纸刀。 涂 点 填 涂 样 例 有效填涂 $ 无效填涂 %^&* 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 12.______________________ 13.______________________ 14.______________________ 16.(15分) 15.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 高二年级·数学·试题 第 1 页 共 5 页 牡丹江二中 2024—2025学年度第二学期高二学年期末试题 数学 考生注意 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上 。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题 卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．． ,．在试题卷．．．．、．草稿纸上作答．．．．．． 无效．．。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合  2, 1,0,1, 2A    ，  2 4 3 0B x x x    ，则 A B  （ ） A． 1,0 B． 0,1 C． 1,0,1 D． 0,1,2 已知变量 x与 y负相关，且由观测数据算得样本平均数 4, 5.6x y  ，则由该观测的数据算 得的线性回归方程可能是（ ） A． 0.4 4y x  B． 1.2 0.7y x  C． 0.6 8y x   D． 0.7 8.2y x   3．已知 ln( 4 ) 2 ln lnx y x y   ，则 12 1 x y  的最小值为（ ） A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 2 4．若 6 1( )ax x  的展开式中常数项等于 20 ，则其展开式各项系数之和为（ ） A．1 B．32 C．0 D．64 5．已知函数   lnf x x x  ，则  f x 单调递增区间是（ ） A．  , 0 B．  1, C．    , 0 1,   D．  0,1 6．“ 1a  ”是“二次函数   2 2 1f x ax x   在区间  1, 上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 高二年级·数学·试题 第 2 页 共 5 页 7．已知 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x    ，若 (2 1) ( )f a f a   ，则实数 a的取值范围是（ ） A． 1, (1, ) 3        B． 1( ,0) 0, 3        C． 10, 3       D．(0,1) 8．  f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时，有    2 0xf x f x   恒成立，则（ ） A．    1 4 2f f B．    1 4 2f f   C．    4 2 9 3f f D．    4 2 9 3f f   二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．下列说法中，正确的命题是（ ）． A．已知随机变量 X 服从正态分布  22,N  ，  4 0.8P X   ，则  2 4 0.2P X   B．线性相关系数 r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 y a bx   ，若 2b  ， 1x  ， 3y  ， 则  1a  D．若样本数据 12 1x  ， 22 1x  ，…， 162 1x  的方差为 8，则数据 1x ， 2x ，…， 16x 的方 差为 2 10．下列命题中，正确的命题是（ ） A．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约 40%的人近视，而该校大约有 20%的学生每天玩手机超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的 学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 3 8 B．在三位数中，形如“ aba ( )b a ”的数叫做“对称凹数”，如： 212，434，，则在 所有三位数中共有37个对称凹数 C．北京 2022年冬奥会即将开幕，北京某大学 5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志 愿者，每名同学只去 1个场馆，每个场馆至少安排 1名志愿者，则不同的安排方法共 有 150种 D．用数字 0，1，2，3，4组成没有重复数字且比 1000大的四位奇数共有 36个 高二年级·数学·试题 第 3 页 共 5 页 11．已知函数  f x 是R 上的奇函数，    2 0f x f x   ，且当0 1x  时，   2f x x ．函 数  g x 是R 上的偶函数，      g x y g x g y  ，且   0g x  ，则下列结论正确的是（ ） A．函数  f x 的图象关于直线 1x  对称 B．  f x 是周期为 4的周期函数 C．  g x 在 0, 上单调递增 D．                    0 2025 1 2024 2 2023 3 2022 2024 1 0f g f g f g f g f g       三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．函数 2 1( ) 2 9 f x x x     的定义域是 . 13．某种疾病的患病率为 0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为 0.49，则已知在患该种 疾病的条件下血检呈阳性的概率为 . 14．已知函数 f(x)＝ 2, ( ,0] , (0, )x x x e x       ，若存在 x1，x2（x2＞x1）满足 f（x1）＝f（x2），则 x2﹣2x1的取值范围为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 3 2( ) 2f x x ax x   在 1x  处取得极值. (1)求函数 ( )f x 的单调区间； (2)求函数 ( )f x 在区间[ 1,2] 的最大值与最小值. 16．（15分）已知函数   2 3f x x ax   . (1)当 4a   时，求不等式   0f x  的解集； (2)若关于 x的不等式   26 3f x a  的解集为 24, 4a a   ，求实数 a的值. 高二年级·数学·试题 第 4 页 共 5 页 17．（15分）近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为 AI手机）逐渐成为市场新宠. 为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了 200位顾客购买手机的情况，得到数据如 下表： 购买 AI手机 购买不带 AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 (1)依据小概率值 0.001  的独立性检验，能否认为购买 AI手机与顾客的性别有关？ (2)为提升 AI手机的销量，该手机商城针对购买 AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则 如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励 200元、100元手机话费，抽中一、二等奖 的概率分别为 1 3 、 1 2 ，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相 互独立，记某购买 AI手机的顾客两次所获得奖金之和为 X 元，求 X 的分布列和数学期望. 参考公式：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        ， n a b c d    . a 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 ax 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二年级·数学·试题 第 5 页 共 5 页 18．（17分）2021年 7月 24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教 育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在 “双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了 40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间， 并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示. (1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点 值代替）； (2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间 t（分钟）服从正态分布  2,13.4N  ，其中μ 为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取 5名学生，记课外活动时间在  49.1,89.3 内的人数为 X，求 X的数学期望（精确到 0.1）. 参考数据：当 X服从正态分布  2,N   时， ( ) 0.6827P X        ， ( 2 2 ) 0.9545P X        ， ( 3 3 ) 0.9974P X      ≤ . 19．（17分）已知函数 ( ) ln( )f x a x  ． (1)当 2a  时，求 ( )f x 在 1x  处的切线的倾斜角； (2)若 0x  是函数 ( ) ( )g x xf x 的极值点， （i）求实数 a的值； （ii）设函数 ( )( ) ( ) x f xF x xf x   ．证明： ( ) 1F x  试题答案 1．D 【详解】解不等式，得或，即或，而， 所以. 故选：D 2．C 因为， 而，故C符合题意， 又，故D错误. 故选：C 3．D 【详解】由题意，知，.由，得， 两边同时除以，得. 因为， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 4．C 【详解】因为的展开式中常数项等于， 所以由， 当， 此时常数项为：， 所以， 令，其展开式各项系数之和为0， 故选：C. 5．B 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 6．A 【详解】二次函数在区间上单调递增可得，解得， 又是的充分不必要条件. 故选：A 7．C 【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得． 8．C 【详解】解：令， 则， 因为， 所以， 则在上递增， 又是偶函数，且是定义在R上的奇函数， 所以是定义在R上的奇函数， 则在上单调递增， 所以，即，故A错误； ，即，故B错误； ，即，故C正确； ，即，故错误， 故选：C 9．CD 【详解】A. 已知随机变量服从正态分布，，则，所以， 所以, ∴，故A错误； B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误； C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确； D. 设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确. 故选:CD. 10．ACD 【详解】对于A，假设该学校的学生数为，因为该校学生大约40%的人近视，所以该校学生大约有人近视，因为该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，所以该校大约有人学生每天玩手机超过1，所以该校有人学生每天玩手机不超过1，因为每天玩手机超过1的近视率约为50%，所以该校每天玩手机超过1的近视的学生人数为，所以该校每天玩手机不超过1的近视的学生为，所以从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为，故正确； 对于B，当时，，共有9个“对称凹数”， 当时，，共有8个“对称凹数”， 当时，，共有7个“对称凹数”， 当时，，共有6个“对称凹数”， 当时，，共有5个“对称凹数”， 当时，，共有4个“对称凹数”， 当时，，共有3个“对称凹数”， 当时，，共有2个“对称凹数”， 当时，，共有1个“对称凹数”， 则在所有三位数中共有个对称凹数，故错误； 对于C，5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者有和两种分法， 当为时，有种安排分法，当为时，有种安排分法， 则不同的安排方法共有150种，故正确； 对于D，用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个 当千位是1个位数字是3时，中间两个数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是2个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是2个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是3个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是4个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 当千位是4个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个， 所以共有36个数字，故正确； 故选：ACD. 11．ABD 【详解】因为，所以，所以， 又函数是上的奇函数，所以，则， 即函数的图象关于直线对称，故A正确； 由可得， 所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 函数是上的偶函数，，且， 令得，所以，令得， 所以，所以在上为常数函数，故C错误； 因为函数是上的奇函数，所以，又当时，， 所以，则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD 12． 【详解】要使得函数有意义，需满足， 解得且，所以函数的定义域是. 故答案为：. 13．0.98 【详解】设事件“血检呈阳性”， “患该种疾病”， 依题意知，， 由得， 故答案为：. 14．[ln2，2） 【分析】用表示出，得出关于的函数，根据的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】显然，， 由题意可知，故， ， 由可得，故，， 设， 则，在，上单调递减， 又，， ． 故答案为：，． 15． 【详解】（1）由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 16． 【详解】（1）当时，不等式等价于， ∴，解得或. ∴不等式的解集为. （2）不等式等价于， ∴不等式的解集为. ∵方程的两个根为和， ∴或，解得， ∴实数的值为. 17 【详解】（1），所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）根据题意可能取值为： ； ； ； ； ； 的分布列为 的期望. 18． 【详解】（1）由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x， 则，解得， 平均数为：； （2），， ，， ， 由题意知： 19．(【详解】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$Sheet1 （语文）学科（第一次月考）考试命题细目表 题号 题型 分值 主题 内容 核心素养 学业水平 预估难度 一级目标 二级目标 三级目标 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 水平一 水平二 水平三 1 单选 5 必修一 集合 集合运算 交集 √ √ 0.9 2 单选 5 选必一 统计 线性回归方程 样本点中心 √ √ √ 0.85 3 单选 5 选择性必修一统计 一元二次方程不等式 不等式 基本不等式 √ √ √ 0.8 4 单选 5 选必三 计数原理 二项式定理 二项展开式 √ √ √ 0.8 5 单选 5 选必二 一元函数的导数 导数 单调区间 √ √ √ 0.8 6 单选 5 必修一 集合与常用逻辑用语 充分条件与必要条件 必要条件 √ √ √ 0.7 7 单选 5 必修一 函数 函数的性质 奇偶性 √ √ √ 0.65 8 单选 5 选必二 一元函数的导数 导数 构造函数 √ √ √ 0.6 9 多选 6 选必三 随机变量及其分布 分布列 正态分布 √ √ √ 0.85 10 多选 6 必修二 计数原理 排列组合 组合 √ √ √ 0.65 11 多选 6 选必一 函数的概念与性质 函数的性质 对称性 √ √ √ 0.5 12 填空 5 选必一 函数的概念与性质 概念 定义域 √ √ 0.85 13 填空 5 选必二 随机变量及其分布 条件概率与全概率 条件概率 √ √ √ 0.8 14 填空 5 选必二 一元函数的导数 导数与函数的单调性 最值 √ √ √ 0.65 15 解答题 13 选必二 一元函数的导数 导数与函数的单调性 极值 √ √ √ 0.8 16 解答题 15 必修一 一元二次方程不等式 不等式 一元二次不等式 √ √ √ 0.8 17 解答题 15 选必一 统计 独立性检验 独立性检验 √ √ 0.7 18 解答题 17 必修二 统计 用样本估计总体 直方图 √ √ 0.6 19 解答题 17 选必二 一元函数的导数 导数的几何意义 切线方程 √ √ √ 0.5 Sheet2 （数学）学科（）考试命题细目表 题号 题型 分值 主题 内容 核心素养 学业水平 预估难度 一级目标 二级目标 三级目标 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 水平一 水平二 水平三 1 单选 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 多选 6 10 6 11 6 12 填空 5 13 5 14 5 15 解答 13 16 15 17 15 18 17 19 17 Sheet3 教学进度 ≥5个 3-4个 2个 1个 标准工作量 10节/周 12节/周 14节/周 16节/周 教学进度 ≥5个 3-4个 2个 1个 标准系数 1 1 1 1 标准工作量 10节/周 12节/周 14节/周 16节/周 实际系数 实际上课节数 实际上课节数 实际上课节数 实际上课节数 标准系数 1 1 1 1 实际系数 实际上课节数 实际上课节数 实际上课节数 实际上课节数 10 12 14 16 10 12 14 16 $$