四川省内江市2024-2025学年高一下学期期末检测数学试题

书 高一数学试卷第１　 页（共４页） 内江市 ２０２４ ～ ２０２５ 学年度第二学期高一期末检测题 数　 学 本试卷共４页，全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。 注意事项： １．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置。 ２．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 ３．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。 ４．考试结束后，监考人员将答题卡收回。 一、单选题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． １．关于非零向量ａ→，ｂ→，下列说法正确的是 Ａ．若｜ ａ→ ｜ ＞ ｜ ｂ→ ｜，则ａ→ ＞ ｂ→ Ｂ．若｜ ａ→ ｜ ＝ ｜ ｂ→ ｜，则ａ→ ＝ ｂ→ Ｃ．若ａ→ ＝ ｂ→，则ａ→∥ｂ→ Ｄ．若ａ→∥ｂ→，则ａ→ ＝ ｂ→ ２．复数ｚ ＝ ｉ·（３ｉ ＋ ２）的实部为 Ａ． － ３ Ｂ． － ３ｉ Ｃ． － ２ Ｄ． － ２ｉ ３．今年高考期间某市某日气温变化统计如下图．根据图中信息，下列说法错误的是 Ａ． ４００气温最低 Ｂ． ６００气温为２４℃ Ｃ． １４００气温最高 Ｄ．气温是３０℃的时刻为１６００ ４．若ｃｏｓ（π３ ＋ α）＋ ｃｏｓα ＝ ０，则ｔａｎα ＝ Ａ． －槡３３ Ｂ． 槡 ３ ３ 槡 槡Ｃ． ３ Ｄ． － ３ ５．在△ＡＢＣ中，→ＡＤ ＝ １３ →ＡＢ，点Ｅ在线段ＣＤ上，若→ＡＥ ＝ λ →ＡＢ ＋ １３ →ＡＣ，则λ ＝ Ａ． １６ Ｂ． １ ３ Ｃ． ２ ９ Ｄ． ２ ３ ６．范长江纪念馆坐落于范长江文化旅游园区，是收集保管、陈列展览、宣传范长江同志生平和 思想的综合性名人纪念馆，于２００９年在范长江诞辰１００周年之际建成开馆．某同学为测量 纪念馆的高度ＡＢ，在纪念馆的右侧有一旗杆ＣＤ，已知旗杆高约为１５ｍ，在地面上点Ｅ处 高一数学试卷第２　 页（共４页） （Ｂ，Ｅ，Ｄ三点共线）用仪器测得∠ＡＥＢ ＝ ４５°，∠ＣＥＤ ＝ ３０°，在Ｃ处测得∠ＡＣＤ ＝ １０５°，则纪 念馆的高度约为 Ａ． ２６ｍ Ｂ． ３０ｍ Ｃ． ３２ｍ Ｄ． ４２ｍ ７．某学校举办了一次数学竞赛（满分：１００分），参加竞赛的学生共有３０人，竞赛得分的总平均 值和方差分别是９０和５． ７，其中男生得分的平均值和方差分别是８８和２，女生得分的平均 值为９２，则女生得分的方差为 （参考公式：若总体划分为２层，各层样本量、样本平均数和样本方差分别为：ｍ，珋ｘ，ｓ２１；ｎ，珋ｙ，ｓ２２，记总 的样本平均数为珔ω，样本方差为ｓ２，则ｓ２ ＝ １ｍ ＋ ｎ｛ｍ［ｓ ２ １ ＋（珋ｘ －珔ω）２］＋ ｎ［ｓ２２ ＋（珋ｙ －珔ω）２］｝） Ａ． １． ２ Ｂ． １． ４ Ｃ． １． ６ Ｄ． ２ ８．在梯形ＡＢＣＤ中，→ＡＤ∥ →ＢＣ，→ＡＢ⊥ →ＢＣ，｜ →ＡＢ ｜ ＝ ２，｜ →ＢＣ ｜ ＝ ２ ｜ →ＡＤ ｜，若点Ｐ在线段ＢＣ上，则 ｜ →ＰＣ ＋ ３ →ＰＤ ｜的最小值是 Ａ． ５ Ｂ． ６ Ｃ． ７ Ｄ． ８ 二、多项选择题：本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中，有多项是符 合题目要求的．全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分． ９．已知向量ａ→，ｂ→满足ａ→ ＋ ｂ→ ＝（－ ２，１），ａ→ － ｂ→ ＝（２，３），则 Ａ．向量ａ→为单位向量 Ｂ． ｜ ａ→ ｜ ２ － ｜ ｂ→ ｜ ２ ＝ － １ Ｃ．向量ａ→与向量ｂ→的夹角的余弦值为槡５５ Ｄ．向量ａ→在向量ｂ→上的投影向量坐标为（４５ ， ２ ５ ） １０．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于３”为事件Ａ，“第二枚骰子出现 的点数不小于３”为事件Ｂ，则下列结论中正确的是 Ａ．事件Ａ与事件Ｂ不互斥 Ｂ．事件Ａ与事件Ｂ相互独立 Ｃ． Ｐ（Ｂ）＝ ２Ｐ（Ａ） Ｄ． Ｐ（Ａ）＋ Ｐ（Ｂ）＜ １ １１．当△ＡＢＣ内一点Ｐ满足条件∠ＰＡＢ ＝∠ＰＢＣ ＝∠ＰＣＡ ＝ θ时，称点Ｐ为△ＡＢＣ的勃罗卡点， 角θ为勃罗卡角．三角形的勃罗卡点于１８１６年首次被法国某数学家发现，而后于１８７５年被 法国军官勃罗卡重新发现且展开研究，最终用他的名字命名．如图，在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所 对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，记△ＡＢＣ的面积为Ｓ，点Ｐ是△ＡＢＣ的勃罗卡点，勃罗卡角为θ，则 Ａ．若ｂ ＝ ｃ时，ＰＢ２ ＝ ＰＡ·ＰＣ Ｂ．若ｂ ＝ ｃ且ＰＣ 槡＝ ２ＰＢ时，ｃｏｓθ ＝ 槡２ ５５ Ｃ． １ｔａｎθ ＝ １ｔａｎＡ ＋ １ ｔａｎＢ ＋ １ ｔａｎＣ Ｄ． ４Ｓ·ｔａｎθ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ 高一数学试卷第３　 页（共４页） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．某市高一学生共２１０００人，分为物理类和历史类，其中物理类学生共有１４０００人．为了解学 生的某项数据，现按物理类和历史类进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取３００人进 行调查研究，则历史类学生抽取　 　 　 　 人． １３．已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（其中Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π２ ）的部分图象如图所示，若将 ｆ（ｘ）的图象向左平移ｍ（ｍ ＞０）个单位长度后，得到的函数是偶函数，则ｍ的最小值为 　 ． １４．如图所示，在边长为１的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在线段ＢＡ、ＢＣ上运动．若△ＢＥＦ的 周长为定值２，△ＤＥＦ的面积为Ｓ，则∠ＥＤＦ的大小为　 　 　 ，面积Ｓ的最小值为 　 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． １５．（本小题满分１３分） 已知向量ａ→ ＝（３，２），ｂ→ ＝（－ ８，－ １），ｃ→ ＝（－ ８，ｘ）． （１）求ａ→·ｂ→； （２）若（ａ→ ＋ ｃ→）⊥（３ａ→ ＋ ｂ→），求实数ｘ的值． １６．（本小题满分１５分） 在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，已知ａｓｉｎＡ ＝ ｃｓｉｎＣ ＋ ｂ（ｓｉｎＢ － ｓｉｎＣ）． （１）求角Ａ； （２）若ａ ＝ ２，△ＡＢＣ的面积为槡３，求△ＡＢＣ的周长． 高一数学试卷第４　 页（共４页） １７． （本小题满分１５分） 某校组织高一年级学生进行了禁毒知识测试．根据测试成绩，将所得数据按照［４０，５０）， ［５０，６０），［６０，７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］分成６组，其频率分布直方图如图所示． （１）求ａ的值，并求该样本的第８０百分位数； （２）该校准备对本次禁毒知识测试成绩不及格（６０分以 下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出 ５名同学，再从抽取的这５名同学中随机抽取２名同学 进行情况了解，求这２名同学分数在［４０，５０），［５０，６０） 各一人的概率． １８．（本小题满分１７分） 如图，在△ＡＢＣ中，已知ＡＢ ＝ ６，ＡＣ ＝ ９，∠ＢＡＣ ＝ ６０°，→ＢＭ ＝ λ →ＢＣ（０≤λ≤１），点Ｎ为ＡＣ边 的中点，ＡＭ、ＢＮ相交于点Ｐ． （１）求｜ →ＢＮ ｜； （２）若λ ＝ ２３ ，求∠ＭＰＮ的余弦值； （３）求→ＭＡ·→ＭＢ取得最小值时实数λ的值． １９．（本小题满分１７分） 在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，面积Ｓ．请阅读下列材料回答相关问题： 材料一：若ｐ ＝ １２ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ），则Ｓ ＝ ｐ（ｐ － ａ）（ｐ － ｂ）（ｐ － ｃ槡 ），因为这个公式最早出现在 古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称之为海伦公式； 材料二：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了用于计算三角形面积的公式 Ｓ ＝ １４ ［ａ ２ｃ２ －（ｃ ２ ＋ ａ２ － ｂ２ ２ ） ２槡 ］，这个公式称之为秦九韶公式； （１）若△ＡＢＣ三条边长分别为７、８、９，求这个三角形的面积Ｓ； （２）若槡３ａ ＝ ａ·ｃｏｓＢ ＋ ２ｃｏｓＡ且ｂ ＝ ２，求Ｓ的最大值； （３）若△ＡＢＣ满足ｓｉｎＢ 槡＋ ２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＡ ＋ ２ｓｉｎＣ ＝ ａ － ｃ ｂ 槡－ ２ａ ，求Ｓ ａ２ 的最大值． 高一数学试题答案第１　 页（共３页） 内江市 ２０２４ ～ ２０２５ 学年度第二学期高一期末检测题 数学参考答案及评分意见 一、单选题：本题共８小题，每小题５分，共４０分． １． Ｃ　 ２． Ａ　 ３． Ｄ　 ４． Ｃ　 ５． Ｃ　 ６． Ｂ　 ７． Ｂ　 ８． Ｂ 二、多选题：本题共３小题，每小题６分，共１８分． ９． ＢＤ　 １０． ＡＢＣ　 １１． ＡＢＣ 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２． １００ 　 　 １３． π１２　 　 １４． ４５° 槡　 ２ － １ 四、解答题：本题共５小题，共７７分． １５．解：（１）ａ→ ＝（３，２），ｂ→ ＝（－ ８，－ １），则ａ→·ｂ→ ＝ ３ ×（－ ８）＋ ２ ×（－ １）＝ － ２６； ５分 !!!! （２）因为ａ→ ＋ ｃ→ ＝（－ ５，ｘ ＋ ２），３ａ→ ＋ ｂ→ ＝（１，５） ８分 !!!!!!!!!!!!!!!! 若（ａ→ ＋ ｃ→）⊥（３ａ→ ＋ ｂ→），则（ａ→ ＋ ｂ→）·（３ａ→ ＋ ｃ→）＝ － ５ ＋ ５ｘ ＋ １０ ＝ ０， １０分!!!!!!!! 所以实数ｘ的值为－ １． １３分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １６．解：（１）根据正弦定理将ａｓｉｎＡ ＝ ｃｓｉｎＣ ＋ ｂ（ｓｉｎＢ － ｓｉｎＣ）边角互化， 化简可得ａ２ ＝ ｃ２ ＋ ｂ２ － ｂｃ， ３分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 根据余弦定理ｃｏｓＡ ＝ ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ ＝ ｂｃ ２ｂｃ ＝ １ ２ ， ５分!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为０ ＜ Ａ ＜ π，所以Ａ ＝ π３ ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由余弦定理得，ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓＡ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ｂｃ， 因为ａ ＝ ２，所以４ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ｂｃ， ９分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ｂｃｓｉｎＡ ＝槡 ３ ４ ｂｃ 槡＝ ３，所以ｂｃ ＝ ４ １１分!!!!!!!!!!!!!!!! 所以ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ８，所以（ｂ ＋ ｃ）２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ＋ ２ｂｃ ＝ １６， 所以ｂ ＋ ｃ ＝ ４， １４分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以△ＡＢＣ的周长ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ４ ＋ ２ ＝ ６． １５分!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７．解：（１）由题设（０． ０１ ＋ ０． ０１５ ＋ ０． ０１５ ＋ ａ ＋ ０． ０２５ ＋ ０． ００５）× １０ ＝ １， 可得ａ ＝ ０． ０３， ４分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由（０． ０１ ＋ ０． ０１５ ＋ ０． ０１５ ＋ ０． ０３）× １０ ＝ ０． ７ ＜ ０． ８，（０． ０７ ＋ ０． ０２５）× １０ ＝ ０． ９５ ＞ ０． ８， 所以样本的第８０百分位数位于区间［８０，９０），设为ｘ，则０． ７ ＋（ｘ － ８０）× ０． ０２５ ＝ ０． ８ 所以ｘ ＝ ８４ ８分． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由题设，［４０，５０），［５０，６０）的频率比为２３， 故抽取的５人中［４０，５０）有２人为ａ、ｂ，［５０，６０）有３人为Ａ、Ｂ、Ｃ １０分 !!!!!!! 任抽２人有ａｂ，ａＡ，ａＢ，ａＣ，ｂＡ，ｂＢ，ｂＣ，ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ，共１０种情况， １２分 !!!!!!!! 其中分数在［４０，５０），［５０，６０）各一人有ａＡ，ａＢ，ａＣ，ｂＡ，ｂＢ，ｂＣ，共６种情况， １４分 !!! 所以这２名同学分数在［４０，５０），［５０，６０）各一人的概率６１０ ＝ ３ ５ ． １５分!!!!!!! １８．解：（１）由→ＢＮ ＝ →ＡＮ － →ＡＢ，得 高一数学试题答案第２　 页（共３页） →ＢＮ２ ＝（→ＡＮ － →ＡＢ）２ ＝ →ＡＮ２ － ２ →ＡＮ·→ＡＢ ＋ →ＡＢ２ ２分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ＝ ｜ →ＡＮ ｜ ２ － ２ ｜ →ＡＮ ｜ ｜ →ＡＢ ｜ ｃｏｓ ＜ →ＡＮ，→ＡＢ ＞ ＋ ｜ →ＡＢ ｜ ２， 因为ＡＢ ＝ ６，ＡＣ ＝ ９，∠ＢＡＣ ＝ ６０°，点Ｎ为ＡＣ边的中点， 所以→ＢＮ２ ＝（９２ ） ２ － ２ × ９２ × ６ × １ ２ ＋ ６ ２ ＝ １１７４ 所以｜ →ＢＮ ｜ ＝ 槡３ １３２ ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由题意→ＢＭ ＝ ２３ →ＢＣ，所以→ＡＭ ＝ →ＡＢ ＋ →ＢＭ ＝ →ＡＢ ＋ ２３ →ＢＣ ＝ １３ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＣ， 所以→ＡＭ２ ＝（１３ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＣ）２ ＝ １９ →ＡＢ２ ＋ ４９ →ＡＢ·→ＡＣ ＋ ４９ →ＡＣ２ ＝ １９ × ３６ ＋ ４ ９ × ６ × ９ × １ ２ ＋ ４ ９ × ８１ ＝ ５２， 所以｜ →ＡＭ 槡｜ ＝ ２ １３， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为→ＢＮ ＝ →ＡＮ － →ＡＢ ＝ １２ →ＡＣ － →ＡＢ，→ＡＭ ＝ １３ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＣ， 所以→ＡＭ·→ＢＮ ＝（１３ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＣ）（１２ →ＡＣ － →ＡＢ） ＝ － １３ →ＡＢ２ － １２ →ＡＢ·→ＡＣ ＋ １３ →ＡＣ２ ＝ １３ × ８１ － １ ３ × ３６ － １ ２ × ６ × ９ × １ ２ ＝ ３ ２ ， ９分!!!!!!!!!!!! 所以ｃｏｓ ＜ →ＡＭ，→ＢＮ ＞ ＝ →ＡＭ·→ＢＮ ｜ →ＡＭ ｜ ｜ →ＢＮ ｜ ＝ ３ ２ ３９ ＝ １ ２６， 所以∠ＭＰＮ的余弦值为１２６ １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）因为→ＭＡ ＝ →ＭＢ ＋ →ＢＡ ＝ － λ（→ＡＣ － →ＡＢ）－ →ＡＢ ＝（λ － １）→ＡＢ － λ →ＡＣ， →ＭＢ ＝ － λ →ＢＣ ＝ λ →ＡＢ － λ →ＡＣ， 所以→ＭＡ·→ＭＢ ＝［（λ － １）→ＡＢ － λ →ＡＣ］·（λ →ＡＢ － λ →ＡＣ） ＝（λ２ － λ）→ＡＢ２ －（２λ２ － λ）→ＡＢ·→ＡＣ － λ２ →ＡＣ２ ＝ ６３λ２ － ９λ ＝ ６３（λ － １１４） ２ － ９２８ １５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因为０≤λ≤１，当λ ＝ １１４时， →ＭＡ·→ＭＢ取得最小值， 所以→ＭＡ·→ＭＢ取得最小值时实数的值为１１４． １７分．!!!!!!!!!!!!!!!! １９．解：（１）由题意得：ｐ ＝ １２，由海伦公式得：Ｓ ＝ １２ ×（１２ － ７）×（１２ － ８）×（１２ － ９槡 ） 槡＝ １２ ５； ４分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）法一：因为槡３ａ ＝ ａ·ｃｏｓＢ ＋ ２ｃｏｓＡ， 由余弦定理得，槡３ａ ＝ ａ·ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ａｃ ＋ ２· ｃ２ ＋ ｂ２ － ａ２ ２ｂｃ 高一数学试题答案第３　 页（共３页） 因为ｂ ＝ ２，代入上式化简得ｃ 槡＝ ３ａ， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以Ｓ ＝ １４ ［ｃ ２ａ２ －（ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ ） ２槡 ］＝ １４ ［３ａ４ －（４ａ ２ － ４ ２ ） ２槡 ］ ＝ １２ － ａ ４ ＋ ８ａ２槡 － ４ ＝ １２ －（ａ２ － ４）２槡 ＋ １２， 所以当ａ ＝ ２时，△ＡＢＣ面积的最大值为槡３． １０分!!!!!!!!!!!!!!!! 法二：因为ｂ ＝ ２，且槡３ａ ＝ ａ·ｃｏｓＢ ＋ ２ｃｏｓＡ， 所以槡３ａ ＝ ａ·ｃｏｓＢ ＋ ｂ·ｃｏｓＡ，所以槡３ｓｉｎＡ ＝ ｓｉｎＡｃｏｓＢ ＋ ｓｉｎＢｃｏｓＡ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎＣ， 所以ｃ 槡＝ ３ａ， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 所以Ｓ ＝ １４ ［ｃ ２ａ２ －（ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ ） ２槡 ］＝ １４ ［３ａ４ －（４ａ ２ － ４ ２ ） ２槡 ］ ＝ １２ － ａ ２ ＋ ８ａ２槡 － ４ ＝ １２ －（ａ２ － ４）２槡 ＋ １２， 所以当ａ ＝ ２时，△ＡＢＣ面积的最大值为槡３． １０分!!!!!!!!!!!!!!!! （３）在△ＡＢＣ中利用正弦定理，可化简为ｂ２ ＋ ２ｃ２ ＝ ４ａ２， 设ｃ２ ＝ ｋａ２ ＞ ０，则ｂ２ ＝（４ － ２ｋ）ａ２ ＞ ０，则０ ＜ ｋ ＜ ２， 则ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ ＝ ａ２ ＋ ｋａ２ －（４ － ２ｋ）ａ２ ２ ＝ ３ｋ － ３ ２ ａ ２， 则Ｓ ＝ １４ ［ａ ２ｃ２ －（ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ ） ２槡 ］＝ １４ ［ｋａ４ －（３ｋ － ３２ ａ２）２槡 ］＝ ａ ２ ４ － ９ｋ ２ ＋ ２２ｋ槡 － ９， 则Ｓ ａ２ ＝ － ９ｋ ２ ＋ ２２ｋ槡 － ９ ４ ， １３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 因 ａ ＋ ｂ ＞ ｃ ａ ＋ ｃ ＞ ｂ ｂ ＋ ｃ ＞ ａ ０ ＜ ｋ      ＜ ２ ，则 １ ＋ ４ － ２槡 ｋ ＞槡ｋ １ ＋槡ｋ ＞ ４ － ２槡 ｋ ４ － ２槡 ｋ ＋槡ｋ ＞ １ ０ ＜ ｋ      ＜ ２ ，得 槡１１ － ２ １０９ ＜ ｋ ＜ 槡 １１ ＋ ２ １０ ９ ， １６分!!!!!!! 则当ｋ ＝ １１９时， Ｓ ａ２ ＝ － ９ｋ ２ ＋ ２２ｋ槡 － ９ ４ 有最大值槡 １０ ６ Ｓ ａ２ 的最大值为槡１０６ ． １７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!