1.3 集合间的基本运算-2025-2026学年高一数学同步讲义 人教版A版（2019）

第一章 集合与常用逻辑术语 1.3集合间的基本运算 模块导引： 知识精讲 考点解析 课后作业 一、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}; Venn图表示: 性质：①A∪A=A ②A∪Φ=A ③A∪B=B∪A ④AA∪B ，BA∪B ⑤A∪B=BAB 二、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}； 交集的Venn图表示： 性质：①A∩A=A ②A∩Φ=Φ ③A∩B=B∩A ④A∩BA ，A∩BB ⑤A∩B=AAB 三、全集与补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：即； 补集的Venn图表示： 性质：①CUU=Φ ②CUΦ=U ③CU(CUA)=A ④(CUA)∩A=Φ ⑤(CUA)∪A=U ⑥CU(A∩B)=(CUA )∪(CUB) ⑦CU(A∪B)=(CUA )∩(CUB) 四、容斥原理 把含有限个元素的集合A叫做有限集，用Card（A）来表示有限集合A中元素的个数。 一般的，对任意两个有限集合A，B有. 五、 区间及其相关概念 设a，b是两个函数，而且a＜b，我们规定： 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]; 满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）; 满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)，(a,b]; 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。 实数集R可以用闭区间表示为（−∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“−∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a, +∞),( a, +∞),( −∞，b], ( −∞，b)。 考点一：交集的概念与运算 例题1．（24-25高一上·四川内江·期末）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的特点可排除AC；分析两直线的位置关系可判断B的真假；根据集合元素的关系可判断D的真假. 【详解】因为集合中的元素都是有序实数对（点）， 所以，的运算结果均为点的集合， 所以，都是错误的，即AC错误； 对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确； 对D：因为， 又，所以，故正确，即D正确. 故选：BD 变式1-1．（24-25高一上·江苏南京·期中）设集合，，，，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可. 【详解】由题意得，， ，， 我们先化简集合，集合可化为， 所以，故A正确，而点在直线上， 则成立，故C正确，因为是数集， 是点集，二者一定无交集， 故成立，故D正确， 因为是数集，是点集， 二者一定无交集，故不成立，故B错误. 故选：ACD 变式1-2．（23-24高三上·北京·阶段练习）对于数集，，它们的Descartes积，则（    ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 E．集合表示正方形区域（含边界） 【答案】BCD 【分析】根据新定义逐个选项判断即可. 【详解】由题知， 表示数集中的数表示横坐标， 数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体， 故，A错； 若，则，B正确； ， ， 则，C正确； 集合表示轴所在直线，D正确； 若，集合只包含一个点，E错误. 考点二：并集的概念与运算 例题2．（25-26高一上·全国·课后作业）关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 【答案】ACD 【详解】 选项A，若，即A是B的真子集，所以，故A正确．选项B，若，则A，B不一定互为补集，故B错误．选项C，是由集合A，B的公共元素构成，所以，故C正确．选项D，根据并集的知识可知，故D正确． 变式2-1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合和中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其是否属于相应集合. 【详解】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 变式2-2．（23-24高二下·河北邢台·期末）设为全体质数的集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据已知的集合逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以，A正确． 对于B，由，得，所以，所以，B错误． 对于C，由，得，所以，所以，C错误． 对于D，因为32为合数，所以，由，得，所以， 所以，D正确． 故选：AD 考点三：补集的概念与运算 例题3．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用补集的运算即可得解. 【详解】由于，所以， 所以可以是、、，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 变式3-1．（21-22高一上·新疆·阶段练习）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项. 【详解】当时，，即，此时，符合题意， 当时，，即， 由可得或， 因为，所以或，可得或， 因为，所以， 所以实数的取值范围为或， 所以选项ABC正确，选项D不正确； 故选：ABC. 变式3-2．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合韦恩图，由子集，补集的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】由图可知，是的子集，故A正确； 不是的子集，故B错误； 是的子集，故C正确； 不是的子集，故D错误； 故选：AC 考点四：交并补的混合运算 例题4．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 变式4-1．（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 【答案】BCD 【分析】由摩根定律，以及交并补混合运算知识即可求解. 【详解】由题意知 所以， 对于 A，因为，且，所以，A 选项错误； 对于B，由于，所以，B 选项正确； 对于C，已知，这意味着既属于A又属于B， 若，当时， 此时满足所有已知条件，故C选项正确； 对于D，因为，又，所以，D选项正确； 故选：BCD. 变式4-2．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据集合运算求出，再依据列式求解. 【详解】，， ，则， 又， ，解得. 故选：ABC. 考点五：容斥原理的应用 例题5．（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 变式5-1．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 变式5-2．（24-25高一上·广东佛山·期末）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD.    【点睛】方法点睛：本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 考点六：利用Venn图求集合 例题6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 变式6-1．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 变式6-2．（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 一、单选题 1．(2024年广东期末)已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝(　　) A．[3，4) B．[3，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2，3) 【答案】C 【解析】∵集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，∴B＝{x|x≥3}，∴A∪B＝{x|x≥2}．故选C． 2．(2024年广州越秀区期末)设集合A＝{1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则A∪B的子集个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，故A∪B＝{1，2}，则A∪B的子集个数是22＝4．故选D． 3．若集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则A∪B＝(　　) A．{1} B．{1，2，4} C．{1，2，3，4} D．{1，3，4} 【答案】C 【解析】因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，解得m＝3，B＝{1，3}．又因为A＝{1，2，4}，所以A∪B＝{1，2，3，4}．故选C． 4．(2023年佛山禅城区一模)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x∈N*|2≤x＜5}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是(　　) A． B． C． D． 【解析】B＝{ x∈N*|2≤x＜5}＝{2，3，4}，因为A∪B＝B，所以A⊆B．当A＝∅时，a＝0，满足要求；当A≠∅时，ax－1＝0只有一个根，若A＝{2}，则2a－1＝0，解得a＝，若A＝{3}，则3a－1＝0，解得a＝，若A＝{4}，则4a－1＝0，解得a＝． 综上，实数a的所有值构成的集合是．故选D． 5．设集合A＝，B＝{x∈N|－1≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2} B．{0，1，3} C．{1，2，3} D．{1，2，4} 【答案】B 【解析】∵A＝，B＝{x∈N|－1≤x≤4}，∴A＝{0，1，3，7}，B＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1，3}．故选B． 二、多选题 6．(2024年台山期中)设集合A＝{x|(x－6)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－2)(x－3)＝0}，若A∩B＝∅，则a的值可以为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】ACD 【解析】B＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2，3}，当a＝6时，A＝{x|(x－6)(x－a)＝0，a∈R}＝{6}，则A∩B＝∅成立，所以a＝6满足题意；当a≠6时，A＝{6，a}，若A∩B＝∅成立，则a≠2，a≠3；所以a＝6，a＝1，a＝4满足题意．故选ACD． 7．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据以及，可得、、可得，结合选项即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以，， 因为，， 所以，所以，所以， 故选项A、C正确，B、D错误. 故选：AC. 8．（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 9．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意利用集合的交集、补集的运算，结合韦恩图和选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）下列四个命题中正确的是（    ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】ABC 【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可. 【详解】对于A选项: 讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A选项正确. 对于B选项:由，，所以解不等式组得， 其整数解所组成的集合为,故B选项正确. 对于C选项：若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C选项正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D选项错误. 故选：ABC. 11．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 12．（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 13．（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 14．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】ABD 【分析】由图形结构特点及新定义逐个判断即可. 【详解】    对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A正确. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B正确. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C错误. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D正确. 故选：ABD 15．（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知中，对四个答案的结论逐一进行论证，即可求解结论． 【详解】根据条件“对任意的，，有”，则： A中，无法确定是否一定成立，故A错误； B中，，一定成立，故B正确； C中，，一定成立，故C正确； D中，将看成一个整体，则，故，故D正确. 故选：BCD． 16．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合集合的运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】因为集合， 可得，，且， 对于A中，由，，可得， 所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中， 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 17．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可. 【详解】， 故，故A正确； 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 18．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 【答案】BC 【分析】解集合B中的方程，得集合B，由已知列举出集合C，验证选项即可. 【详解】，当时，方程的解为或； 当时，方程的解为， 得，A选项错误，B选项正确； 由且，则，共6个． C选项正确，D选项错误. 故选：BC 19．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 20．（21-22高一上·江苏常州·期中）对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的新定义得到A正确，当时，，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，且，C正确； 和均表示集合中阴影部分，D正确. 故选：ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑术语 1.3集合间的基本运算 模块导引： 知识精讲 考点解析 课后作业 一、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}; Venn图表示: 性质：①A∪A=A ②A∪Φ=A ③A∪B=B∪A ④AA∪B ，BA∪B ⑤A∪B=BAB 二、交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}； 交集的Venn图表示： 性质：①A∩A=A ②A∩Φ=Φ ③A∩B=B∩A ④A∩BA ，A∩BB ⑤A∩B=AAB 三、全集与补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：即； 补集的Venn图表示： 性质：①CUU=Φ ②CUΦ=U ③CU(CUA)=A ④(CUA)∩A=Φ ⑤(CUA)∪A=U ⑥CU(A∩B)=(CUA )∪(CUB) ⑦CU(A∪B)=(CUA )∩(CUB) 四、容斥原理 把含有限个元素的集合A叫做有限集，用Card（A）来表示有限集合A中元素的个数。 一般的，对任意两个有限集合A，B有. 五、 区间及其相关概念 设a，b是两个函数，而且a＜b，我们规定： 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]; 满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）; 满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)，(a,b]; 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。 实数集R可以用闭区间表示为（−∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“−∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a, +∞),( a, +∞),( −∞，b], ( −∞，b)。 考点一：交集的概念与运算 例题1．（24-25高一上·四川内江·期末）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高一上·江苏南京·期中）设集合，，，，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高三上·北京·阶段练习）对于数集，，它们的Descartes积，则（    ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 E．集合表示正方形区域（含边界） 考点二：并集的概念与运算 例题2．（25-26高一上·全国·课后作业）关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 变式2-1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2-2．（23-24高二下·河北邢台·期末）设为全体质数的集合，，则（    ） A． B． C． D． 考点三：补集的概念与运算 例题3．（24-25高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（21-22高一上·新疆·阶段练习）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　） A． B． C． D． 变式3-2．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（    ）      A． B． C． D． 考点四：交并补的混合运算 例题4．（24-25高一上·全国·周测）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（2025·江西萍乡·二模）已知全集，集合，且满足：，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．集合可能是 D． 变式4-2．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）集合，，集合，若，则以下的取值满足题意的是（   ） A． B． C． D． 考点五：容斥原理的应用 例题5．（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 变式5-1．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 变式5-2．（24-25高一上·广东佛山·期末）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 考点六：利用Venn图求集合 例题6．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（2022·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．(2024年广东期末)已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝(　　) A．[3，4) B．[3，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2，3) 2．(2024年广州越秀区期末)设集合A＝{1}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则A∪B的子集个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．若集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则A∪B＝(　　) A．{1} B．{1，2，4} C．{1，2，3，4} D．{1，3，4} 4．(2023年佛山禅城区一模)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x∈N*|2≤x＜5}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是(　　) A． B． C． D． 5．设集合A＝，B＝{x∈N|－1≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2} B．{0，1，3} C．{1，2，3} D．{1，2，4} 二、多选题 6．(2024年台山期中)设集合A＝{x|(x－6)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－2)(x－3)＝0}，若A∩B＝∅，则a的值可以为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 7．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合，则一定有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江西吉安·期末）如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）下列四个命题中正确的是（    ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 11．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 12．（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 13．（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 14．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（    ） A．B．  C．   D．   15．（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·湖北荆州·期末）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．集合的个数为6 D．集合的个数为5 19．（2025·河南·三模）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 20．（21-22高一上·江苏常州·期中）对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$