第11讲 弧长及扇形面积（8大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第11讲 弧长及扇形面积（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求弧长 典型例题二 求圆心角 典型例题三 求扇形半径 典型例题四 求某点的弧形运动路径长度 典型例题五 求扇形面积 典型例题六 求弓形面积 典型例题七 求其他不规则图形的面积 典型例题八 求图形旋转后扫过的面积 知识点01 弧长 设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 【即时训练】 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，则这条传送带的长为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 知识点02 扇形的面积 扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）下列图形中，称为扇形的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，，，两两不相交，且半径都是，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ． 【典型例题一 求弧长】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 1．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）一位家住内蒙古呼伦贝尔大草原的同学，暑假回家帮助家人在空地上围城左边是半圆，右边是矩形的羊圈（如图所示），在栅栏总长度为定长的条件下，矩形的竖直方向宽设为，水平方向长为，要使羊圈面积最大，应如何设计？ 【典型例题二 求圆心角】 【例1】（2024·浙江衢州·模拟预测）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 【例2】（2025·浙江·模拟预测）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 【例3】（2025·浙江丽水·模拟预测）扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为 ． 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E都在上，，，则 ．      1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 2．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，已知半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点处，与半圆O交于点C，若弧BC的长为，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【典型例题三 求扇形半径】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【例2】（2024浙江绍兴·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【例3】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，它所对的弧长为，则该扇形的面积是 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 . 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【典型例题四 求某点的弧形运动路径长度】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到，则C点运行痕迹长为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将半径为2cm的圆形纸板，沿着长和宽分别为12cm和10cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是 cm． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，一个长方形木板（其中AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm）在桌面上作无滑动的顺时针方向的翻滚，木板上的点A位置变化，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，且使木板与桌面成角，那么A翻滚到时，共经过的路径长为 cm．（结果保留） 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，矩形中，，，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是______． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； (2)______； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 【典型例题五 求扇形面积】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为 ．（结果保留） 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，扇形的面积和的长的数值均为，则半径（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留） 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． (1)由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． (2)由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． (3)若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 【典型例题六 求弓形面积】 【例1】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为(   ) A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4 【例2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为，若，，则阴影部分的面积为 ． r 【例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，点B，C在上，连接AD，AB，AC，BC．若，所在的圆的半径为3，则阴影部分的面积为 ． 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AD和BC平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝4米，AB＝2米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 平方米．（结果保留π） 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接． (1)求和的度数； (2)若，且，求弦的长度； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【典型例题七 求其他不规则图形的面积】 【例1】（2024·江苏徐州·模拟预测）“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组，示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇形，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）下图是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，劣弧的长为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ）      A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【例4】 （2024九年级上·浙江温州·专题练习）两个直径分别为，的半圆按如图位置摆放，，，则图中阴影部分的面积是 （用含的式子表示）． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为 ． 3．（2025·浙江舟山·模拟预测）（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，． (1)求半径的长； (2)求图2中阴影部分的面积． 【典型例题八 求图形旋转后扫过的面积】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕原点逆时针方向旋转到的位置，则在旋转过程中，线段扫过的部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着浙江金华各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【例3】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（   ） A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点B恰好在斜边上，则线段CA扫过的面积为 ．则点A经过的路径的长为 ． 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出绕点C逆时针旋转后的图形； (2)在（1）的条件下，求出线段所扫过的面积． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2025九年级上·浙江金华·模拟预测）如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）    A． B． C．π D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为 ． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是，则此扇形的半径是 ． 8．（2025·山东济南·模拟预测）如图，边长为6的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 9．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，为半圆上一点，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点恰好与点重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ． 10．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·上海静安·课后作业）已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，、分别是两个扇形的圆心，，半圆的直径为，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 13．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 14．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 15．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． (1)求的半径； (2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； (3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 弧长及扇形面积（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求弧长 典型例题二 求圆心角 典型例题三 求扇形半径 典型例题四 求某点的弧形运动路径长度 典型例题五 求扇形面积 典型例题六 求弓形面积 典型例题七 求其他不规则图形的面积 典型例题八 求图形旋转后扫过的面积 知识点01 弧长 设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 【即时训练】 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，则这条传送带的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据传送带的长为一个直径为的圆的周长加两个圆心之间距离的两倍，即可得出答案． 【详解】解：这条传送带的长为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆的周长计算，解题的关键是数形结合，熟记圆的周长公式． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式（为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：弧的长为． 故答案为：． 知识点02 扇形的面积 扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）下列图形中，称为扇形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的定义判断即可． 【详解】解：根据扇形的定义由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形可知选项是扇形，其它选项不是扇形． 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形，掌握扇形的定义是解答本题的关键． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，，，两两不相交，且半径都是，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，关键是由图形得到四个扇形的面积之和半径是的圆的面积．四个扇形的面积之和=半径是的圆的面积，由此即可计算． 【详解】解：四边形内角和是， 四个扇形的面积之和半径是的圆的面积， 故答案为：． 【典型例题一 求弧长】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是： ， 故选：B． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故选C． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长公式，根据弧长代入求解即可． 【详解】解：弧的长为：， 故答案为： 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，小明同学把一直角三角板的 角的顶点A 放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点 B，C，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得，再结合弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 则的长， 故答案为：． 1．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明． 作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长． 【详解】解：作半径于N， 由折叠的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影的周长==． 故选A． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于，证明是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 ∴ ∴， ∴， ∴； 依题意，， ∴是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 则， 则 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）一位家住内蒙古呼伦贝尔大草原的同学，暑假回家帮助家人在空地上围城左边是半圆，右边是矩形的羊圈（如图所示），在栅栏总长度为定长的条件下，矩形的竖直方向宽设为，水平方向长为，要使羊圈面积最大，应如何设计？ 【答案】当，，羊圈面积最大． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出周长的关系式，再结合面积公式列出表达式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 则，， ∵栅栏总长度为定长， ∴， ∴， 则羊圈面积 ， 当时，此时，羊圈面积最大． 【典型例题二 求圆心角】 【例1】（2024·浙江衢州·模拟预测）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（    ） A．90 B．108 C．120 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得． 【详解】， 解得． 故选：B． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 【例3】（2025·浙江丽水·模拟预测）扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键．先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积也可以． 【详解】解：设扇形圆心角度数为，则， 解得， 扇形的面积为， 故答案为：． 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E都在上，，，则 ．      【答案】/90度 【分析】首先连接，由圆周角定理即可得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数即可解答． 【详解】解：连接，      ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，准确作出辅助线和熟练掌握圆周角定理和圆心角定理是解题的关键． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 扇形的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 2．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，已知半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点处，与半圆O交于点C，若弧BC的长为，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】连接OB，根据BC的弧长可求得∠BOC=90°，进而可得∠BAC=45°，利用求解即可． 【详解】解：连接OC，设∠BOC=n°， ∵弧BC的长为，半圆O的直径， ∴，解得：n=90，即∠BOC=90°， ∴∠BAC=45°， ∴根据旋转的性质得 = = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式、圆周角定理、扇形面积公式，熟记公式，掌握圆周角定理是解答的关键． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 【典型例题三 求扇形半径】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 【例2】（2024浙江绍兴·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，它所对的弧长为，则该扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式，设扇形的半径为，首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积是， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长．设，则，根据圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设，则， 根据题意可得：， 解得：， ， 故答案为：． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意可知： AD=AE=8，∠DAE=45°， 底面圆的周长等于弧长： ∴2πr= ， 解得r=1． 所以，该圆锥的底面圆的半径是1 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 . 【答案】/ 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为，则底面圆的周长是， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：， 即：， 与之间的关系是． 故答案是：． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）12 【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可 （2）根据弧长公式计算即可； 【详解】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求； （2）如图，连接AO，BO， ∵弧AB的度数为， ∴， 又∵弧AB的长是， ∴， 解得：， ∴所在圆的半径的长是12． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键． 【典型例题四 求某点的弧形运动路径长度】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）钟面上分针的长为1，从12点到12点20分，分针针尖在钟面上走过的轨迹长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得可知，分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，从12点到12点20分走了圆周长的三分之一，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：分针针尖在钟面上走过的轨迹为圆弧，到12点20分走了圆周长的三分之一， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查弧长公式．熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到，则C点运行痕迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得所在圆的半径和圆心角度数，再根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 由弧长的计算方法可得，的长为， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，弧长的计算，理解旋转的性质，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，将半径为2cm的圆形纸板，沿着长和宽分别为12cm和10cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是 cm． 【答案】（44+4π） 【分析】圆心所经过的路线长度是矩形的周长+一个圆的周长，结合弧长公式解答． 【详解】解：圆在矩形的四个角的顶点处旋转的角度是：90°×4＝360°， 则旋转的路线长是：， 则圆心所经过的路线的长是：2（12+10）+4π＝（44+4π）（cm） 故答案为：（44+4π）． 【点睛】本题考查弧长公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，一个长方形木板（其中AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm）在桌面上作无滑动的顺时针方向的翻滚，木板上的点A位置变化，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，且使木板与桌面成角，那么A翻滚到时，共经过的路径长为 cm．（结果保留） 【答案】 【分析】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以C为旋转中心，CA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以D为旋转中心，3cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：路径是以C为圆心，AC长为半径的圆弧，圆心角大小为90°，路径是半径为5，圆心角为60°的圆弧，故从A翻滚到时，共经过的路径长为：( cm)． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，注意两段弧长的半径不同，圆心角不同，熟记弧长公式是解题的关键． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，弧长公式，利用正六边形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到的长度，最后根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，矩形中，，，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是______． 【答案】 【分析】矩形旋转一次，顶点A所经过的路径是以右下角的顶点为圆心，这个顶点到A的距离为半径的圆周长的，每转4次又回到开始位置，即可得出答案． 【详解】解：旋转1次，A旋转到左上角，A经过的路径为：， 旋转2次，A旋转到右上角，A经过的路径为：， 旋转3次，A旋转到右上角，A经过的路径为：， 旋转4次，A旋转到右上角，A经过的路径为：， 即旋转4次，A又回到左下角，故每旋转4次，A经过的路径为，而， ∴连续旋转次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形及弧长计算，关键是探索旋转中的规律：旋转4次，A又回到左下角，A经过的路径为． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； (2)______； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 【答案】(1)见解析 (2)90 (3) 【分析】本题考查了作图旋转变换，求弧长． （1）线段和的中垂线的交点即为点O，再确定点的位置，最后连线即可得“L”形旋转后所得到的图形； （2）由（1）中的图示可得； （3）点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，线段和的中垂线的交点即为点O， “L”形旋转后所得到的图形如图所示； （2）解：由（1）中的图示可得， 故答案为：90； （3）解：点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长， 由题意得， ∴点所经过的路径长， 故答案为：． 【典型例题五 求扇形面积】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积公式的知识点，已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【例2】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据直接求解即可． 【详解】解：如图，． 故选：A． 【例3】（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可． 此题主要考查了扇形面积的计算，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ，D是的中点， ， 图中阴影部分的面积是 故答案为： 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，扇形的面积和的长的数值均为，则半径（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的弧长和面积公式，设半径为，，根据扇形的弧长和面积公式列方程即可解答，熟练利用扇形的弧长和面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 则， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是：将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、． ∵，是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板做成一个扇形，于是设计了以下三种方案： 方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形． 方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）． 方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按类似图3的方法焊接成一个大扇形． (1)由方案一、二可知图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角是否也是，请说明理由． (2)由方案一、二容易得出图1的扇形与图3的扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积是否也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等；若不相等，面积是增大还是减小？请说明理由． (3)若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？ 【答案】(1)大于，理由见解析 (2)不能相等，面积增大；理由见解析 (3)当n逐渐增大时，焊接成的大扇形的面积增大 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，列出扇形的面积是解题的关键． （1）取的中点M、N，连接，求出，从而得到； （2）根据扇形的面积公式进行解答； （3）n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大，可知扇形的面积越大． 【详解】（1）解：不能为90°． 如图，取的中点M、N，连接； 则， ∴； 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按方案三所焊接而成的大扇形的圆心角必大于90°． （2）解：不能相等，面积增大． ∵，是常数， ∴圆心角n增大，扇形的面积必增大； 由（1）知，按方案三所焊成的大扇形的圆心角大于90°， ∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积． （3）解：n越大，所焊接成的大扇形的面积也越大． ∵，是常数， ∴n越大，焊接而成的大扇形的圆心角越大， ∴焊接成的大扇形的面积也越大． 【典型例题六 求弓形面积】 【例1】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为(   ) A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以得到∠BOC的值，然后根据勾股定理可以得到OB的长，由图可知S阴影＝S扇形BOC−S△BOC，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4， ∴2OB2＝()2， 解得OB＝4， ∴S阴影＝S扇形BOC−S△BOC ＝ ＝4π−8． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、圆周角定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【例2】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2×=60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1， ∴OD=， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 【例3】 （24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，以O为圆心的扇形AOB与扇形COD的圆心角为，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式用大扇形的面积小扇形的面积即可． 【详解】∵，， ∴， 由图可知阴影部分的面积大扇形的面积小扇形的面积， 即阴影部分的面积为， 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的面积公式：． 【例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，点B，C在上，连接AD，AB，AC，BC．若，所在的圆的半径为3，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】求弓形面积，利用所在的扇形的面积，再减去三角形的面积，因此构造弓形所属扇形，用 求出问题． 【详解】解：设点O为所在圆的圆心，连接OB，OC， 如图所示， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查弓形面积，利用所在的扇形的面积，再减去三角形的面积，解题关键熟记公式、． 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AD和BC平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝4米，AB＝2米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 平方米．（结果保留π） 【答案】 【分析】首先将圆形补全，设圆心为O，连接DO，过点O作OE⊥AD于点E，进而得出AD，EO的长以及∠1，∠AOD的度数，进而得出S弓形AD面积＝S扇形AOD﹣S△AOD求出即可． 【详解】解：将圆形补全，设圆心为O，连接DO，过点O作OE⊥AD于点E， 由AD和BC平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形， ∵平行四边形ABCD内接与圆， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴AC为圆的直径， ∵AC＝4米，AB＝2米， ∴∠ACB＝30°， ∵餐桌两边AB和CD平行且相等， ∴∠C＝∠1＝30°， ∴EO＝AO＝1， ∴AE＝＝， ∴AD＝， ∵AO＝DO， ∴∠1＝∠D＝30°， ∴∠AOD＝120°， ∴S弓形AD面积 ＝S扇形AOD﹣S△AOD ＝﹣×1×， ＝， ∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加（）平方米． 故答案为：． 【点睛】题主要考查了圆的综合问题，包括扇形面积计算圆内接四边形等知识，熟练掌握圆的相关知识是解题关键． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，连接． (1)求和的度数； (2)若，且，求弦的长度； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)的度数为108°，的度数为18° (2) (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据是的直径，得到，根据三角形的内角和即可得到的度数； （2）根据三角形的内角和得到，由圆周角定理得到，再根据勾股定理进行计算即可； （3）根据扇形面积公式和三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴, ∴， ∵是直径， ∴， ∴， （2）如图，连接， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； （3）∵，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握各性质定理，熟记扇形面积计算公式是解题的关键． 【典型例题七 求其他不规则图形的面积】 【例1】（2024·江苏徐州·模拟预测）“春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组，示意图如图②所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇形，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据求解即可． 【详解】解：，，， ， 故选：B．    【例2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）下图是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，劣弧的长为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，解题的关键是掌握扇形的面积公式和弧长公式．连接、，设的度数为，根据弧长公式求出，再求出和扇形的面积，即可求解． 【详解】解：连接、，设的度数为， 劣弧的长为， ， ， ， ，， 胶皮的面积为：， 故选：A．    【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【例4】 （2024九年级上·浙江温州·专题练习）两个直径分别为，的半圆按如图位置摆放，，，则图中阴影部分的面积是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆的性质、扇形面积的计算公式，解题关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 交半圆于点，连接，由圆的性质求出、后，根据即可得解． 【详解】解：交半圆于点，点为半圆的圆心，连接， 依题得：， ， ，， ， 两半圆面积相等， ， ， ． 故答案为：． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、弧长公式、扇形面积公式，连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，求出的长为，结合题意可得，作于，则，求出，由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、、， ， 由题意可得：，，， ∴、均为等边三角形，， ∴的长为， ∵“玫瑰三叶形”的周长为， ∴， ∴， 作于，则， ∴， 由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成， ∴“玫瑰三叶形”的面积为， 故答案为：． 3．（2025·浙江舟山·模拟预测）（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），分别垂直直线l于B，D两点，过点O作于点E，交于点F．已知，，． (1)求半径的长； (2)求图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， （1）先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵，由题意得， ∴ 在中，， ∴， 即的半径的长为． （2）连接 ， ， ∵ 在中，， ∴ 为等边三角形， 【典型例题八 求图形旋转后扫过的面积】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕原点逆时针方向旋转到的位置，则在旋转过程中，线段扫过的部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，勾股定理，扇形的面积公式，根据点坐标可以求出的长，再由题意可知，绕原点逆时针方向旋转到扫过面积为圆的面积，由扇形面积公式即可求得． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∵将绕原点逆时针方向旋转到， ∴线段扫过的部分的面积为圆， 即． 故选B． 【例2】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着浙江金华各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）武术是中华民族传统文化之瑰宝，源远流长，博大精深，有一个招式为“白鹤亮翅”（如图），其中一个动作可简化为右手手臂绕肘关节在竖直平面内旋转，若某人小臂长，则右手小臂完成动作时扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】根据题意可知． 所以小臂完成动作时扫过的面积是． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（   ） A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2 【答案】D 【详解】如图．小羊的活动范围是：S=π（m2）. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了扇形面积的实际应用，画出符合条件的图形是解决本题的关键. 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点B恰好在斜边上，则线段CA扫过的面积为 ．则点A经过的路径的长为 ． 【答案】 8π 【分析】解直角三角形求出BC、AC、∠ABC的度数，根据旋转的性质求出CB′=CB，∠B′=∠ABC=60°，∠A′CB′=∠ACB=90°，求出∠ACA′,再根据扇形的面积公式和弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8， ∴BC=AB=4，∠ABC=90°-∠A=60°， ∴AC= ， ∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转，使斜边A′B′过B点， ∴CB′=CB，∠B′=∠ABC=60°，∠A′CB′=∠ACB=90°， ∴△BCB′是等边三角形， ∴∠BCB′=60°， ∴∠A′CB=90°-60°=30°， ∴∠ACA′=∠ACB-∠A′CB=90°-30°=60°， ∴线段CA扫过的面积为， 点A经过的路径的长为， 故答案为：8π；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面积以及弧长计算等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出绕点C逆时针旋转后的图形； (2)在（1）的条件下，求出线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转作图、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）先利用勾股定理计算出，然后根据扇形面积公式计算线段所经过的面积即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：， ∴线段所扫过的面积：． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为根据题意列方程求解即可． 【详解】∵一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为， ∴设这个扇形的半径为 ∴ ∴ ∴这个扇形的半径为． 故选：A． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）小英发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图是小英画的银杏叶片的几何示意图，通过测量得到，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：的长为：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设半径OA绕轴心旋转的角度为n°，根据弧长公式列出方程即可求出结论． 【详解】解：设半径OA绕轴心旋转的角度为n° 根据题意可得 解得n=54 即半径OA绕轴心旋转的角度为54° 故选A． 【点睛】此题考查的是根据弧长，求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B，， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 5．（2025九年级上·浙江金华·模拟预测）如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）    A． B． C．π D． 【答案】C 【分析】整个旋转过程中线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形，分别求出、，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：连接，，    ∵O、H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置， ∴， ∴线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形， ∵°，，， ∴， ∴， ∵H为边的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分面积， 故选：C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，涉及到直角三角形的性质及旋转的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解，正确理解公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角是， 根据扇形的面积公式得：， 解得， 故答案是：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一个扇形的弧长是10πcm，圆心角是，则此扇形的半径是 ． 【答案】12 【分析】设该扇形的半径为，然后根据弧长计算公式可直接进行求解． 【详解】解：设该扇形的半径为，由题意得： ，解得：； 故答案为:12． 【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 8．（2025·山东济南·模拟预测）如图，边长为6的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，正六边形的性质等知识点．将阴影部分合并即可得到扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，图形可转换成下图， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，为半圆上一点，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点恰好与点重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．阴影部分的面积通过进行计算即可． 【详解】解：连接, 半圆绕点逆时针旋转得到半圆，半圆的半径为2， ， 是等边三角形， ， 过作交于点， 是等边三角形， ， 在直角三角形中，由勾股定理可得： , , 阴影部分的面积． 故答案为：． 10．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴， 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·上海静安·课后作业）已知正方形的边长为2，求右图中阴影部分的面积． 【答案】2.28 【分析】先求出弓形的面积，然后即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：根据题意，则 ． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，以及求弓形的面积，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，、分别是两个扇形的圆心，，半圆的直径为，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 【答案】 【分析】由阴影部分的周长等于半圆周长加上扇形弧长，再加上，从而可得答案． 【详解】解：的半径为， 的半径是， 图中阴影部分的周长是． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 14．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)点旋转到点的过程中所经过的路径长为 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，原点对称和弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据“关于原点对称的点的横坐标和纵坐标互为相反数”找到对应的点，然后顺次连接得到，进而写出点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接得到，进而写出点的坐标即可； （3）利用勾股定理求出的长，再根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可知：．    （2）解：如图，即为所求，由图可知：．    （3）解：， 点旋转到点的过程中所经过的路径长为． 15．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． (1)求的半径； (2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； (3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2)圆弧形门洞的拱高为 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理求得矩形鄂的对角线长即可． （2）设弧的中点为，作于，利用垂径定理，三角形中位线定理，结合所求解答即可． （3）根据阴影部分的面积，依据面积计算公式解答即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． ． 的半径为． （2）解：如图，设弧的中点为，作于， 由对称性可知，过圆心， 则， ， ． 圆弧形门洞的拱高为． （3）解：．理由如下： 的面积， ． ， ， ． ． 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，圆的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$