专题03 三角形综合（内蒙古专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题01 三角形综合 考点01 全等三角形 1.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴．　 ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 2.（2023·呼市·中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ）    A．13 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接．      在中，， ，点为边上的中点， ，，，． ． ，， ，． ． 又，， ． ，． 在中，． 在中，． 又在中，， ． ． ． 故选：D． 3.（2024·通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【详解】解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 相似三角形 1.（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 3.（2023·包头·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【详解】解：过点D作于点F， ∵，，， ∴， ∵将绕点A逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∵ ，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5．    4.（2023·包头·中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论： ①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①③④ 【详解】解：①∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴平分；正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故②错误； ③∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴，即，正确； 故答案为：①③④． 5.（2024·赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：； (2)探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； （2）解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； （3），理由如下： 过点作， ∵，， ∴， 由（2）知，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 考点03 三角形综合 1.（2023·通辽·中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，   ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 2.（2024·赤峰·中考真题）如图，△ABC中，，．将△ABC绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，， 由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确； ②∵，∴；②说法正确； ③∵， ∴， ∴；③说法正确； ④∵，， ∴， ∴．④说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故选：A． 3.（2023·通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得， ，    ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 4.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在△ABC中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由尺规作图可得，是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：A． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在△ABC中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 6.（2024·呼市·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接与相交于点，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又由旋转得，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 考点04 锐角三角函数的应用 1.（2023·赤峰·中考真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．    【答案】 【详解】解：如图所示，过点作于点，    在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴（千米） 改造后公路的长是千米， 故答案为：． 2.（2023·呼市·中考真题）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）    【答案】 【详解】解：过作于，如图：    在中，，， ，， 在中，，， ， ； 两地间距离的长为 3.（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 4.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：） 【答案】楼的高度为米． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴楼的高度为米． 5.（2024·赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 6.（2023·包头·中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．    (1)求行进路线和所在直线的夹角的度数； (2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【详解】（1）解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． （2）过点A作，垂足为．      ， ， ． , 在中， ， ． , 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 7.（2023·通辽·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远 （结果取整数）？ （参考数据：．）    【详解】解：设与灯塔P的正东方向相交于点C， 根据题意，得，，； 在中， ∵， ∴； 在中，， ∵， ∴， 答：B处距离灯塔P大约有． 8.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．    【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．    ∴， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴，∴ ， ∴ ∴米 答：河流的宽度约为64米． 9.（2024·包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． (1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）． 【详解】（1）解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为； （2）解：如图，过C作于E， 则四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 答：教学楼的高度为． 10.（2024·通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 【详解】解：过点B作于点E， 在中，，米， ∴米，米， 米， 米 在中，， 米， 米， ， 米． 答：杨树的高度约米． 11.（2024·呼市·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 考点05 锐角三角函数的计算 1.（2023·赤峰·中考真题）（1）计算： 【详解】解：（1） ； 2.（2023·呼市·中考真题）计算： 【详解】解：（1） ； 3.（2023·通辽·中考真题）计算：． 【详解】解：， ， ． 4.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）计算：． 【详解】原式 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）计算：． 【详解】解： ． 6.（2024·赤峰·中考真题）计算：； 【详解】解：（）原式 ， ； 7.（2024·呼市·中考真题）计算： 【详解】解：（1）原式 ； 8.（2024·通辽·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形综合 考点01 全等三角形 1.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 2.（2023·呼市·中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ）    A．13 B． C．8 D． 3.（2024·通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 考点02 相似三角形 1.（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 3.（2023·包头·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．     4.（2023·包头·中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论： ①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    5.（2024·赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：； (2)探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 考点03 三角形综合 1.（2023·通辽·中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 2.（2024·赤峰·中考真题）如图，△ABC中，，．将△ABC绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 3.（2023·通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    4.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在△ABC中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在△ABC中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 6.（2024·呼市·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 考点04 锐角三角函数的应用 1.（2023·赤峰·中考真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）．    2.（2023·呼市·中考真题）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）    3.（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 4.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：） 5.（2024·赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 6.（2023·包头·中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．    (1)求行进路线和所在直线的夹角的度数； (2)求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 7.（2023·通辽·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远 （结果取整数）？ （参考数据：．）    8.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．    9.（2024·包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． (1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）． 10.（2024·通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 11.（2024·呼市·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 考点05 锐角三角函数的计算 1.（2023·赤峰·中考真题）（1）计算： 2.（2023·呼市·中考真题）计算： 3.（2023·通辽·中考真题）计算：． 4.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）计算：． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）计算：． 6.（2024·赤峰·中考真题）计算：； 7.（2024·呼市·中考真题）计算： 8.（2024·通辽·中考真题）计算：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$