专题02 常用逻辑用语四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题02 常用逻辑用语四类重难点题型 目录 典例详解 类型一、充分条件与必要条件的判别 类型二、利用充分条件与必要条件求参 类型三、根据全称量词命题的真假求参数 类型四、根据存在量词命题的真假求参数 压轴专练 类型一、充分条件与必要条件的判别 充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【技巧方法】 抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件. 例1．已知均为实数，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【解析】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 变式1-1．命题“”是“或”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【解析】当且时，， 即“若且，则”是真命题， 所以其逆否命题“若，则或”也是真命题，即充分性成立； 当或时，取，此时不成立，即必要性不成立； 所以命题“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 变式1-2．（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【答案】AC 【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可. 【解析】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题； ∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题； ∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题； ∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题． 故选：AC. 变式1-3．给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 【答案】②，③ 【分析】根据充分条件与必要条件的定义构建集合间的关系即可. 【解析】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解， 故不存在实数，则不符合题意； ②“”是“”的充分不必要条件时，且等号不同时成立，解得，符合题意； ③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得； 当，需满足，且等号不同时成立，解得； 综上所述，实数的取值范围，符合题意. 故答案为：②，③. 类型二、利用充分条件与必要条件求参 利用充分条件与必要条件求参解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 例2．已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】令，， 因为p是q的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 变式2-1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以． 故答案为： 变式2-2．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 变式2-3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 类型三、根据全称量词命题的真假求参数 全称量词命题的否定形式 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：. 【技巧方法】 （1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 例3．若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由命题“，”为真命题等价于即可. 【解析】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 变式3-1．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由命题“，”为真命题等价于在R上无解即可. 【解析】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 变式3-2．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题“”是真命题等价于.又列出不等关系式即可求解. 【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 故选：B 变式3-3．已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． 【答案】（] 【解析】因为命题“”为真命题，当时，成立， 当时，则，解得，故的取值范围是， 故答案为： 变式3-4．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】由若命题、一真一假则真假，或假真列出不等关系式即可求解. 【解析】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 类型四、根据存在量词命题的真假求参数 存在量词命题的否定形式 一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：. 【技巧方法】 （1）首先根据存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 例4．已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知，命题成立，等价于即可求解． 【解析】因为为真命题， 所以，其中， 所以， 故答案为： 变式4-1．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】由题意可知，“存在，使得”是假命题等价于“任意，使得”是真命题即可求解． 【解析】若“存在，使得”是假命题， 则“任意，使得”是真命题， 所以，即. 故答案为：. 变式4-2．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知，“，”是真命题等价于方程有解即可求解． 【解析】若命题“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式4-3．若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可知，命题“存在，”为假命题等价转化任意，即可求解． 【解析】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 变式4-4．已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得命题，是真命题即可求解． 【解析】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 所以， 故选：C. 变式4-5．已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得命题：，是假命题，即命题的否定是真命题可求． 【解析】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 故答案为：． 1.若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【解析】设不等式的解集为，， 因为不等式成立的充分条件是，，所以， 所以，所以. 由，所以. 由可得. 故选：D 2.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【分析】转化为最值问题求解， 【解析】由题意得在上有解，当时，取最小值， 则，故可取的最小整数值为0， 故选：B 3.命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得命题“”为假命题，可转化为该命题为真命题得即可求． 【解析】命题的否定为：“” 若该命题为真命题得，所以， 所以为该命题的一个必要不充分条件， 故选：C. 4.命题是假命题，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得命题是假命题，即命题的否定是真命题可求． 【解析】由题意得，命题的否定：. ∵命题是假命题， ∴命题的否定是真命题. 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，的范围是. 故选：A. 5.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求． 【解析】因为命题“”为假命题， 所以“”真命题， 所以， 所以当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值， 所以， 故选：A. 6.（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 【答案】BD 【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断. 【解析】对A：若，则，即 若，比如：，则不成立 ∴“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对B：若，则，即二次方程有两个不等实根 若二次方程有两个不等实根，等价于 比如：满足，但不成立 ∴“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，B正确； 对C：∵且 则 ∴“”是“”的充要条件，C错误； 对D：根据题意可得：，则最小值为2022，D正确； 故选：BD. 7.（多选）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A，“，使得”的否定是“，都有”；对于B，由恒成立，则命题“”；对于C，存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围. 【解析】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，由恒成立，则命题“”是真命题，故B正确； 对于C，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，命题为真命题，又函数开口向上， 则无实根，则，解得， 则实数的取值范围是，故D错误. 故选：ABC. 8.（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例，得到充分性不成立；B选项，解不等式得到且，从而得到B正确；C选项，根据的根都是正根求出，从而得到C正确；D选项，分与两种情况，求出，从而得到D正确. 【解析】A选项，当时，满足，但不满足，故充分性不成立，A错误； B选项，，解得且， 所以不能推出，但能推出，故是的必要不充分条件，B正确； C选项，根都是正根，则要满足，解得， 故，但， 故是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件，C正确； D选项，不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，满足题意， 当时，要满足，解得， 综上所述，不等式对一切实数恒成立，则， 因为，但， 故是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件，D正确. 故选：BCD 9.已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得命题：“，，使得”是假命题，即若命题：“，，使得”是真命题等价于可求． 【解析】若命题：“，，使得”是真命题， 则它等价于， 因为，，则， 所以当命题为假命题时，. 故答案为：. 10.已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意若为假命题，则或，若为假命题，则，.可求． 【解析】依题意，若为假命题，则或，所以. 若为假命题，则，所以. 所以，若p与q均为假命题，则实数a的取值范围为. 故答案为： 11.若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】解不等式得到，由“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围. 【解析】， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 故，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 【答案】1 【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解； 【解析】由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故答案为： 13.已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）命题是真命题，可转化为即可求解； （2）若是的充分不必要条件,可转化为是的真子集即可求解. 【解析】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是 14.已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式所对应的方程的判别式即可求解； （2）讨论是否是空集，以及是的真子集列不等式组，解不等式组即可求解. 【解析】（1）因为命题：，为真命题， 所以方程的， 解得：，即. （2）又因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，应满足，解得.此时是的真子集，故满足题意. 当时，应满足，解得. 因为是的真子集， 所以且不能同时取等号，解得：， 综上实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语四类重难点题型 目录 典例详解 类型一、充分条件与必要条件的判别 类型二、利用充分条件与必要条件求参 类型三、根据全称量词命题的真假求参数 类型四、根据存在量词命题的真假求参数 压轴专练 类型一、充分条件与必要条件的判别 充分、必要条件的三种判断方法： （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【技巧方法】 抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件. 例1．已知均为实数，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-1．命题“”是“或”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2．（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 变式1-3．给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上. 已知集合，，存在实数使得“”是“”的 条件. 类型二、利用充分条件与必要条件求参 利用充分条件与必要条件求参解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. （2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解. 例2．已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ． 变式2-2．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 变式2-3．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 类型三、根据全称量词命题的真假求参数 全称量词命题的否定形式 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：. 【技巧方法】 （1）首先根据全称量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 例3．若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 变式3-1．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 变式3-2．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-3．已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． 变式3-4．已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 类型四、根据存在量词命题的真假求参数 存在量词命题的否定形式 一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：. 【技巧方法】 （1）首先根据存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围． 例4．已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 变式4-1．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 变式4-2．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 变式4-3．若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是 变式4-4．已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-5．已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 1.若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3.命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 4.命题是假命题，则的范围是（ ） A． B． C． D． 5.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 7.（多选）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 8.（多选）下列命题中是真命题的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是关于的方程的根都是正根的必要且不充分条件 D. 是不等式对一切实数恒成立的充分且不必要条件 9.已知命题：“，，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 . 10.已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 11.若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 12.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 13.已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14.已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$