第08讲 垂径定理（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第08讲 垂径定理（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用垂径定理求值 典型例题二 利用垂径定理求平行弦问题 典型例题三 利用垂径定理求同心圆问题 典型例题四 利用垂径定理求解其他问题 典型例题五 垂径定理的推论 典型例题六 垂径定理的实际应用 知识点01 垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最短弦长是 ． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 【典型例题一 利用垂径定理求值】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的弦，若，的直径是10，则点到直线的距离是 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，C是上的一点，于点D，，则的长为 ． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）目前，体育运动已成为了青少年成长路上的“健康必修课”．为了促进青少年身心健康全面发展，某校成立了铅球兴趣小组．爱好铅球的苏阳同学在一次掷铅球时，铅球落地后在水平地面上砸出一个坑，经过坑的最低点的竖直截面如图所示（点、、均在上，且于点），已知坑的最大深度为，则铅球的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，，求的长． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)若，求的半径； (2)求证：． 【典型例题二 利用垂径定理求平行弦问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·课后作业）已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）在圆中，直径为圆上点，且,若如图分布的个圆心在上且大小相等的小圆均与相切，则 ． 1．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米,油面宽变为6分米，圈柱形油槽的直径MN为 . 3．（24-25九年级·浙江宁波·单元测试）已知的半径为5，、为中两条平行的弦，，，求和间的距离. 4．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【典型例题三 利用垂径定理求同心圆问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，的半径为5，是圆上任意两点，且，以为边作正方形（点在直线两侧）．若边绕点旋转一周，则边扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·浙江温州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【例4】（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 3．（2024九年级上·浙江宁波·专题练习）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 4．（2025·湖北孝感·模拟预测）高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【典型例题四 利用垂径定理求解其他问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ． 【例4】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm． 1．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是半圆的直径，是半圆的弦，利用尺规作图法在上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【典型例题五 垂径定理的推论】 【例1】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【例2】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 【例4】（23-24九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 1．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，交于C、D两点，半径于点F．求证：． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图：内接于圆，请用尺规作图（保留作图痕迹） （1）在图1中作出外接圆的圆心． （2）在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为的两倍． 【典型例题六 垂径定理的实际应用】 【例1】（2024·浙江舟山·模拟预测）要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，再作弦的垂直平分线交于点，交圆弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径，若测得，，则轮子的半径为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（    ） A．2米 B．4米 C．8米 D．10米 【例3】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为 ． 【例4】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m． 1．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m． 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A．5 B．6 C． D．13 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成如图，它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 6． （24-25九年级上·浙江丽水·期中）的半径为5，两条平行弦的长为6和8，则这两条弦的距离为 ． 7．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为 m． 8．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为 米． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ． 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．    （1）当时，的长为 ； （2）在滑动过程中，的最大值是 ． 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．请你用个尺规作图画出弧的中点．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 13．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图是某单位拟建大门的示意图，上部是一段直径为的圆弧形，下部是矩形，其中点O为弧所在圆的圆心，，，求弧的中点到的距离． 14．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 15．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 垂径定理（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用垂径定理求值 典型例题二 利用垂径定理求平行弦问题 典型例题三 利用垂径定理求同心圆问题 典型例题四 利用垂径定理求解其他问题 典型例题五 垂径定理的推论 典型例题六 垂径定理的实际应用 知识点01 垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）半径等于6的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由题意和垂径定理得，再根据勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，垂直平分，连接， 由题意得： ∵垂直平分， ∴， ，， 根据勾股定理可得， ， ∴． 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最短弦长是 ． 【答案】6 【分析】由题意可得，过点P最短弦就是垂直于OP的弦，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，于P点， ∴OA=5，OP=4， ∴， ∴AB=2AP=2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是根据题意得出时弦AB的长度最短． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 【答案】，，，，兵车 【分析】根据垂径定理，进行作答即可． 【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴此车轮为：兵车之轮； 故答案为：，，，，兵车． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键． 【典型例题一 利用垂径定理求值】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，因为位置不明确，所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论． 【详解】解：①在圆心的同侧，如图①，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； ②在圆心的异侧，如图②，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； 综上，和的距离是或． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的弦，若，的直径是10，则点到直线的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理．连接，作于C，根据题意可得，再运用勾股定理即可完成解答． 【详解】解：如图：连接，作于C，如图， ∵， ∴， 在中，， 即点O到弦的距离为3． 故答案：3． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，C是上的一点，于点D，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线，证明是的中位线是解此题的关键．根据垂径定理求出，求出是的中位线，然后利用三角形中位线的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）目前，体育运动已成为了青少年成长路上的“健康必修课”．为了促进青少年身心健康全面发展，某校成立了铅球兴趣小组．爱好铅球的苏阳同学在一次掷铅球时，铅球落地后在水平地面上砸出一个坑，经过坑的最低点的竖直截面如图所示（点、、均在上，且于点），已知坑的最大深度为，则铅球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，垂径定理的实际应用，设，由垂径定理得出，利用勾股定理得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：设 ， ， ， ， ， 则铅球的半径为5． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质得，，，连接，当点为和的交点时，的周长最小，最小值为．由垂径定理得，由勾股定理得，证明为正三角形，求出，然后利用勾股定理求出，进而可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，设翻折前后点O的对称点为D，连接， ∵点翻折到点，点在上， ∴，，． 连接，当点为和的交点时，的周长最小， 此时，，周长的最小值为． ，， ∴． ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， ∴为正三角形． ∵为中点， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，确定出点P的位置是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理．根据垂径定理求出的长，利用求出即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点，， ∴，，， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)若，求的半径； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质； （1）由垂径定理得，设，由勾股定理得，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，即可得证； 掌握垂径定理，等腰三角形的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的半径，是的弦，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为； （2）证明：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 【典型例题二 利用垂径定理求平行弦问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（ )    A．弧AB =弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．无法确定 【答案】A 【详解】因为在同圆中,平行弦所夹弧是等弧.故选A. 点睛:本题主要考查圆中平行弦所夹弧,解决本题的关键是要熟练掌握平行弦定理. 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·课后作业）已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为 ． 【答案】7dm或1dm 【分析】如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，则EF⊥CD，根据垂径定理得CF＝FD＝CD＝4，然后利用勾股定理可计算出OE＝4，OF＝3，再进行讨论：当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE＋OF；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE−OF． 【详解】解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm， 过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC， ∴AE＝BE＝AB＝3， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴CF＝FD＝CD＝4， 在Rt△OAE中，OA＝5dm OE＝＝4， 同理可得OF＝3， 当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）； 当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）． 故答案为7dm或1dm． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 【例4】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）在圆中，直径为圆上点，且,若如图分布的个圆心在上且大小相等的小圆均与相切，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点E，根据勾股定理求出的长，进而求出的即可. 【详解】解：连接，过点作于点E，如图所示： 6个小圆的直径等于大圆的直径， 可得每个小圆半径为， 根据勾股定理可得： ， ; 故答案为：. 【点睛】本题考查垂径定理与勾股定理的结合，多画图构造直角三角形即可. 1．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长． 【详解】解：∵OD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵OA＝OB，AC＝4 ∴OD＝AC＝2． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 2．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米,油面宽变为6分米，圈柱形油槽的直径MN为 . 【答案】 【分析】根据题意画出相应的图形，在与中，根据勾股定理表示出OE与OF，由OE-OF=1列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出直径MN的长． 【详解】如图，，，过圆心作于，交于，则 ，， 设分米，则分米 由勾股定理得，， 解得 ∴圆柱形油槽的直径为分米. 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理.能根据垂径定理分别表示两个三角形的三边，并根据勾股定理构造方程是解决此题的关键. 3．（24-25九年级·浙江宁波·单元测试）已知的半径为5，、为中两条平行的弦，，，求和间的距离. 【答案】AB和CD间的距离为7或 1. 【分析】根据题意画出图形，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，先根据勾股定理得出OE与OF的长，再分AB、CD是⊙O的同侧与异侧两种情况进行解答． 【详解】解：如图所示， 过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC， ∵AB=6，CD=8， ∴AE=AB=3，CF=CD=4， ∴OE=， OF= ， ∴当如图1所示时，EF=OE+OF=4+3=7； 当如图2所示时，EF=OE-OF=4-3=1． ∴AB和CD间的距离为7或 1. 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 4．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 【典型例题三 利用垂径定理求同心圆问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，的半径为5，是圆上任意两点，且，以为边作正方形（点在直线两侧）．若边绕点旋转一周，则边扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接PD，过点作于点，延长PF交于点，则CD边扫过的面积为以PD为外圆半径、PE为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出AF=BF，进而可得出DE=CE=3，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出CD边扫过的面积． 【详解】连接，过点作于点，延长PF交于点，则边扫过的面积为以为外圆半径、为内圆半径的圆环面积，如图所示， ∵， ∴， 又∵为的弦， ∴， 又四边形ABCD是正方形， ∴， ∴CD边扫过的面积为π（PD2-PE2）=π•DE2=9π， 故选D. 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江温州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【例4】（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 3．（2024九年级上·浙江宁波·专题练习）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 【详解】解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． 4．（2025·湖北孝感·模拟预测）高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【答案】(1)6;(2). 【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出． 【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111， 到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111 到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000 所以，到第6天所有鸡都会被感染； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA． ∵OA=5，OC=3，CD=4， ∴CE=2． 在Rt△OCE中，AE= ， ∴AC=AE-CE= ， ∵AC=BD， ∴AC+BD=． 答：这条公路在该免疫区内有（）千米． 考点：（1）垂径定理的应用；（2）勾股定理． 【典型例题四 利用垂径定理求解其他问题】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．根据垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； D、圆内接矩形是不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ． 【答案】7 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 【例4】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm． 【答案】12 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝48cm， ∴BD＝AB＝×48＝24（cm）， ∵⊙O的直径为60cm， ∴OB＝OC＝30cm， 在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm）， 即水的最大深度为12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 1．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解：为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作，过D点作平H点，连接，得到，四边形为矩形，进而得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：过B点作，过D点作平H点，连接，如图，则， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是半圆的直径，是半圆的弦，利用尺规作图法在上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂径定理，连接，作垂直平分线，交半圆于点，则点即为所求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作垂直平分线，交半圆于点， ∴点即为所求， 理由：连接， ∵垂直平分， ∴点在上， ∴， ∴点即为所求． 4．（23-24九年级上·浙江金华·开学考试）赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥（如图1）．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥（如图2），已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为．求此桥拱圆弧的半径（精确到．） 【答案】此桥拱圆弧的半径约为 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图2所示，设弦所在圆的圆心为，弧的中点为，弦的中点为，连接，，，圆的半径为， 由垂径定理可知，， ，，三点共线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 此桥拱圆弧的半径约为． 【典型例题五 垂径定理的推论】 【例1】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂径定理及其推论，熟练掌握定理是解题的关键．根据垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个，逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直平分弦的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直这条弦， 故该选项为假命题，符合题意； C、平分弦和弦所对弧的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； D、平分弦所对弧的直径垂直这条弦，故该选项为真命题，不符合题意； 故选：B． 【例2】（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，，，都是的半径，，交于点．若，，则的长为（   ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理的推论、勾股定理等知识，根据题意可得，在中，由勾股定理可得，由圆的半径均相等，结合代值求解即可得到答案． 【详解】解：是的半径，交于点，， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理的推论，掌握垂径定理的推论，坐标与图形的关系是解题的关键． 根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接，并作的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图形的特点即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，分别作的垂直平分线交于点， ∴， 故答案为： ． 【例4】（23-24九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 1．（2025·广东湛江·模拟预测）如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理即可求解半径． 【详解】解：∵为半径，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得出，．设的半径为r，则，，根据勾股定理可列出关于r的等式，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的弦的中点，且经过圆心， ∴，． 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，，交于C、D两点，半径于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图：内接于圆，请用尺规作图（保留作图痕迹） （1）在图1中作出外接圆的圆心． （2）在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为的两倍． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）分别作AB的垂直平分线与AC的垂直平分线，交点O为圆心； （2）连接BO，再过点A作BO的垂线，交⊙O于点D，连接CD，则∠ACD即为所求． 【详解】解：（1）如图，点O即为所作； （2）如图，∠ACD即为所作． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，确定圆心，垂径定理，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图． 【典型例题六 垂径定理的实际应用】 【例1】（2024·浙江舟山·模拟预测）要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，再作弦的垂直平分线交于点，交圆弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径，若测得，，则轮子的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．由垂径定理，可得出的长，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径． 【详解】解：设圆心为O，连接． 在中，， 根据勾股定理得：，即：， 解得：； ∴轮子的半径为， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（    ） A．2米 B．4米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故选：C． 【例3】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径，地面宽，则高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是：． 【例4】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m． 【答案】29 【分析】考查垂径定理以及勾股定理，设圆弧形圆心为，作交于点C，连接，交于点D，设这个门拱的半径为r，则，根据垂径定理得到，在中，由勾股定理得，然后即可得到关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设圆弧形圆心为，作交于点C，交于点D，连接，设这个门拱的半径为r， 由题意得：， 则， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴， 这个门拱的半径为m． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用．根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中，， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、 勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理得到，再求得，在中，，可求得，进而完成解答． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 在中， ， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1)见解析； (2)这个圆形截面的半径 【分析】此题考查了作图-应用与设计作图，垂径定理的应用和勾股定理． （1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可； （2）连接，交于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端． (1)求拱门最高点到地面的距离； (2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门． 【答案】(1)拱门最高点到地面的距离为 (2)工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键． （1）设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，由垂径定理可得，则由勾股定理可得的长，据此求出的长即可得到答案； （2）设弦，且，连接，同理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接， ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点到地面的距离为； （2）解：如图，设弦，且，连接． ∵，经过圆心O， ∴， ∴， ∴， 答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及全等三角形的判定，垂径定理，平行四边形的判定及平行线的性质等知识；根据这些知识判断即可． 【详解】解：A、有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，原说法错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法错误； C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原说法正确； D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误； 故选：C． 2．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A．5 B．6 C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，设的半径为，则，，然后根据垂径定理求得，利用勾股定理，解得即可得到直径． 【详解】解：连接，如图所示， 设的半径为，则， ， ， 是的一条弦，直径于点，， ， ，即， 解得， 的直径为， 故选：D． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点寸，寸，则直径长为（    ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：设寸， ，AB是直径， 寸， ， ， ， 寸． 故选：D． 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成如图，它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点O作于点G，交于点E，交于点利用垂径定理，勾股定理求出，再求出可得结论． 本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图2，连接，过点O作于点G，交于点E，交于点 ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 圆盘离桌面最近的距离是， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（   ） A．8 B．2 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）的半径为5，两条平行弦的长为6和8，则这两条弦的距离为 ． 【答案】7或1/1或7 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，解题的关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理．先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作于E，交于F，连接、，再根据垂径定理和勾股定理即可求出、，然后结合图形求出即可． 【详解】解：分为两种情况：①当和在O的同旁时，如图1， 过O作于E，交于F，连接、， ∵， ∴， 则由垂径定理得：，， 在中，由勾股定理得：， 同理可求出， ∴； ②当和在O的两侧时，如图2，同法求出，， 则； 即与的距离是1或7． 故答案为：1或7． 7．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为 m． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用；依题意，交于，设半径为 ，则，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：依题意，交于， 设半径为，则，而， ， ，， ， 在中，有 ， 即 ， 解得， 故答案为：5． 8．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度即可． 【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心， ， ，， ， . 米，， 米 设，则， 在中，， ， 即的半径长为米． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧所对的圆心角度数为 ． 【答案】90°/90度 【分析】本题考查了网络圆弧．熟练掌握垂径定理的推论：线段垂直平分线性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦和的垂直平分线交于点O，根据线段垂直平分线性质和勾股定理，得，，根据勾股定理的逆定理，得． 【详解】解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，长为定值的弦在以为直径的上滑动（点、点都不与点、重合），点是的中点，过点作于，若，．    （1）当时，的长为 ； （2）在滑动过程中，的最大值是 ． 【答案】 3 3 【分析】（1）如图所示，连接，可得是等边三角形，可证四边形是矩形，则，即可求解； （2）如图所示，延长交于点，连接，可证是的中位线，当为直径时，即，的值最大，则的值最大，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接，    ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （2）如图所示，延长交于点，连接，    ∵，是直径， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当为直径时，即，的值最大，则的值最大， ∴的最大值是； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一座石拱桥的桥拱是以为圆心，为半径的一段圆弧．请你用个尺规作图画出弧的中点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图—作垂线，根据垂径定理，得到弧的中点在线段的中垂线上，故作线段的中垂线，中垂线与圆弧的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求； 12．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 13．（2025·湖北恩施·模拟预测）如图是某单位拟建大门的示意图，上部是一段直径为的圆弧形，下部是矩形，其中点O为弧所在圆的圆心，，，求弧的中点到的距离． 【答案】6.8米 【分析】本题考查了矩形的性质、垂径定理、勾股定理，过点作，垂足为点，交于点，由垂径定理可得，点为弧的中点，由题意可得，由勾股定理可得，求出，结合矩形的性质得出点到的距离为，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为点，交于点， ∵， ∴，点为弧的中点， 由题意可得：， 在中，， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴点到的距离为 ∴弧的中点到的距离为（米）． 14．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 15．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$