专题03 有理数的混合运算的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题03 有理数的混合运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、有理数乘除混合运算 类型二、含乘方的有理数的混合运算 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 类型四、有理数的混合运算的实际应用 压轴专练 类型一、有理数乘除混合运算 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 例1．（24-25七年级上·四川自贡·期中）计算： 【变式1-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算： 解：原式……① ……② ……③ (1)上述解法有错误，错在哪一步？答：_________（填序号）； 错误的原因是___________________． (2)请写出这个计算题正确的计算过程． 【变式1-2】（24-25七年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【变式1-3】计算： (1) (2) (3)； (4)． 类型二、含乘方的有理数的混合运算 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例2．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) (2) 【变式2-1】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）计算： (1)； (2)． 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 例3．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 【变式3-2】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3-3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 类型四、有理数的混合运算的实际应用 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 例4．（24-25七年级上·四川南充·期中）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【变式4-1】（24-25七年级上·广西河池·期末）为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【变式4-2】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【变式4-3】自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 一、单选题 1． 下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中），0，，，中，是正数的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．中考新趋势·新定义规定：，；，；则的值是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ． 7．（24-25七年级上·云南昭通·期中）计算：= ． 8．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 9．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如，取，则： 若，则第次“”运算的结果是 ． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 12．（1）计算：． （2）计算： （3）计算： （4）：计算： （5）计算：． （6）计算： （7）计算： 13．老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式=（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程共存在_______处错误，分别是是第_______步和第_______步 (2)请你写出这道题正确的解答过程过程． 14．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义新运算：，如． (1)求； (2)若，且，求． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 (1)第1筐冬枣重_____千克． (2)这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (3)如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 16．（23-24七年级上·云南临沧·期中）类比有理数乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，例如：，等，我们把记作，读作“2的括号3次方”；记作，读作“的括号4次方”． (1)求和的值； (2)结合有理数乘法和除法的关系可知： ；；． 请仿照上述算式的计算规律，将一个非零有理数“a的括号n次方”写成幂的形式，并计算的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的混合运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、有理数乘除混合运算 类型二、含乘方的有理数的混合运算 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 类型四、有理数的混合运算的实际应用 压轴专练 类型一、有理数乘除混合运算 1. 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 2.有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 例1．（24-25七年级上·四川自贡·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，带分数化为假分数，除法变乘法，约分即可． 【详解】解：原式． 【变式1-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算： 解：原式……① ……② ……③ (1)上述解法有错误，错在哪一步？答：_________（填序号）； 错误的原因是___________________． (2)请写出这个计算题正确的计算过程． 【答案】(1)①；同级运算没有按照从左到右的顺序进行 (2) 【分析】此题主要考查有理数的乘除法混合运算，掌握乘除法同级运算从左到右进行是解题关键． （1）根据有理数乘除运算法则进行判断即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出现错误，原因是：同级运算没有按照从左到右的顺序进行； （2）解： ． 【变式1-2】（24-25七年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将带分数化为假分数，再利用有理数乘除的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】解： ． 【变式1-3】计算： (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2)18 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数的运算律等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； （2）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； （3）认真审题不难发现：相邻两数之差为，整个计算式中共有2000个数据，所以可以得到1000个； （4）先将小数化成分数，然后计算乘法，再算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型二、含乘方的有理数的混合运算 1.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 2.有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 例2．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键； （1）原式先计算乘方和括号内的，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和乘法运算，最后计算加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式2-1】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方、化简绝对值、括号内计算，再计算乘法，再计算减法即可； （2）先进行括号内计算，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键， （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减计算即可； （2）先把除法化为乘法，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、有理数的混合运算中的新定义型问题 1. 先明确新定义运算的规则，理解符号或表达式的含义，将新运算转化为熟悉的加减乘除运算，注意运算顺序和括号的作用。 2. 代入具体数值或代数式，按新规则逐步计算，结合有理数混合运算的法则，验证结果是否符合定义，避免混淆新规则与常规运算。 例3．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）先计算中括号里面的，再计算括号外面的即可得出答案． 本题考查的是有理数的混合运算，解题关键在于根据新定义列出代数式． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）新定义运算：．例． 求 (1)的值为； (2)的值为． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义，先计算得到，再计算即可， 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：根据题意可得： ． 【变式3-2】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题是定义新运算题，主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答此题的关键． （1）根据已知条件，把所求算式中的数代入进行计算即可； （2）先根据，把a，b表示的数代入求出，再根据，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ． 【变式3-3】（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【答案】(1)3 (2) (3)，，不满足 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； ∴的值为3； （2）解： ， ∴的值为； （3）解：由题意知，， ， ∵， 不满足交换律． 类型四、有理数的混合运算的实际应用 1.先分析实际问题中的数量关系，用有理数表示相反意义的量（如收入为正、支出为负），再确定运算顺序，列出混合运算式子。 2.按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号”的法则计算，结合实际意义检验结果合理性，解决如利润、行程等问题。 例4．（24-25七年级上·四川南充·期中）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克 (2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克 (3)小王第一周销售柚子一共收入元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 【变式4-1】（24-25七年级上·广西河池·期末）为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【答案】(1)20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克 (2)出售这20筐茶果可获得元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，熟知正负数的实际意义是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出这20筐茶果的重量，若结果为正，则超过标准质量，若为负，则不足，若为0，这等于标准质量，据此求解即可； （2）用每千克的售价乘以茶果总质量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：千克， 答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克； （2）解：由题意得：（元） 答：出售这20筐茶果可获得元． 【变式4-2】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 【变式4-3】自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（辆） (1)根据记录可知，前三天共生产了 辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】本题主要考查了有理数混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意列出对应的算式是解题的关键。 （1）根据把表格中前三天的生产记录相加，再加上计划三天的生产量可以计算出前三天共生产了多少辆自行车； （2）根据表格中的数据，可以计算出生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少辆自行车； （3）根据题意先计算出总生产量，再计算出奖励和扣除的费用以及生产费用即可得到答案． 【详解】（1）解：辆， ∴前三天共生产了辆， 故答案为：； （2）解：由表格可得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆， 故答案为：； （3）解：， ， ， （元）， 答：工人这一周的工资总额是元． 一、单选题 1． 下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据有理数的乘除运算法则计算后判断即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】A．，故选项计算错误； B．，故选项计算错误； C．，故选项计算错误； D． ，故选项计算正确； 故选D． 2．计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中），0，，，中，是正数的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正数的意义，乘方运算，绝对值及相反数的定义，分别化简各数，判断其正负性，统计正数的个数即可． 【详解】解：，结果是负数， 0既不是正数也不是负数， ，是负数， ，是正数， ，0既不是正数也不是负数， 是负数． 综上，只有第4个数是正数，共1个． 故选：A． 4．中考新趋势·新定义规定：，；，；则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义的问题，涉及有理数的混合运算，根据题目的新定义列出等式是解题关键．根据新定义的计算法则计算即可． 【详解】解：根据新定义可得： 故选：C． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握题干中的求和方法，令所求的和为，将其乘以6后相减，消去中间项，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：令， 两边乘以6，得： ， 将两式相减： ， 右边除首项和末项外，其余项均抵消， 得：， 解得：， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，去绝对值，带分数化为假分数，除法变乘法，约分即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·云南昭通·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除法即可求得． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义列出算式，再计算即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的运算等知识，根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如，取，则： 若，则第次“”运算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算和数字的规律，解答本题的关键是理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法． 根据题意，写出前几次的运算结果，发现其中的规律，通过计算得出从从第4次开始，结果就只有两个数循环出现，进而观察规律即可得结论，从而进行求解． 【详解】解：当， 则第1次“”运算的结果是：， 第2次“”运算的结果是：， 第3次“”运算的结果是：， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：， 第7次“”运算的结果是：， 第8次“”运算的结果是：， … 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是4，次数为偶数时，结果是1， ∵而第次是偶数， ∴最后结果是1． 故答案为：1． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方，再计算乘法，再计算加减即可， （2）先进行括号内计算，再计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（1）计算：． （2）计算： （3）计算： （4）：计算： （5）计算：． （6）计算： （7）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，有理数加减法计算，乘法分配律： （1）根据有理数加减法计算法则求解即可； （2）根据有理数加减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）先计算除法，再计算乘法即可； （5）根据有理数乘除法计算法则求解即可； （6）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）计算： ； （6）计算： ； （7） ． 13．老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式=（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程共存在_______处错误，分别是是第_______步和第_______步 (2)请你写出这道题正确的解答过程过程． 【答案】(1)二，三 (2)27 【分析】本题考查有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可以发现两处错误； （2）先算括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：上面的解题过程中有两处错误： 第一处错误是第二步，错误的原因是没有按照运算顺序计算， 第二处错误是第三步，错误原因时符号错了， 故答案为：两，二，三； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义新运算：，如． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1)8； (2)0． 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，且，可以求得m、p的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 15．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 (1)第1筐冬枣重_____千克． (2)这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (3)如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 【答案】(1) (2)千克 (3)1860元 【分析】（1）根据有理数减法，列式计算即可． （2）根据，得到，解答即可． （3）先计算总质量：，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第1筐冬枣重（千克）， 故答案为：． （2）解：根据， 得到（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克． （3）解：冬枣的总质量为：． 故卖出的总钱数为（元）． 【点睛】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，有理数的加、减、乘的混合运算，加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（23-24七年级上·云南临沧·期中）类比有理数乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，例如：，等，我们把记作，读作“2的括号3次方”；记作，读作“的括号4次方”． (1)求和的值； (2)结合有理数乘法和除法的关系可知： ；；． 请仿照上述算式的计算规律，将一个非零有理数“a的括号n次方”写成幂的形式，并计算的值． 【答案】(1)，2 (2)，2 【分析】本题考查了有理数的乘除法和乘方运算，幂的意义等知识，读懂题意，理解除方的运算法则是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可求解； （2）根据（2）的计算结果得出规律即可求解； （3）根据（2）的规律进行化简，再进行计算． 【详解】（1）解：，； （2）解：由题中的规律可得：； ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$