第03讲 二次函数与不等式方程组（4大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第03讲 二次函数与方程组、不等式（4大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 典型例题二 图象法确定一元二次方程的近似根 典型例题三 图象法解一元二次不等式 典型例题四 利用不等式求自变量或函数值的范围 典型例题五 根据交点确定不等式的解集 知识点01 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点02 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点03二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 知识点04 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典型例题一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的顶点为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况，根据二次函数图象的平移、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：二次函数的顶点为， ∴的顶点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴有2个不相等的实数根． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．根据直线与二次函数的关系式得出方程，再整理并进行判断即可． 【详解】解：A．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（1）符合题意； B．由题意令得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（2）符合题意； C．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（3）符合题意； D．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（4）符合题意； 故选：D 【例3】（2025·浙江温州·模拟预测）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解题的关键是根据一元二次方程的解求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据抛物线与轴的交点横坐标与一元二次方程的根之间的关系即可求出二次函数的对称轴． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴二次函数与轴的两个交点的横坐标为分别为 1 和5． ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：直线． 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【答案】和 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数图象；根据题意将，分别代入，即可求解． 【详解】解：∵物线与直线的两个交点， ∴的解为，的横坐标， ∴将，分别代入得， ∴交点，的坐标分别为和 故答案为：和． 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 【答案】(1) (2)2，两 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与轴的另一个交点为，故方程的解是， （2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答． （3）运用图象性质以及二次函数与轴的交点，开口方向，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，设二次函数与轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线，二次函数与轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴二次函数与轴的一个交点为， ∴方程的解是； 故答案为：； （2）解：如图所示： 直线与有两个交点， ∴方程的解有2个； ∴抛物线与直线有两个公共点； 故答案为：2，两； （3）解：由（1）得二次函数与轴的交点坐标为和 ∵二次函数的开口方向向下， ∴结合图象，得不等式的解集是. 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 把代入得∶ ， 把代入得∶ ， 可设点，如图， 联立得：，即， ∵在的图象上存在两个二倍点， ∴， ∴， 此时直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入得∶ ， 把代入得∶ ， ∴，解得：， ∴． 故选：D 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得的点对应的横坐标在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看，的点对应的横坐标在和之间， 而在和之间被选项中的数为， ∴的方程的一个根可能为． 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定方程的解．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，直线与抛物线的图象交点的横坐标即为方程的解，据此即可解答． 【详解】解：由题意知，直线与抛物线交于，两点，图象交于点，点， 则关于x的方程，即解为或5 故答案为：或5． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，解答下列问题： (1)用配方法求其图象的顶点坐标； (2)填空： ①若点在其图象上，则线段的长为______； ②要使直线与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是______． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】此题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征、配方法求其顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据配方法可以求得该函数图象的顶点坐标； （2）①把代入二次函数解析式，可求得的值，从而可以求得线段的长；②根据二次函数的开口方向、顶点坐标及直线y＝b与该抛物线有两个交点，即可求得b的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴顶点坐标为； （2）①当时，， 解得， ∴． 故答案为：6； ②∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点坐标， ∴当时，直线与该抛物线有两个交点， 故答案为：． 5．（2025·浙江·模拟预测）小明和小芳学习了二次函数知识，准备用相互提问的方式来考查对方对二次函数知识的掌握情况．他们找到一个二次函数问题的一部分： 已知二次函数，下面表格中给出了部分x，y的对应数据： … 0 2 … … 0 0 … 小明首先提出问题： （1）根据表格可知，二次函数图象的对称轴为_______．m的值可以为3吗？请说明理由． 小芳也提出问题： （2）将函数的一次项系数作为二次项系数，常数项作为一次项系数，二次项系数作为常数项，得到的新函数解析式是 ；请在同一个坐标系中大致画出原函数和新函数的图象，并直接写出两个函数的函数值都随x值的增大而减小的x的取值范围． 共同探讨问题： （3）如果直线和这两个函数图象有三个交点，求出m的值． 请帮他们解决以上问题． 【答案】（1）；不可以为3，见解析；（2），图见解析，；（3）或 【分析】本题考查二次函数的性质与图象； （1）当和时，根据对称性求对称轴即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据题意写出新的解析式并作图即可； （3）分别求出和的顶点及交点坐标，再结合函数图象求解即可． 【详解】解：（1）根据表格数据可知，函数图象的对称轴为直线， 故答案为：直线， 设二次函数的解析式为，把代入， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴不可以为3； （2）新函数解析式是， 两个函数的图象如图所示， 由图象知，函数值都随x值的增大而减小的的取值范围是； （2）二次函数的解析式为顶点坐标， 新函数解析式是顶点坐标， 联立， 解得或， ∵直线和这两个函数图象有三个交点， ∴根据图象，可知直线过点或时，与这两个函数图象有三个交点， ∴或． 【典型例题二 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知，依据下表，它的其中一个解的范围是 ． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【答案】 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． 【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程根的联系，解题的关键是根据一元二次方程对应的二次函数为，画出函数图象，与轴的交点，即为一元二次方程的根，即可． 【详解】∵对应的函数是，在平面直角坐标系内画出函数图象，如下： ∵函数与轴的交点坐标为，， ∴的近似根为：，． 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 【答案】(1) (2)对称轴是，顶点坐标是，图象如图所示 (3)当或 当或 当 【分析】对于（1），关系式右边先提出2，再配方形成完全平方公式的形式即可； 对于（2），根据（1）中的顶点式得出顶点坐标和对称轴，并画出抛物线； 对于（3），观察图象判断即可． 【详解】（1）； （2）由（1）可知二次函数的顶点式为， ∴二次函数关系式的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线与y轴的交点是，画出抛物线，如图所示． （3）观察图像可知当，或时，； 当或时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，画二次函数图像，观察图像求值等，理解图像与x轴的上下关系就是函数值与0的大小关系是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的另一个近似根为， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x …… 0 1 3 …… y …… 1 3 1 …… 则下列判断中正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程正根在3与4之间 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当和时，， ∴该函数的对称轴是直线，故选项A错误，不合题意； 当时，， 抛物线与轴的交点为，在y轴的正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数的对称轴是直线， ∴和时的函数值相等， ∴当时，，故选项C错误，不合题意； ∵当时，，当时，， ∴方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【答案】或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得， ∵和的函数值相等， ∴对称轴为：， ∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得， ∴一元二次方程的解的范围是或， 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的根的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表中数据可得二次函数图象的对称轴，由轴对称性可得m的值，再用待定系数法，即可求得答案； （2）根据二次函数的增减性和轴对称性可知，当时，y取最大值，当时，y取最小值，由此即得答案； （3）根据二次函数的增减性，即得答案； （4）方程有两个不相等的实数根，等价于二次函数与直线有两个交点，根据图象即得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，当和时，， 该二次函数的图象的对称轴为， 和时，， ； 将，；，；，分别代入， 得，解得， 该二次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 当时，， ， 抛物线开口向下， 当时，； （3）， 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小； （4）方程有两个不相等的实数根， 二次函数与直线有两个交点， ． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在函数的学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．以下是我们探究函数的性质及其应用的部分过程．列表： 描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点，如图所示． (1)观察所描出的点的分布，用平滑的曲线连结，作出函数图象． (2)根据函数图象解答下列问题： ①该函数自变量的取值范围是________． ②方程有________个实数根． (3)应用：现要建造一个体积为1立方米的长方体无盖蓄水池，其底面为一个正方形，已知侧面造价为每平方米0．5万元，底面造价为每平方米1万元，配套设施1万元．设底面正方形边长为，总造价为元，请写出关于的函数关系式，并求出总造价不超过5万元时的取值范围．(保留2位小数) 【答案】(1)见解析 (2)①②1 (3)见解析 【分析】本题考查了根据函数图象求方程的解，画函数图象； （1）根据描点连线的方法画出函数图象； （2）①根据解析式可得； ②根据函数图象，即可求解． （3）根据题意可得，当时，即，观察函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：用平滑的曲线连结，作出函数图象如图所示， （2）解：①根据解析式，可得； 故答案为：． ②方程的解，即与的交点的横坐标 根据函数图象可得与只有1个交点， ∴方程有1个实数根； 故答案为：． （3）解：依题意，， 当时，方程，即， 根据函数图象可得，方程的正的近似解为， ∴当时，的取值范围为（答案合理即可）． 【典型例题三 图象法解一元二次不等式】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 【答案】A 【分析】先求出二次函数表达式，再求出与x轴的交点坐标的横坐标，画出图像，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：将（0，4）代入y＝－x2＋b中得b=4， ∴y＝－x2＋4 设y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点， 令y=0，即－x2＋4=0，解得 ∴A（2，0）B（-2，0） 图像如下： 由图像可得：当－x2＋4≥0时的解集为：－2≤x≤2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）已知的图像如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根二次函数的图像，可知函数的对称轴为直线，二次函数与直线的两个交点横坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，可得，的对称轴为直线，当时，， ∴时，，且中，， ∴当或时，， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，图像法解不等式，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关键，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．直接根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可知：时，x的取值范围是， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等； （1）将点和代入一次函数解析式，即可求解； （2）将点、的坐标代入二次函数的解析式，由，即可求解； （3）根据图象求解即可； 掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线和直线相交于点和， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：∵点和在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线； （3）解：由图象得： 当时，． 1．（24-25九年级上·浙江金华·课后作业）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（   ）    A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题； 结合函数图象，利用二次函数的对称性，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】二次函数的图象经过点A，B，C，由此可知，抛物线开口向下，所以①正确； 若当时，取最大值，则由于点和点C到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，图中点A和点C的纵坐标相等，所以②正确； 当时，二次函数的图象与有两个交点，则关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；所以③是正确的； 直线经过点A，B，当时，的取值范围是或，从而④错误； 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，反比例函数的性质，以及利用函数图象解不等式． 由得，作出关于x轴对称的图象，结合图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 设 ∵比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∴比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∵当时，， ∴关于x的不等式  的解集是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，一次函数的图象经过A，C两点． (1)求一次函数的解析式； (2)请结合图象直接写出当的值小于的值时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，以及与不等式的关系． （1）先求抛物线与坐标轴的交点，再利用待定系数法求解即可； （2）即抛物线在直线的下方时，所对应的交点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：对于，当时， ， 解得：， ∴， 当， ∴， ∵一次函数的图象经过A，C两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵抛物线与直线交于点，， ∴当时，． 5．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）材料阅读 材料一： 将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径： 材料二： 直线可以看出由直线向上平移t个单位长度，再向右平移m个单位长度得到的．由于直线始终经过，所以直线必过点． 材料三： 二次函数G：的图象与x轴的两个交点，，将二次函数向上平移n个单位后，A，B两点的对应点为，，经过，的二次函数表示为，则称二次函数为二次函数G的一个“n族二次函数”． 根据材料回答问题： (1)直接写出直线经过的定点坐标为 ； (2)若二次函数的一个“8族二次函数”经过，两点，试求该二次函数的解析式． (3)若一次函数与（2）中的二次函数始终有交点，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的平移，二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，模仿材料二的解题过程，即可得出直线必过点． 进行作答， （2）根据 “8族二次函数”的定义，设，把，分别代入进行计算，即可作答． （3）先得出一次函数经过定点，再结合一次函数与二次函数始终有交点，列式化简得，再得，解出k的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 得出直线可以看出由直线向上平移8个单位长度，再向左平移个单位长度得到的． ∵直线始终经过， ∴直线必过点． 故答案为：； （2）解：设二次函数的一个“8族二次函数”为， ∵这个“8族二次函数”经过，两点， ∴把，分别代入， ∴得， 解得； ∴该二次函数的解析式是：． （3）解：∵一次函数，与二次函数始终有交点， ∴方程组一定有解， ∴即一定有解， ∴，且， ∴或或． 【典型例题四 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的部分对应值如下表： 则关于二次函数下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为 B．图象关于轴对称的抛物线为 C．当时，随着的增大而减小 D．当时，的取值范围为： 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称轴，增减性，结合表中数据进行判断． 【详解】解：A、∵和时的函数值都是7， ∴抛物线的对称轴为直线，故错误，不合题意； B、由表可知：在中，当时，， 在中，当时，， ∴图象关于轴对称的抛物线不是，故错误，不合题意； C、由图表数据可知，当时，随着的增大而增大， 故当时，随着的增大而增大，故错误，不合题意； D、∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数值最小，且为， 当和时，函数值相等，且为， 当和时，函数值相等，且为， ∴当时，的取值范围为：，故正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线交x轴于（－2，0）、（4，0）两点，则下列判断中，错误的是（    ） A．图像的对称轴是直线x＝1 B．当x1时，y随x的增大而减小 C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2和4 D．当－2x4时，y0 【答案】D 【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点问题，以及二次函数与一元二次不等式的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、对称轴为直线x==1，正确，故本选项不符合题意； B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； C、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2和4正确，故本选项不符合题意； D、应为当-2＜x＜4时，y＞0，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数的图像如图，则当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据图象可得当时，图象位于 轴上方，即可解答． 【详解】解：结合图象：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的问题，利用数形结合思想得到正确的信息是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 【例5】（24-25九年级上·湖浙江金华·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线,顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 -1 0 3 描点画图，得： （3）时，， 时，， ∴当时，y的取值范围为． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点． 根据抛物线的对称轴方程得到，从而可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到，则利用可判断，利用抛物线与轴的交点位置得到，从而可对②进行判断；利用抛物线与直线的交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性可对④进行判断；利用抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， 即，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ， ， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ， ∴，所以②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，所以③错误； ∵抛物线与轴的一个交点为， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标，所以④正确； 当时，，所以⑤错误． 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，与不等式之间的关系；根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③． 【详解】解：由函数图像可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴当时，，故①正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当， ∴是方程的一个解，故②正确； ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵函数开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，的取值范围是不是，故④错误， 故选：B． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象； (3)直接写出当的y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象求自变量的取值范围； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，得出顶点坐标，进而画出函数解析式； （3）先计算出当是的函数值，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一根交点为， 图象如图所示， （3）解：当时，， 当时，， ，顶点坐标为，即时，有最小值为， ∴根据函数图象可得当的y的取值范围为． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围 ； (3)将该函数图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式为 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，待定系数法，求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）根据图像直接写出时，函数值的范围即可． （3）根据函数图像沿x轴翻折抛物线形状不变，开口向上，顶点的坐标为，待定系数法求出解析式即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点的坐标为， 当时，的取值范围为：， 故答案为：； （3）解：根据函数图像沿轴翻折，抛物线形状不变，开口向上， 顶点的坐标为， 设翻折后的解析式为， 将点代入得：，解得， 翻折后的解析式为， 故答案为：． 【典型例题五 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可． 【详解】解：函数和的大致位置如图： 根据图形可得函数和交点的横坐标， ∴的解， ∵a是方程的实数根， ∴， 故选：A ． 【例2】（2025·浙江舟山·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，直接根据二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， 由函数图象可知，当或时，函数图象在x轴的下方， ∴当时，自变量x的取值范围是或． 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，待定系数法求函数解析式．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．    (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． （3）解：根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴不等式的解集为． 1．（24-25九年级上·湖州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 2．（2025·嘉兴·模拟预测）抛物线为常数，且上上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： ．．．                0 1 ．．． ．．． 4 0           0 ．．． 小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与轴的一个交点为；②在对称轴左侧，随的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线；④当时，的取值范围是．其中，正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质． 根据表中数据可知，当时，，即可判断①；根据时，，即可求对称轴，从而判断③，根据表格数据观察当，的变化情况，可判断②；根据增减性得出抛物线函数开口方向，结合与轴的交点即可判断④． 【详解】解：根据表格可知，当时，， ∴抛物线与轴的一个交点为，故①错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线，所以③正确； 根据表格当时，随的增大而减小，故②正确； 当时，随的增大而增大，故抛物线开口向上，， 而时，，时，， ∴当时，的取值范围是或，故④错误； 故选：B． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线经过，，三点．下列四个结论：①；②若不同两点，在此抛物线上，则；③若是抛物线上的一点，则关于的方程的两根为，；④关于的不等式的解集是或．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等知识．根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线经过，，三点． ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为， ∴； 故①正确； ∵不同两点，在此抛物线上，且不关于直线对称， ∴； 故②错误， ∵是抛物线上的一点， ∴， ∵， ∴ ∴关于的方程为 ∴， 解得两根为，； 故③正确； ∵抛物线经过， ∴ 即的两根为，； ∵抛物线开口向下， ∴即关于的不等式的解集是或．故④正确， 故答案为：①③④ 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)点是轴上一个动点，连接，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用交点和二次函数性质求不等式范围． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出，时的的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ， ∴， ， 将，代入， 则：，解得：， ； （2）解：， ， 当时，则：， 解得：或， 当时，则：， 解得：， ， ∴或． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）数、形二法“战”不等式！ (1)解不等式时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①或②． 解不等式组①，得 ，解不等式组②，得 ． 所以，不等式的解集是 ． (2)已知函数的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式的解集是 ． 【答案】(1)，，或 (2)或 【分析】本题考查了本题考查二次函数与不等式（组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集． （1）解不等式组即可得到结论； （2）根据函数图象可以直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：①， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 则解不等式组①，得， ②， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 解不等式组②，得． 所以，不等式的解集是或； 故答案为：，，或； （2）解：由图象知，不等式的解集是或， 故答案为：或． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，根据题意列出不等式、再画出对应函数的图像成为解题的关键． 根据题意可得，则x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围；再求得函数的图像与x轴的交点的横坐标为0、1，最后画出函数图像即可解答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围， ∵， ∴函数的图像与x轴的交点的横坐标为0，1， 画出函数图像如下： ∴不等式的x取值范围为：0或． 故选B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的自变量和函数值如下表所示，那么方程的一个近似根是（    ） 0 1 2 A．1.3 B．0.4 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根．观察表格可得的一个解在0与1之间，据此求解即可． 【详解】解：由表格时，，时，， ∴抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴的一个解在0与1之间， ∴的一个近似解是． 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，根据二次函数的图象，一元二次方程的解是(   ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】】本题考查了抛物线与轴的交点，根据函数图象得出二次函数图象与轴的交点，即可得出方程的解． 【详解】解：根据函数图象可知，二次函数的图象与轴的交点为， ∴一元二次方程的解是， 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，，时，， ∴当时，， ∴只有选项D符合， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等；①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断；能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线， 图象与x轴交于点， 图象与x轴交于另一点， ， ， ， ， ， ，即， ， ，故②错误； ③，对称轴为直线， 当时， ， ，即（为任意实数）， ， ， ，故③错误； ④由②得，，， ，， ， ， ， ，故④正确； 故正确的结论有：①④， 故选：B． 6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）若关于的二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，根据抛物线与轴的两个交点的横坐标就是方程的解可得答案． 【详解】解：关于的二次函数的图象与轴的交点坐标是和， 一元二次方程的解为， 故答案为：，． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先根据抛物线的对称性求出点在二次函数图象上，再结合函数图象求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数与y轴的交点坐标为， ∵二次函数对称轴为直线， ∴点在二次函数图象上， ∴由函数图象可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的对称性得到点在二次函数图象上是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c是常数），满足且，下列四个结论： ①； ②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ③若抛物线经过，则； ④对满足的任意实数m，都有． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，灵活运用二次函数表达式的各个系数； 根据，即可得出a和c的符号，即可判断①；根据根的判别式即可判断②；将点代入函数表达式得，再结合即可判断③；由根与系数的关系，求出方程的两个根，即可求二次函数与x轴的两个交点坐标为和，且开口向上，由求出的范围，根据二次函数与一元二次不等式的关系可求出m的范围，进而求出的范围，再根据二次函数与一元二次不等式的关系即可判断④． 【详解】解：①， ， ， 故本选项不符合题意； ②， ， ， ， ， 抛物线与x轴一定有两个不同的公共点， 故本选项符合题意； ③抛物线经过， ∴， ， ， ， ， 故本选项符合题意； ④当时，， 是方程的一个根， ， ， 二次函数与x轴的两个交点坐标为和，且开口向上， ， ，则，整理得：， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意， 故答案为：②③④． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵二次函数开口向上， ∴， 由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴当时，有， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）已知二次函数中的，满足下表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 0 ■ 3 ．．． (1)求这个二次函数的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，正确求得二次函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的开口方向及二次函数图像与轴交点坐标可得答案． 【详解】（1）解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为， 故设该二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）在二次函数中，令，得， 解得：， 二次函数的图象与轴交点分别为， 由中，，可得二次函数图象开口向上， 当时，的取值范围是． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析； 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象求自变量的取值范围； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，得出顶点坐标，进而画出函数解析式，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为 （2）∵，顶点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一根交点为， 图象如图所示， 根据函数图象可得当函数值时， 13．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，请完成下列探究过程． … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 0 5 -3 4 5 0 … （1）表格中= ，= ； （2）请根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中通过描点、连线的方法，画出该函数图象(图中已经描画出部分点)，并写出该函数的一条性质： ； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接写出方程的解（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1）4，；（2）画图见解析，图象性质：该函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）x1＝－3.3，x2＝3.3 【分析】（1）分别将x＝－1，x＝代入计算即可； （2）描点后、用光滑曲线顺次连接即可，根据所画函数图象即可发现图象关于y轴对称； （3）观察图象即可获得交点横坐标，即可得解． 【详解】解：（1）将x＝－1代入，得：y＝4， ∴a＝4， 将x＝代入，得：y＝， ∴b＝， 故答案为：4，； （2）该函数的图象如图所示： 由图象可知：该函数图象关于y轴对称（答案不唯一）； （3）观察图象可得与图象交点的横坐标为：-3.3、3.3． ∴方程的解为x1＝－3.3，x2＝3.3． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的特征，描点法画函数图象，函数与方程的联系．图象法解方程等知识，关键在于熟练掌握函数的性质，图象的画法． 14．（2025·浙江衢州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】(1)或； (2)任意实数 (3)，； (4)． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中例题即可求解； （）当时，所以无实数根，则与轴无交点，从而求出的范围； （）由一元二次不等式的解集为，则的两个实数根为，，然后根据根与系数的关系得，，求出的值即可； （）分当时，，对实数都成立，当时，设，则，然后根据不等式对实数都成立，所以，最后求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：求相应方程的根：，解得，， 画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象，如图， ∴根据图象得到不等式的解集为：或， 故答案为：或；； （2）解：当时， ∴， ∴无实数根， ∴与轴无交点， 作二次函数的图象，如图， ∴的解集为：任意实数， 故答案为：任意实数； （3）解：∵一元二次不等式的解集为，如图， ∴的两个实数根为，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （4）解：当时，，对实数都成立， 当时， 设， ∴， ∵不等式对实数都成立， ∴， ∴， ∴时，无解； 时，， 综上可知：的取值范围是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理； (3)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线与抛物线，有三个交点时n的值； (4)直接写出抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或4 (4)6个 【分析】（1）由抛物线与抛物线交于点，可求得a、m的值； （2）由抛物线的平移的性质，即可得可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位得到，说明嘉嘉的说法；由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数，说明琪琪的说法； （3）分直线l与抛物线有一个交点，过点两种情况分别求解即可． （4）首先求得点A、C、D、E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．结合图象求出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数． 【详解】（1）解：∵抛物线与交于点， 把点B的坐标代入抛物线得： ， 解得：； 把点B的坐标代入得： ， 解得：； （2）解：选择嘉嘉． 由（1）可知，的表达式为，顶点坐标为． 的表达式为，顶点坐标为， 两个表达式的二次项系数相同，说明抛物线形状相同，而是由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， 所以可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到； ∴嘉嘉的说法正确； 选择淇淇． 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴无论x取何值，恒小于0， ∴琪琪的说法正确； （3）解：∵：的对称轴为直线，， ∴，， 设直线为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将直线向下平移个单位长度后得到直线l的表达式为， 当直线l过点B时，直线l与抛物线，有三个交点， ∴， 解得； 当直线l与抛物线只有一个交点时，令，整理得， ， 解得， ∴当直线l与抛物线，有三个交点时，n的值为或4； （4）解：设与交于点F，如图， ∵当时，， 解得：或， ∴点， 当时，， 解得：或， ∴点， ∴，， ∵当时，，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； ∵，， 设直线为， 得， 解得， ∴， 由图象可知：点B、C、D、E在四边形内部（包括边界）， 当时， 或， ∴时，， 时，， ∴两图象的交点坐标为，， ∴抛物线的顶点也在四边形的边上， 综上所述，共有6个整点在四边形内部（包括边界），抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点为，，，，及的顶点； 【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，解答本题的关键是熟练掌握方程思想与数形结合思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数与方程组、不等式（4大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 典型例题二 图象法确定一元二次方程的近似根 典型例题三 图象法解一元二次不等式 典型例题四 利用不等式求自变量或函数值的范围 典型例题五 根据交点确定不等式的解集 知识点01 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点02 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点03二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 知识点04 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【典型例题一 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的顶点为，那么关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例2】（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025·浙江温州·模拟预测）若关于的一元二次方程的两根分别是，，则抛物线的对称轴是 ． 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为 ． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，解答下列问题： (1)用配方法求其图象的顶点坐标； (2)填空： ①若点在其图象上，则线段的长为______； ②要使直线与该抛物线有两个交点，则b的取值范围是______． 5．（2025·浙江·模拟预测）小明和小芳学习了二次函数知识，准备用相互提问的方式来考查对方对二次函数知识的掌握情况．他们找到一个二次函数问题的一部分： 已知二次函数，下面表格中给出了部分x，y的对应数据： … 0 2 … … 0 0 … 小明首先提出问题： （1）根据表格可知，二次函数图象的对称轴为_______．m的值可以为3吗？请说明理由． 小芳也提出问题： （2）将函数的一次项系数作为二次项系数，常数项作为一次项系数，二次项系数作为常数项，得到的新函数解析式是 ；请在同一个坐标系中大致画出原函数和新函数的图象，并直接写出两个函数的函数值都随x值的增大而减小的x的取值范围． 共同探讨问题： （3）如果直线和这两个函数图象有三个交点，求出m的值． 请帮他们解决以上问题． 【典型例题二 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）已知，依据下表，它的其中一个解的范围是 ． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）小明用探索方程（、、为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x …… 0 1 3 …… y …… 1 3 1 …… 则下列判断中正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程正根在3与4之间 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在函数的学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．以下是我们探究函数的性质及其应用的部分过程．列表： 描点：在平面直角坐标系中，描出相应的点，如图所示． (1)观察所描出的点的分布，用平滑的曲线连结，作出函数图象． (2)根据函数图象解答下列问题： ①该函数自变量的取值范围是________． ②方程有________个实数根． (3)应用：现要建造一个体积为1立方米的长方体无盖蓄水池，其底面为一个正方形，已知侧面造价为每平方米0．5万元，底面造价为每平方米1万元，配套设施1万元．设底面正方形边长为，总造价为元，请写出关于的函数关系式，并求出总造价不超过5万元时的取值范围．(保留2位小数) 【典型例题三 图象法解一元二次不等式】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）若二次函数y＝－x2＋b的图像经过点（0，4），则不等式－x2＋b≥0的解集为（    ） A．－2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≤－2或x≥2 【例2】（24-25九年级上·浙江舟山·阶段练习）已知的图像如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是 ． 【例5】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 1．（24-25九年级上·浙江金华·课后作业）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（   ）    A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，一次函数的图象经过A，C两点． (1)求一次函数的解析式； (2)请结合图象直接写出当的值小于的值时，x的取值范围． 5．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）材料阅读 材料一： 将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径： 材料二： 直线可以看出由直线向上平移t个单位长度，再向右平移m个单位长度得到的．由于直线始终经过，所以直线必过点． 材料三： 二次函数G：的图象与x轴的两个交点，，将二次函数向上平移n个单位后，A，B两点的对应点为，，经过，的二次函数表示为，则称二次函数为二次函数G的一个“n族二次函数”． 根据材料回答问题： (1)直接写出直线经过的定点坐标为 ； (2)若二次函数的一个“8族二次函数”经过，两点，试求该二次函数的解析式． (3)若一次函数与（2）中的二次函数始终有交点，求k的取值范围． 【典型例题四 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数的部分对应值如下表： 则关于二次函数下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴为 B．图象关于轴对称的抛物线为 C．当时，随着的增大而减小 D．当时，的取值范围为： 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线交x轴于（－2，0）、（4，0）两点，则下列判断中，错误的是（    ） A．图像的对称轴是直线x＝1 B．当x1时，y随x的增大而减小 C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2和4 D．当－2x4时，y0 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数的图像如图，则当时，自变量x的取值范围是 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【例5】（24-25九年级上·湖浙江金华·期中）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当时，直接写出y的取值范围． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象； (3)直接写出当的y的取值范围． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围 ； (3)将该函数图像沿x轴翻折，所得图像的函数表达式为 ． 【典型例题五 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【例2】（2025·浙江舟山·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【例3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是 ． 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．    (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 1．（24-25九年级上·湖州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 2．（2025·嘉兴·模拟预测）抛物线为常数，且上上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： ．．．                0 1 ．．． ．．． 4 0           0 ．．． 小聪观察上表，得出下面结论：①抛物线与轴的一个交点为；②在对称轴左侧，随的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线；④当时，的取值范围是．其中，正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线经过，，三点．下列四个结论：①；②若不同两点，在此抛物线上，则；③若是抛物线上的一点，则关于的方程的两根为，；④关于的不等式的解集是或．其中正确结论的序号是 ． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)点是轴上一个动点，连接，若，直接写出的取值范围． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）数、形二法“战”不等式！ (1)解不等式时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①或②． 解不等式组①，得 ，解不等式组②，得 ． 所以，不等式的解集是 ． (2)已知函数的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式的解集是 ． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的自变量和函数值如下表所示，那么方程的一个近似根是（    ） 0 1 2 A．1.3 B．0.4 C． D． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，根据二次函数的图象，一元二次方程的解是(   ) A．， B．， C．， D．， 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A． ①② B．①④ C．②③ D．①③④ 6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）若关于的二次函数的图象与轴的交点坐标是和，则关于的一元二次方程的解为 ． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c是常数），满足且，下列四个结论： ①； ②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ③若抛物线经过，则； ④对满足的任意实数m，都有． 其中正确的是 （填写序号）． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期末）已知二次函数中的，满足下表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 0 ■ 3 ．．． (1)求这个二次函数的解析式； (2)直接写出当时，的取值范围． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 13．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，请完成下列探究过程． … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 0 5 -3 4 5 0 … （1）表格中= ，= ； （2）请根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中通过描点、连线的方法，画出该函数图象(图中已经描画出部分点)，并写出该函数的一条性质： ； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接写出方程的解（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 14．（2025·浙江衢州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理； (3)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线与抛物线，有三个交点时n的值； (4)直接写出抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$