第10讲 圆内接四边形及正多边形（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第10讲 圆内接四边形及正多边形（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 已知圆内接四边形求角度 典型例题二 求四边形外接圆的直径 典型例题三 求正多边形的中心角 典型例题四 已知正多边形的中心角求边数 典型例题五 尺规作图——正多边形 典型例题六 正多边形和圆的综合 知识点01 正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【即时训练】 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2024九年级上·浙江绍兴·模拟预测）如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·课后作业）要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 【典型例题一 已知圆内接四边形求角度】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．同位角相等 B．圆内接四边形对角互补 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在圆O中，弦，半径为，则弦所对的圆周角为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，点在上，且点不与重合，则的度数为 ． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，等腰中，，，点C为平面内一点，满足，且的长度为整数，则所有满足题意的长度的可能值为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．    (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． (3)请在图中作一个的圆周角，记为． 【典型例题二 求四边形外接圆的直径】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 【例3】（2025九年级·浙江·模拟预测）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京东城·模拟预测）已知：正方形 ABCD． 求作：正方形 ABCD 的外接圆． 作法：如图， （1）分别连接 AC，BD，交于点 O； （2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作⊙O，⊙O 即为所求作的圆． 请回答：该作图的依据是 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 【典型例题三 求正多边形的中心角】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是 ． 【例4】（2025九年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ ，边长＝ ，边心距＝ ． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在正十边形中，连接、，则 ° 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【典型例题四 已知正多边形的中心角求边数】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【例2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【例3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条． 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 2．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【典型例题五 尺规作图——正多边形】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【例3】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 【例4】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． 题A．如图1，在矩形中，E、F分别是、的中点，请作出以为边的菱形， 且G、H分别在、边上， 并证明你所作的四边形是菱形． 题B．如图2，在正方形中，E是对角线上一点（），请作出以为边的菱形， 且点F在上， 并证明你所作的四边形是菱形．    【典型例题六 正多边形和圆的综合】 【例1】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（       ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 【例4】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）下列说法： ①任意三点可以确定一个圆； ②半圆是弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤圆内接四边形对角互补； ⑥平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图为五星红旗上的一个五角星图案，将图案绕中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 4．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）蜂巢结构精巧，其巢房横截面形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，将七个全等的正六边形不重叠且无缝隙的放在直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，，则点的坐标为（   ）      A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知圆内接四边形中，，则 ． 7．（23-24九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是 ． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·课后作业）图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是 ； （2）的值是 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在综合实践课上，老师拿出了如图1所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并说：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，请设计三个正方形摆放的方案．”某小组提供了图2两个方案． （1）在图2中，方案一的圆形纸片的面积记为，方案二的圆形纸片的面积记为，则 （填“”“”或“”）； （2）能完全覆盖图1三个正方形硬纸板的圆形纸片的直径的最小值为 ． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，四边形是的内接四边形，．求证：．    13．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 圆内接四边形及正多边形（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 已知圆内接四边形求角度 典型例题二 求四边形外接圆的直径 典型例题三 求正多边形的中心角 典型例题四 已知正多边形的中心角求边数 典型例题五 尺规作图——正多边形 典型例题六 正多边形和圆的综合 知识点01 正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【即时训练】 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识．根据多边形的内角和可以求得，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 【即时训练】 2．（2024九年级上·浙江绍兴·模拟预测）如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正六边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长正六边形的两边， ∵正六边形的每个外角为 ∴圆心角为， ∴的值为， 故答案为：． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·课后作业）要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 【答案】半径至少为a． 【分析】画出正方形外接圆，连接AC，求出正方形外接圆半径即可． 【详解】解：如图所示，连接AC， ∵∠D＝90°， ∴AC为直径， 在 Rt△ACD中，AC＝＝a， ∴半径至少为a． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的计算，解题关键是画出图形，准确进行计算． 【典型例题一 已知圆内接四边形求角度】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．同位角相等 B．圆内接四边形对角互补 C．抛掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、同位角相等，是随机事件，故此选项不符合题意； B、圆内接四边形对角互补，是必然事件，故此选符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选不符合题意； D、打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放，是随机事件，故此选不符合题意； 故选：B． 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的内接四边形的性质是解题的关键，根据，，可求出的度数，再利用圆的内接四边形的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在圆O中，弦，半径为，则弦所对的圆周角为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 设的半径为，由题意可得，于是可得为等边三角形，则，设弦所对的圆周角为，分两种情况讨论：当点在弦所对的优弧上时，由圆周角定理可求出的度数；当点在弦所对的劣弧上时，由圆内接四边形的性质可求出的度数；综上，即可得解． 【详解】解：如图， 设的半径为， 由题意可得：， 为等边三角形， ， 设弦所对的圆周角为， 当点在弦所对的优弧上时，， 当点在弦所对的劣弧上时，， 弦所对的圆周角的度数为或， 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，点在上，且点不与重合，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，由于点的位置不能确定，故应分点在优弧上和在劣弧上两种情况讨论，解题的关键是注意进行分类讨论，不要漏解． 【详解】解：如图，当点在优弧上时， ∴； 如图，当点在劣弧上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：或． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，由是的直径，，由四边形内接于，可得，即可得解． 【详解】解：连接，如图所示， ，， 是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，等腰中，，，点C为平面内一点，满足，且的长度为整数，则所有满足题意的长度的可能值为 ． 【答案】3，4，5 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了四点共圆的条件．分类讨论：由于，可计算出圆的直径得到，即可解答． 【详解】解：∵， ①当点C在的外接圆上，且点C在优弧上，时，此时最大，如图1， ∵，， ∴； ②当点C在以O为圆心、为半径的圆上，如图2， 则， ∴， ∴长度的可能值为3、4、5， 故答案为：3、4、5． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．    (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． (3)请在图中作一个的圆周角，记为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了圆的内接四边形求度数，圆周角定理，正确把握圆周角定理是解题的关键． （1）在弧上取一点，连接，则，故即为所求； （2）作直径，连接，则，那么，故即为所求； （3）连接，则，故即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）解：如上图，即为所求； （3）解：如上图，即为所求． 【典型例题二 求四边形外接圆的直径】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在这个圆面上随意抛一粒豆子（豆子大小忽略不计），若豆子落在正方形ABCD内的概率记为P1，豆子落在图中阴影部分内的概率记为P2，则对P1和P2的大小判断正确的是（　　） A．P1＞P2 B．P1＜P2 C．P1＝P2 D．与圆的半径有关 【答案】B 【分析】求落在正方形和阴影部分内的概率，可直接求正方形的面积和阴影部分的面积即可得出二者的大小关系． 【详解】解：设的半径为r，则正方形的对角线为2r， ∴， ， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查概率的比较，包括正方形和圆的基本性质，熟练掌握正方形和圆的基本性质是解题关键． 【例3】（2025九年级·浙江·模拟预测）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 【例4】（24-25九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 2．（2025·北京东城·模拟预测）已知：正方形 ABCD． 求作：正方形 ABCD 的外接圆． 作法：如图， （1）分别连接 AC，BD，交于点 O； （2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作⊙O，⊙O 即为所求作的圆． 请回答：该作图的依据是 ． 【答案】正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆． 【分析】利用正方形的性质得到 OA=OB=OC=OD，则以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，点B、C、D都在⊙O 上，从而得到⊙O 为正方形的外接圆． 【详解】∵四边形 ABCD 为正方形， ∴OA=OB=OC=OD， ∴⊙O 为正方形的外接圆． 故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆； （2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND． 【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∴A、E、C、F四点共圆； （2）由（1）可知，圆的直径是AC， 连接AC交BD于O， ∵ABCD是平行四边形， ∴O为圆心，OB=OD， ∴OM=ON， ∴BM=ND.    【点睛】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.． 【典型例题三 求正多边形的中心角】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得． 【详解】解：这个正六边形的中心角为， 如图，过圆心作于点， ， 是等边三角形， ， ， 即这个正六边形的边心距为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键． 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·期末）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【详解】解：∵五边形是的内接正五边形， ∴五边形的中心角的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键． 【例3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是 ． 【答案】 【分析】连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，证明△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质，得出，根据勾股定理得出即可． 【详解】解：连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形， ∴， ∵OB=OC， 为等边三角形， ∴， ， ∴， ， 即弦心距是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【例4】（2025九年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ ，边长＝ ，边心距＝ ． 【答案】 60°/60度 4 【分析】根据圆内接正六边形的性质，用360°除以正多边形的边数即可求出中心角，进而可证明△OCD是等边三角形，则有BC＝CD＝OC＝4，由OG⊥BC，可得CG＝BC＝2，利用勾股定理即可得OG，问题得解． 【详解】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD=， 又∵OC＝OD=4， ∴△OCD是等边三角形， ∴BC＝CD＝OC＝4， ∵OG⊥BC， ∴CG＝BC＝2， ∴边心距：， 故答案为：60°，4，． 【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的知识，熟练掌握中心角和边心距的求法是解题的关键．边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形边的距离． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】，根据正六边形的性质分别求出 即可． 【详解】解：连接，如图所示：    由正六边形的对称性可知： ∴是全等的等边三角形 ∴四边形是菱形 同理， ∵ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在正十边形中，连接、，则 ° 【答案】54 【分析】设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O，再求出∠A7OA4,最后运用圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图：设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O， ∵正十边形的各边都相等 ∴∠A7OA4=×360°=108° ∴108°×=54°． 故填54． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得； （3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键． 【典型例题四 已知正多边形的中心角求边数】 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 【例3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=， ，， ∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴， 故答案为：． 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 2．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ． 【答案】9 【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得． 【详解】∵正n边形的中心角＝＝40°， n＝＝9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和正多边形的边数之间的关系是关键． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质证明即可； （2）连接交BC于点即为所求，连接交于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点即为所求； ∵正六边形， ∴四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，， ∵正六边形每个内角的度数为：， ∴， ∴； （2）如图，连接交BC于点即为所求．证明如下： 连接交于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 【典型例题五 尺规作图——正多边形】 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【答案】D 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误； B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误； C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误； D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 【例3】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 【答案】（，） 【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标． 【详解】解：根据题意，点D与点A关于原点对称， ∵点A的坐标为：（1，）， ∴点D的坐标为：（，）； 故答案为：（，）； 【点睛】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的关键． 【例4】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】解：正方形如图所示： 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． 题A．如图1，在矩形中，E、F分别是、的中点，请作出以为边的菱形， 且G、H分别在、边上， 并证明你所作的四边形是菱形． 题B．如图2，在正方形中，E是对角线上一点（），请作出以为边的菱形， 且点F在上， 并证明你所作的四边形是菱形．    【答案】作图，证明见解析 【分析】对于题目A，先连接，，交于点O，再连接，并延长交于点G，同理得出H，然后连接，，，则四边形是所求作的图形； 根据矩形的性质证明，可得，进而说明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质得，即可得出答案； 对于题目B，连接，交于点O，延长交于点G，再连接并延长，交于点H，连接，交于点F，最后连接，，则四边形为所求作的图形； 根据正方形的性质证明，再证明，然后证明，再根据线段垂直平分线的性质可得答案． 【详解】题A，如图所示．    ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴． 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是菱形； 题目B，如图所示．    ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∴，，， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. ∵四边形是正方形， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定，尺规作特殊四边形，全等三角形的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 【典型例题六 正多边形和圆的综合】 【例1】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理的应用，如图，记外接圆的圆心为，连接，，，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，记外接圆的圆心为，连接，，， ∵，分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形，求扇形的面积．先求出正六边形的一个内角的度数，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将的圆周12等份，圆内接矩形的面积为20，则圆内接正六边形面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，交于，根据矩形的性质得到，求得，推出是等边三角形，得到边即为圆内接正六边形的边，即可求解． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 四边形是矩形， ， ，是的直径， 将的圆周等份， ， 是等边三角形， 边即为圆内接正六边形的边， 圆内接矩形的面积为， ， 圆内接正六边形面积为， 故答案为：30． 【例4】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，正五边形和正六边形有公共边．以点为圆心，为半径画圆．则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求出的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由正五边形和正六边形可得：，， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)度 【分析】（1）①根据正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为的长作答即可； ②如图1，连接，证明，则，，然后作答即可； （2）如图2，连接，根据，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； ②解：正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为，证明如下； 如图1，连接， ∵为正方形的中心， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； （2）解：如图2，连接， ∵正五边形， ∴， ∴当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）下列说法： ①任意三点可以确定一个圆； ②半圆是弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤圆内接四边形对角互补； ⑥平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了几何中的相关概念，掌握圆的确定方法，圆心角、弧、弦，垂径定理的推论，圆内接四边形的性质是关键． 根据圆的确定方法，圆心角、弧、弦，垂径定理推论，圆内接四边形的性质等知识判定即可． 【详解】解：①不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故原说法错误； ②半圆是弧，正确； ③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； ④能够重合的两条弧是等弧，故原说法错误； ⑤圆内接四边形对角互补，正确； ⑥平分弦（除直径外）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图为五星红旗上的一个五角星图案，将图案绕中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据五角星的顶点连接起来是正五边形，结合正多边形绕中心旋转重合关系求解即可得到答案； 【详解】解：∵五角星的顶点连接起来是正五边形， ∴， 故选：B； 【点睛】本题考查正多边形绕中心旋转与原图形重合，解题的关键是熟练掌握旋转正n边形旋转的整数倍与原图形重合． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 4．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】如图，连接AO，证明△EOA≌△FOC（ASA），可判断①②③的正误，根据对角和为180°的四边形有外接圆，可判断④的正误． 【详解】解：如图，连接AO， ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点， ∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°， ∵∠EOA+∠AOF=90°，∠AOF+∠FOC =90°， ∴∠EOA=∠FOC， 在△EOA与△FOC中， ∵， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴EA=FC，， ∴AE+AF=AF+FC=AC， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 在四边形中， ∵，， ∴四边形有以为直径的外接圆， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，外接圆等知识．证明△EOA≌△FOC是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）蜂巢结构精巧，其巢房横截面形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，将七个全等的正六边形不重叠且无缝隙的放在直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，，则点的坐标为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设中间正六边形的中心为，连接，可得，，即得，得到，再根据正多边形的性质可得为等边三角形，即可得，得到，利用勾股定理得，即得，即可求解． 【详解】解：设中间正六边形的中心为，连接， ∵点的坐标分别为，，图中是七个全等的正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识点是解题的关键． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知圆内接四边形中，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解∶∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， 故答案为∶． 7．（23-24九年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质，先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形即可求解．熟知圆内接正n多边形的中心角公式是解答关键． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是， 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·课后作业）图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 【详解】：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是 ； （2）的值是 ． 【答案】 平行 12 【分析】本题主要考查了正边形的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． （1）连接，假设正边形的外接圆为，根据正多边形的性质可得，根据圆周角定理得出，即可解答；（2）连接，根据，得，则正边形中心角为，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接， 假设正边形的外接圆为， 根据正多边形的性质可得， ∴， ， 故答案为：平行； （2）如图，连接， ∵， ， ∴， ∴正边形中心角为， ， 故答案为：12． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在综合实践课上，老师拿出了如图1所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并说：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，请设计三个正方形摆放的方案．”某小组提供了图2两个方案． （1）在图2中，方案一的圆形纸片的面积记为，方案二的圆形纸片的面积记为，则 （填“”“”或“”）； （2）能完全覆盖图1三个正方形硬纸板的圆形纸片的直径的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】此题考查正多边形与圆，圆的面积公式，勾股定理． （1）分别求出两个方案中圆形纸片的半径，然后求出面积进行比较即可； （2）设计一个直径更小的情况，求出半径即可； 解答此题的关键是找出经过以各边顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）依题意得：方案一中圆形纸片的直径为， 则半径为； 圆的面积为：； 方案二中圆形纸片的半径为， 圆的面积为：； ∴； 故答案为：． （2）按如图所示位置摆放，连接，，延长交于点P，则，P为中点，此时圆形纸片的直径最小， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，则有：， ， 则， 此时圆形纸片的直径为， 圆形纸片的最小直径为， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 12．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，四边形是的内接四边形，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据圆内接四边形的性质，可得,再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是的内接四边形， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 【答案】64cm2 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】解：连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF=FC=4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：(a)2=42+(a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8， ∴正方形面积为 故答案为：64cm²． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 14．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识． （1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得 从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得，故可得正六边形； （2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求． 【详解】（1）①连接    ∵ ∵过圆心 ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； ②如图，正六边形即为所作；    （2）如图，正五边形即为所求作．    学科网（北京）股份有限公司 $$