第09讲 圆心角与圆周角（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第09讲 圆心角与圆周角（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 圆心角概念辨析及简单运算 典型例题二 圆周角的概念辨析及简单运算 典型例题三 求圆弧的度数 典型例题四 圆周角定理 典型例题五 利用弧、弦、圆心角的关系求解 典型例题六 利用弧、弦、圆心角的关系求证 典型例题七 同弧或等弧所对的圆周角相等 典型例题八 半圆（直径）所对的圆周角是直角 典型例题九 90度的圆周角所对的弦是直径 知识01 圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即时训练】 1．（2024九年级上·浙江温州·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·浙江温州·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【典型例题一 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列语句中不正确的有（　　）   ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【例2】（2025九年级·浙江温州·专题练习）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【例3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（ ） ①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等． A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④ 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    3．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图是半径为2的圆， （1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度， （2）求第三个扇形AOC的面积． 【典型例题二 圆周角的概念辨析及简单运算】 【例1】（23-24九年级上·浙江丽水·阶段练习）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【例2】（23-24九年级上·浙江温州·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级·浙江温州·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·课后作业）如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（    ）． A．4 B． C．2 D．0 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【典型例题三 求圆弧的度数】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（　　） A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n° 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【例4】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【典型例题四 圆周角定理】 【例1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，是的内接三角形，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，将一个三角尺角的顶点放在上，三角尺的两边与交于两点，连接，则（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，点，在以为直径的半圆上，且，若的度数为，则的度数为 ． 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则的度数为 ． 1．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，在中，弦与弦互相垂直，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于． (1)如图1，若过圆心，求的度数； (2)如图2，若与相交于，求的半径． 【典型例题五 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【例4】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理： ． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东日照·模拟预测）已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为 °． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【典型例题六 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【例3】（24-25九年级上·上海静安·课后作业）120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·课后作业）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点交⊙O于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_________． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【典型例题七 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，弦，相交于点P，若，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【例3】 （24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，为的直径，，若，则 度． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则 ． 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知是的直径，半径，D是的中点，若过点D的弦平行于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 【典型例题八 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图：工人张师傅在修复处理一块残破圆形材料时用直角尺测得，，然后他就根据该残片直径裁出了大小相同的完好圆形材料，根据获得的数据算出该圆形材料的直径是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知线段是的直径，不与A、B重合的点C在上，则 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，是的直径，，则 ． 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．长度相等的弧是等弧 C．直径所对的圆周角等于 D．过圆心的线段是直径 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是 度． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【典型例题九 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例1】 （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为的圆中，则这根铁丝的长度为 ．（，精确到） 【例4】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为 ．    1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列图形中的线段是圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）下面是证明定理的两种方法，请完成证明过程．（两种都要写） 证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：． 方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明． 1．（23-24九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，在⊙O中，点A、B、C、D分别在圆上，则图中弧的条数是（   ） A．12条 B．11条 C．9条 D．8条 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）为的外接圆，为的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知锐角，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接（2）分别以点，D为圆心，长为半径作弧，交于点（3）连接，．下列四个结论：①；②；③；④．所有正确的结论是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 6．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 7．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B= 度． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，则 ． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为 °．（写出一个即可） 10．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 11．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，、是的半径，C是上一点，若，，求的大小． 14．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知点A，B在圆上，以为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中作出圆的一条直径； (2)在图2中作出圆内接正方形． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）学习下面方框内的内容，并解答下列问题： 小明在反思学习时，发现解决下列2个问题时都用到了同一种数学思想方法： 问题1：若，求的值． 解决思路：． 问题2：如图1，分别以的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和． 解决思路：图中3个扇形的半径都是2，可以将3块阴影扇形拼成一个半径为2的……，求出这个图形的面积即可． 问题： (1)方框内2个问题的解决都用到了___________的数学思想方法（从下列选项中选一个）； A．分类讨论；B．数形结合；C．整体；D．从特殊到一般 (2)方框内问题2中阴影部分的面积为___________ (3)如图2，已知的半径为5，、是的弦，且，，求与的长度之和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆心角与圆周角（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 圆心角概念辨析及简单运算 典型例题二 圆周角的概念辨析及简单运算 典型例题三 求圆弧的度数 典型例题四 圆周角定理 典型例题五 利用弧、弦、圆心角的关系求解 典型例题六 利用弧、弦、圆心角的关系求证 典型例题七 同弧或等弧所对的圆周角相等 典型例题八 半圆（直径）所对的圆周角是直角 典型例题九 90度的圆周角所对的弦是直径 知识01 圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即时训练】 1．（2024九年级上·浙江温州·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·浙江温州·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【典型例题一 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）下列语句中不正确的有（　　）   ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据圆的性质依次进行判断即可得． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线（或直径所在的直线）都是圆的对称轴；④在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧； 综上，①②④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆的性质． 【例2】（2025九年级·浙江温州·专题练习）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC， ∴∠DOC＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠OCB＝∠DOC＝40°， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键． 【例3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【例4】（2025·浙江温州·模拟预测）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（ ） ①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等． A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④ 【答案】C 【分析】根据所学定理和推论可知． 【详解】解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确． ②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误． ③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误． ④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了与圆有关的定理和推论，对于圆中的一些易混易错定理和推论应重点记忆和掌握． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【答案】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图是半径为2的圆， （1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度， （2）求第三个扇形AOC的面积． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】（1）根据扇形定义及题目要求画出即可； （2）根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2），， ， 故． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，解题的关键是根据题意求出对应圆心角度数是前提，掌握扇形的面积公式． 【典型例题二 圆周角的概念辨析及简单运算】 【例1】（23-24九年级上·浙江丽水·阶段练习）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确； C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识． 【例2】（23-24九年级上·浙江温州·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25九年级·浙江温州·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 【答案】 圆周角 圆 相交 【解析】略 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·课后作业）如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 【答案】8 【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案． 【详解】解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角． 故答案为8． 【点睛】本题考查圆周角的定义和分类思想的应用，根据圆周角的定义对图中圆周角进行分类统计即可得到正确答案． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为60°的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是（    ）． A．4 B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】分别求出A0A1，A0A2，A0A3，……的值，找出循环规律计算即可． 【详解】解：如图， ∵⊙O的半径=2， 由题意得，A0A1=4，A0A2=，A0A3=2，A0A4=，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4，… ∵2022÷6=337， ∴按此规律运动到点A2022处，A2022与A0重合， ∴A0A2022=0． 故选：D 【点睛】本题考查了图形的变化类，等边三角形的性质，解直角三角形等知识；由题意得出规律是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则 . 【答案】40°、20°、100° 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）把下面的语句还原成图形： 作图区域： (1)的半径为1cm，是的一条弦（不经过M），、分别是劣弧所对应的圆心角和圆周角； (2)是中的一条弧，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）画非直径的弦，在优弧上取点C，连接，，即可解答； （2）在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，即可． 【详解】（1）解：如图，和为所作； 作图区域：        （2）解：如图，在上取一点D，以为半径画弧，交于点E，根据等弦对等弧，可得，即为所作， 作图区域：    【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解乘基本作图，逐步操作即可． 【典型例题三 求圆弧的度数】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（　　） A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n° 【答案】A 【详解】试题解析：∵将旋转n°得到， ∴=， ∴∠DOC=∠AOB=25° 故选A． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【例3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 【例4】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为.利用三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆的知识可求出大量角器上对应的角度. 【详解】设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为，连接、， 则，， 因而， 在大量角器中弧所对的圆心角是， 因而在大量角器上对应的度数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆心角是，能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键. 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 【详解】解：连接OE，OD， ∵=， ∴∠DOC=∠EOF， ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠DCO=∠EFO=90°， 又∵DO=EO， ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴CO=OF=， ∵在Rt△DOC中，OD=， ∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =， ∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 故答案为：x2-x+1=0． 【点睛】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且． （1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出． （2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可； （2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求． （2）AB=， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角． 【典型例题四 圆周角定理】 【例1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，是的内接三角形，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得到，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【例2】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，将一个三角尺角的顶点放在上，三角尺的两边与交于两点，连接，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求解即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，顶点在圆上，， ∴， 故选：C． 【例3】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，点，在以为直径的半圆上，且，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，圆周角定理，平行线的性质，根据题意可得，由平行线的性质得到，则，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：94． 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）筒车（图1）是我国古代一种水利灌溉工具，利用水流的动力进行灌溉，工作原理基于圆周运动和重力作用．如图2，筒车与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，D是其中之一，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图，在中，弦与弦互相垂直，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理、外角和性质，等边对等角，圆周角定理的运用，掌握圆周角定理的计算是关键． 根垂直定义，三角形内角和定理，外角和的性质，等边对等角设，则，，根据圆周角定理得到，，根据，列式得，即可求解． 【详解】解：如图所示，设的垂足为点，交于点， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接，先计算得到，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧的中点，即，根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角得到，则可得到，然后再利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴， ∴， 而， ∴点E为弧的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：60． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）在中，为弦，为直径，于于． (1)如图1，若过圆心，求的度数； (2)如图2，若与相交于，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得即可解答； （2）连接，，证明，得，设的半径为，则，，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，为直径， ，， ，过圆心， ，， ， 为等边三角形， ； （2）解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 所以的半径为． 【典型例题五 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据“”得到，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【例2】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 【详解】解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）有学者研究表明，我国古代制作铜镜背面花纹时，所采用的四等分圆周的一种方法是：如图所示，先由圆心画出圆的一条直径，再用“矩”（一种直角曲尺，可以画直角）过圆心垂直于第一条直径画出第二条直径，则这两条直径的四个端点将圆周四等分．请用你学过的一个定理解释这种四等分圆周的方法的道理： ． 【答案】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【分析】本题考查了圆心角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 【详解】解：采用的四等分圆周的一种方法，可以利用圆心角定理来解释， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 故答案为：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 2．（2025·山东日照·模拟预测）已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到是等边三角形．连接，根据作图，结合已知可得是等边三角形，进而根据作图可得，即可得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，由作图可知：， 又 是等边三角形， ， 由作图可知：， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由见解析． 【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【详解】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作的平分线， ∵是的平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即＝2； 小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D，由垂径定理可知，， ∴， ∵，即，而， ∴， ∴， ∴2． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系是正确解答的关键． 【典型例题六 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例1】（23-24九年级上·浙江温州·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 【例2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断． 【详解】（1）在⊙O中，∵，∴，∴（1）正确； （2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确； （3）∵，∴∴；∴（3）正确； （4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确 故选：C 【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进行判断正误． 【例3】（24-25九年级上·上海静安·课后作业）120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 【答案】 三 三 【分析】根据题意可知由于圆周角为360°，则圆心角是120°的圆心角所对弧长是圆周长的120°÷360°=，所以所对的弧长是相应的圆的周长的，据此解答即可． 【详解】解：120°÷360°=， 它所对的弧是相应圆周长的， 答：120°的圆心角是360°的三分之一，它所对的弧是相应圆周长的三分之一． 故答案为：三；三． 【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·课后作业）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点交⊙O于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【分析】①根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，②根据直径所对的圆周角是判断，③同一个圆中，圆周角相等，弧相等，④根据等腰直角三角形的判断方法判定. 【详解】解：如图，连接．是的直径，．又，故②正确．是的平分线，．故③正确．是的直径，．．是的直角边，是斜边，．故④错误．由圆周角定理知，，故①正确． 综上，正确的结论是①②③． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是、等腰三角形的性质、角平分线的性质、圆周角定理等，知识综合性较强，是常见考点，难度一般，熟练掌握相关知识是解题关键. 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，根据弦、弧的关系及圆周角定理判断求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴，， 故A、B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论仍然成立，证明见解析 【分析】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． （1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； （2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； 【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∴；    （2）解：结论仍然成立． 理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知． ∴， 如图④，当点在内时，由（1）知． ∴． 【典型例题七 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，弦，相交于点P，若，，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，同弧所对的圆周角相等，由三角形外角的定义和性质得出，再由同弧所对的圆周角相等即可得出． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵ ∴， 故选：A 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由尺规作图可知：平分， ∴， ∴； 故选D． 【例3】 （24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，为的直径，，若，则 度． 【答案】55 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，先由为的直径，得出，再因为，则，最后结合直角三角形的两个锐角互余，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：55． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，以原点为圆心的圆，交轴于、两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内⊙O上的点，若，则 ． 【答案】75°/75度 【分析】本题考查了圆周角定理，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中． 连接．利用同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半即可求出，然后求出，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出． 【详解】解：如图，设圆与y轴负半轴交于点E，连接， ∵，， ， ∵， ， 又∵， ， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知是的直径，半径，D是的中点，若过点D的弦平行于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定性质及圆周角定理．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．据此逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，D是的中点，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ， ∴是等边三角形， ，即， ∴， ∴， ∴，故选项B正确，选项A错误； ∴，故选项C错误； ∵是的直径， ∴， ∴，故选项D错误； 故选：B． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是的直径，弦，点在上．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，，，根据圆周角定理可得：，，推出，结合，可求出，进而得到，最后根据垂径定理即可求解． 【详解】解：连接，，， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的直径，弦， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，图1是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图2，要在四个村庄，，，修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由． 【答案】作图见解析 【分析】分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点即可． 【详解】解：如图，分别作线段、的垂直平分线，两垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，则为的外接圆， 此中转站应建在的外接圆圆心处． 理由：由图（1）知：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆， ∵，， ∴是锐角三角形， ∴其最小覆盖圆为的外接圆，设为， 设直线与交于点，，连接， ∵， ∴， ∴点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆， ∴中转站建在的外接圆圆心处，符合题中要求． 【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，解题的关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆是解题的关键． 【典型例题八 半圆（直径）所对的圆周角是直角】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）一张直径为10的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据长度合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，再利用勾股定理即可求解．本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】A．∵， ∴点A在半圆内，符合题意； B．∵， ∴点A在半圆上，不符合题意； C．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； D．∵， ∴点A在半圆外，不符合题意； 故选：A．． 【例2】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图：工人张师傅在修复处理一块残破圆形材料时用直角尺测得，，然后他就根据该残片直径裁出了大小相同的完好圆形材料，根据获得的数据算出该圆形材料的直径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是该圆形材料的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， 由题意可得： 则是该圆形材料的直径， 由勾股定理得：， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知线段是的直径，不与A、B重合的点C在上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据直径所对圆周角是直角可得结论． 【详解】解：如图，线段是的直径， 所以，， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，是的直径，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，根据是的直径，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．长度相等的弧是等弧 C．直径所对的圆周角等于 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，判断命题的真假，根据圆的有关概念进行排除即可． 【详解】解：A、直径是弦，但是弦不一定是直径，原选项说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，原选项说法错误，不符合题意； C、直径所对的圆周角等于，原选项说法正确，符合题意； D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，原选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查圆周角定理及推论．熟练掌握圆周角定理及推论，三角形内角和定理和角平分线定义，是解题的关键． 根据圆周角定理及推论得到，，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解: ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：80． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 【典型例题九 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例1】 （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）的外接圆的半径，则斜边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边是的直径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴斜边是的直径， ∵， ∴； 故选C． 【例2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的斜边与半圆的直径重合放置，，点为上任意一点，连接交半圆于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定理，掌握圆周角定理是解本题的关键． 根据，以点为圆心的半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，以点为圆心的半圆的直径和重合， ∴点在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为的圆中，则这根铁丝的长度为 ．（，精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，正方形的性质，勾股定理， 先根据正方形的性质得到，，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到，据此利用勾股定理求出正方形的边长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是正方形的外接圆的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴这根铁丝的长度为， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为 ．    【答案】13 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，    ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的直径为， 故答案为：13． 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）下列图形中的线段是圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理推论“90度的圆周角所对的弦是直径”，解题的关键是熟练掌握90度的圆周角所对的弦是直径．根据90度的圆周角所对的弦是直径求解即可得． 【详解】解：A、图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，则此项不符合题意； B、图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，则此项不符合题意； C、图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，则此项符合题意； D、图中直角是圆周角，，但点不在圆上，所以线段不是圆的直径，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了矩形的性质，与三角形中位线有关的求解问题、勾股定理、度的圆周角所对的弦是直径，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解，根据三点共线是有最值即可求解． 【详解】解：由题意得， 点在为直径的圆上，在中， 的半径为是的中点， 三点共线时线段有最值， 如图1，有最大值， 如图2，有最小值． 故答案为：4，1． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）下面是证明定理的两种方法，请完成证明过程．（两种都要写） 证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：． 方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是直径： 方法一：如图所示，延长到E，使得，连接，证明，得到，进而证明四边形是矩形，得到，即可证明； 方法二：如图所示，是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，以为圆心，以为半径画圆，证明为圆的直径，即可证明． 【详解】解：方法一：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； 方法二：如图所示，是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，以为圆心，以为半径画圆， ∵， ∴为圆的直径， 内接于，则点在圆上，且， ， ． 1．（23-24九年级上·浙江温州·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，在⊙O中，点A、B、C、D分别在圆上，则图中弧的条数是（   ） A．12条 B．11条 C．9条 D．8条 【答案】A 【分析】以每个点为始发点，顺时针方向找弧，都能找到三条，共12条弧. 【详解】4+4+4=12（条） 故选A. 【点睛】本题考查认识平面图形，熟练掌握相关知识点是解题关键. 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：C 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）为的外接圆，为的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质和三角形的外接圆的知识，掌握以上知识是解题的关键； 由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质求出，即可得到的度数． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 5．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知锐角，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接（2）分别以点，D为圆心，长为半径作弧，交于点（3）连接，．下列四个结论：①；②；③；④．所有正确的结论是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】连接，根据作一个角等于已知角的基本作图，圆心角与弧，弦的关系，平行线的判定，三角形三边关系定理解答即可． 【详解】解：连接， 根据作图，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①②③正确，④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，圆心角与弧，弦的关系，平行线的判定，三角形三边关系定理，熟练掌握作图和圆的性质是解题的关键． 6．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B= 度． 【答案】120 【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B． 【详解】如图，连结OB， ∵OA=OB=OC， ∴△OAB和△OBC都是等腰三角形， ∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC， ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC ∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜ ∴3∠ABC=360゜ ∴∠ABC=120゜ 即∠B=120゜． 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键． 8．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等得出． 根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等解答即可． 【详解】解：在中，， ， 故答案为：3 9．（2025·广东深圳·模拟预测）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为 °．（写出一个即可） 【答案】54 【分析】本题考查了圆周角定理，方向角．设与相交于点D，先利用三角形的外角性质可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴α的大小可能为， 故答案为：54（答案不唯一）． 10．（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 11．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数． 【答案】54°，90°，108°，36°，72° 【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可． 【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%， 扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%， ∴∠AOB＝360°×15%＝54°， ∠BOC＝360°×25%＝90°， ∠COD＝360°×30%＝108°， ∠DOE＝360°×10%＝36°， ∠AOE＝360°×20%＝72°， 答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°． 【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点A，B，C，D是上四个点，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，、是的半径，C是上一点，若，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理，根据圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，进而可求． 【详解】解：， ， ，， ， ． 14．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知点A，B在圆上，以为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图1中作出圆的一条直径； (2)在图2中作出圆内接正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握它们是解题的关键． （1）延长交圆于点C，连接即可； （2）依（1）作法作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为所作． 【详解】（1）解：如图，延长交圆于点C，连接， 由于，根据直角对的弦是直径， 则是所作的圆的直径； （2）解：作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为正方形． 由（1）知，是圆的两条直径，则O是圆心， 由正方形的性质知， ∴； ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，且是圆内接正方形． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）学习下面方框内的内容，并解答下列问题： 小明在反思学习时，发现解决下列2个问题时都用到了同一种数学思想方法： 问题1：若，求的值． 解决思路：． 问题2：如图1，分别以的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和． 解决思路：图中3个扇形的半径都是2，可以将3块阴影扇形拼成一个半径为2的……，求出这个图形的面积即可． 问题： (1)方框内2个问题的解决都用到了___________的数学思想方法（从下列选项中选一个）； A．分类讨论；B．数形结合；C．整体；D．从特殊到一般 (2)方框内问题2中阴影部分的面积为___________ (3)如图2，已知的半径为5，、是的弦，且，，求与的长度之和． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据整体的数学思想即可解答； （2）将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，半径为2，然后根据半圆的面积公式求解即可； （3）作直径，连接，由是直径，得到，根据勾股定理求得，则，从而． 【详解】（1）解：3个问题的解决都用到了整体的数学思想方法． 故选：C； （2）根据题意得，∵ ∴将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，半径为2 ∴阴影部分的面积为； （3）解：如图，作直径，连接    ∵是直径， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整体的数学思想，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，同弧或等弧所对的弦相等，弧长公式，掌握整体思想，综合运用相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$